人教版高一数学必修一A版第二章
2022-01-06 16:19:50 2 举报AI智能生成
人教版高一数学必修一A版第二章
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大纲/内容
2.1 等式性质与不等式性质
等式性质
等式性质
不等式性质
不等式性质
代数式取值范围
1.题型：已知不等式范围，求mx+ny 的范围
2.解题步骤：待定系数表示不等式，利用不等式性质表示目标代数式，求出范围。
示例
例题：答案C
通用的一般思路
1.借助性质，转化为同向不等式相加进行解答
2.借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件
3.结合不等式的传递性进行求解
2.2 基本不等式
1.基本不等式
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a \in R ，a^2 \geq 0 , \left| a\right| \geq 0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{a^2 + b^2}{2} = (\frac{a + b}{2})^2"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a^2+b^2+c^2 \geq ab + bc + ac"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="若a > b > 0 ，m > 0 ，则 \frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="若a,b同号且a>b 则 \frac{1}{a} < \frac{1}{b}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a,b\in R ,则 a^2 + b^2 \geq 2ab"><span></span><span></span></span>， 当且仅当a=b时取“=”
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="a> 0,b >0 ,a+b\geq 2\sqrt{ab},当且仅当 a = b时取“=”"><span></span><span></span></span>
2.均值不等式
两个正数的均值不等式：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} 变形 a+ b \geq 2\sqrt{ab},ab \leq (\frac{a + b}{2})^2 等"><span></span><span></span></span>
3.最值定理
设<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="x,y>0,由x+y\geq 2\sqrt{xy}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1.如果x,y是正数，且积xy = P (是定值)，则x=y时，x,y的和x+y有最小值2\sqrt{P}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="2.如果x,y是正数，且和x+y=S(是定值)，则x=y时，x,y的积xy有最大值 (\frac{S}{2} )^2"><span></span><span></span></span>
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
三要素
4.利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围、比较大小等
例题1
5.常见题型的解题方法
1.公式直接应用
直接使用公式
2.条件型
“1”乘进去
3.配凑型
配凑法
替代法
针对的是高次/低次的情况
针对低次/高次的情况，同时除以低次幂
4.换元型
换元法
5.万能K法
1.求谁设谁为K
2.消元
3.使方程有解，一般针对一元二次方程
4.例题
例题，按照步骤计算
子主题
最大值18，当且仅当x=6,y=3时
6.求参数型
恒成立问题/存在性问题
转化为最值问题
例题答案选B
例题答案（-4，2）
7.实际应用
实际问题转化为数学问题
答案C(12, 0)时角ACB最大
专项试题
常见题型归纳带答案与解析
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点列表
（1）一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念<br>
概念
一元二次不等式的解与解集<br>
解集
二次函数的零点
零点
（1）二次函数的零点即相应一元二次方程的实数根;
（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与<font color="#ff0000"><span class="equation-text" data-index="0" data-equation="x" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>轴</font>的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;
（3）并非所有的二次函数都有零点.当<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\triangle = b^2-4ac \geq 0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span> 时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.
注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.
（2）三个二次的关系
一元二次方程
知识点
二次函数
知识点
二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨
二次函数最值
一元二次不等式
解集
（3）一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;
（2）计算的值,并判断的符号;
（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
（4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
一元二次不等式在R上恒成立的问题<br>
1
2
3
4
（4）一元二次方程根的分布
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="设方程ax^2 + bx +c = 0存在不相等的两根" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><span class="equation-text" data-index="1" data-equation="为x_1,x_2且x_1<x_2，相应的二次函数为y=ax^2+bx+c" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>
一、两根与0的大小比较即根的正负情况
根的正负情况
二、两根与<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="k"><span></span><span></span></span>的大小比较<br>
两根与k的大小
三、根在区间上的分布
根在区间的分布
知识点拓展:<br>
（4）分式不等式的解法.
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.
标准形式
解题思想
解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.
解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.
各标准形式的分式不等式的解法<br>
（5）高次不等式的解法.
解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤为:
（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;
（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根;
（3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;
（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;
（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.
常见题型
（1）解不含参数的一元二次不等式.
（2）解含参数的一元二次不等式.
（3）三个二次之间的关系.
（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.
（5）不等式恒成立问题.
（6）一元二次不等式的应用.
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