CAL-5-定积分
2021-08-01 14:39:44 0 举报AI智能生成
高等数学微积分 第五章 定积分 知识点梳理
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大纲/内容
令a=φ(α)，b=φ(β)
换元法
分部积分法
积分法
有理化:
奇偶性(1)
通常遇到分母变换后仍不变的，可以考虑此变换
对f(cosx)不适用
可用区间再现公式证明
三角函数(4)
：平移不变性
：倍周期
周期性(2)
不要把dx的x也换了
易错点
令t=a+b-x，最后把t换成x
原理和证明
区间再现公式
特殊性质
α>1，且limΦ(x)存在→收敛
α≤1，且limΦ(x)=k(≠0)或∞→发散
判别法Φ(x)=x^α * f(x)
无限区间
定义积分的极限存在（令b→+∞或a→-∞）
某点a两侧的反常积分均存在
α<1，且存在→收敛
α≥1，且=k(>0)或∞→发散
判别法
第二类间断点(无穷间断点)
性质
Γ函数
核心是积分定义极限存在，因此对于既有无限区间又有间断点的积分，需要论证无穷远和间断点的极限均存在
两个α构造的Φ(x)可能是在另一方向上指向相反结论的，只需要保证两个Φ(x)在任意的分别不同方向上收敛就可以了。
同时存在两个端点是第二类间断点时，α可能是同一个值。
要点
反常积分
极限存在→可积
极限不存在→不可积
基本定义
外框
基本形态(3)
不可计算
牛顿-莱布尼茨公式
变积分限函数
积分基本定理
积分中值定理
幂，指(4)
三角函数(10)
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平方和/差(2)根号平方和/差(5)
基本初等函数的定积分
定积分
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