LA-2-矩阵与运算
2021-08-07 16:57:38 16 举报AI智能生成
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线性代数 第二章、第三章(部分)矩阵及其运算 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
四则同矩阵
运算法则
矩阵相乘
矩阵的幂
逆矩阵
分4块的应用
向量，秩
行分块的应用
解方程组
列分块的应用
应用
B的行向量可由C的行向量线性表出
如A可逆则
A的列向量可由C的列向量线性表出
如B可逆则
对于AB=C
B的行向量组成的列向量是方程的解
设A=span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\begin{bmatrix}1&2&-2\\\\4&t&3\\\\3&-1&1\\end{bmatrix}\" contenteditable=\"false\
例
对于AB=0
分块矩阵
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一般情况下
方阵的行列式
基本概念及运算法则
矩阵中任取k行k列，形成的kk大小的区域构成的行列式称为矩阵的k阶子式
非0子式的最高阶数称为矩阵的秩
初等变换不改变矩阵的秩
行阶梯矩阵的秩等于其非0行数
0矩阵的秩为0
不可逆矩阵的秩小于其阶数
可逆矩阵的秩等于其阶数
结论
外框
秩(Rank)
任何矩阵的秩都可以将其变换为行阶梯后直接得到
最重要的性质：，即
伴随矩阵
矩阵A可逆
特征
又称为满秩矩阵
求法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
可逆矩阵
矩阵若有0行，则0行在矩阵底部
每个非零行的主元(首个非零元)下方只有0元素或无
满足
是行阶梯矩阵
每个非零行的主元必须是1所在列其他元素均为0
用于解方程组：方程组的增广矩阵化为行最简
行最简矩阵
将矩阵化为行阶梯、行最简矩阵
考察：
行阶梯矩阵
若存在可逆矩阵P，使得，称A与B相似，记为
相似矩阵
A经过有限次初等变换得到B，称A与B等价，记为
等价矩阵形状相同
设span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
使
称PAQ得到的矩阵为A的等价标准型
等价标准型
等价矩阵
矩阵
初等变换的深刻意义在于：初等变换不改变矩阵的秩
倍乘(非0元)
互换
倍加
初等行/列变换
初等矩阵通常可按“经历一次行变换”“经历一次列变换”两种方式构成
初等矩阵P左乘矩阵A，即AP，相当于A做一次与P相同的初等行变换
初等矩阵P右乘于矩阵A，即PA，相当于A做一次与P相同的初等列变换
推论:span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
列变换类似，不过分块矩阵要竖着构造
若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
矩阵求逆的暴力方法
初等矩阵的逆矩阵为其逆变换对应的矩阵初等矩阵可逆，且其逆与其同类
给出原始矩阵和结果矩阵，求中间变换对应的初等矩阵
给出初等矩阵原始矩阵，求结果矩阵
给出初等矩阵和结果矩阵，求原始矩阵
考察方式
初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
矩阵的初等(行/列)变换
矩阵与运算
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