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曲线积分和曲面积分知识点笔记总结

2022-10-26 17:25:24   0  举报

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曲线积分和曲面积分知识点笔记总结

曲线积分和曲面积分

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大纲/内容

10.3 Green公式及其应用

10.3.1 Green公式

封闭曲线的正向

沿边界行走，区域始终在左边

圆环的话，内外圆正向相反

连通区域的分类

单连通区域

没洞

复连通区域

有洞

Green公式

条件

Py，Qx 具有连续的一阶偏导数

没有定义，更不可能有连续的偏导数！

分支主题

利用第二类曲线积分计算平面区域的面积

1/2倍的正向边界曲线上，xdy-ydx 的第二类曲线积分

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件

green定理

条件

偏导数连续

单连通区域

比 green 公式多的一条

要想说明与路径无关，必须在单连通（无洞）区域内证明 Qx=Py

分支主题

10.3.3 全微分求积与全微分方程求解

全微分求积

原函数存在的条件（green定理

单连通区域

偏导数连续

Qx=Py

分支主题

法二

由P对x积分得到U，再求Uy，与Q对比得hapos;（y），求得h（y）即得U

全微分方程求通解

全微分方程的定义

分支主题

全微分方程求解

Qx=Py

分支主题

Qx不等于Py

积分因子

方程两边乘上它以后就是全微分方程了

udu + vdv

分支主题

vdu + udv

分支主题

（vdu - udv）/ v^2

1/x （积分的时候）的原函数是 ln（|x|），别忘了绝对值！！！

不过题目中隐含 gt;0 时不用加（如原式中有 ln y）

全微分式中含有待定系数

条件

单连通区域

P，Q偏导数连续

验证1-3条中的一条成立

结论

Py=Qx，求得待定系数

Gauss公式

10.4.1 Gauss公式

定理

条件

P,Q,R在区域上有连续偏导数

注意公式中是外侧曲面！！内层曲面多一个负号！！

结论

分支主题

揭示了封闭曲面上的第二类曲面积分，与其包围区域上三重积分的关系

10.4.2 通量和散度

向量函数的通量（第二类曲面积分）

分支主题

向量函数的散度（数量：三个分量的偏导数之和）

分支主题

Stokes公式

10.4.3 Stokes公式

第二类曲线积分化为第二类曲面积分

条件

P,Q,R在S上有连续偏导数

分支主题

以 L 为边界的曲面有无数个，尽量选择简单的

第二类曲线积分直接化为第一类曲面积分

分支主题

Stokes 公式的向量形式

分支主题

10.4.4 环量和旋度

向量值函数在某点处旋度（矢量）

分支主题

向量函数在封闭曲线上的环量（第二类曲线积分）

分支主题

N-L、Green、Gauss和Stokes公式的大一统形式

分支主题

第一类曲线积分

第一类曲线积分的概念

实际问题

物理意义——曲线形质线的质量

几何意义——柱面的面积

第一类曲线积分的定义

数量值函数 f(x,y) 在曲线C上的曲线积分

函数 f(x,y) 对弧长的曲线积分

第一类曲线积分的性质

与曲线方向无关

线性

路径可加性

中值定理

积分 = 某点函数值 * 弧长

被积函数为1时，第一类曲线积分表示弧长

第一类曲线积分的计算

参数化与 ds 的确定

分支主题

空间曲线的参数化常常借助三角代换

非常重要和易错：此积分式中下限一定比上限小！

因为ds是弧长，必取正值，故积分限应αlt;β

计算技巧

代入

奇偶性、对称性

第一类曲面积分

第一类曲面积分的概念

物理意义

求一块曲面的质量

定义

数量值函数 f(x,y,z) 在曲面上的曲面积分

f(x,y,z) 对面积的曲面积分

性质

线性

积分曲面的可加性

第一类曲面积分的计算

dS 的确定

法一：双参数化

分支主题

法二：显式方程 z=z(x,y)

分支主题

法三：投影到 xoz 或 yuz 平面

柱面的处理方法

计算技巧

代入

扩大它的概念，不一定要换成常数，也可能利用代入把复杂的积分变简单！

奇偶性、对称性

轮换性

第二类曲线积分

10.2.1 第二类曲线积分的概念

定义

向量值函数在定向曲线C上的积分

两种形式

向量形式

分支主题

此处切向量是单位化的

坐标形式

分支主题

10.2.2 第二类曲线积分的计算

封闭曲线且无洞，green 公式

非封闭曲线且偏导相等，化为折线

若不等则补成封闭曲线

折线与曲线所围区域内无洞

空间封闭曲线上的第二类曲线积分

Stokes公式

参数化

xdx = 1/2 dx^2 ！！！

第二类曲面积分

第二类曲面积分的概念

向量函数在曲面上的积分

向量形式

分支主题

法向量一定要单位化！！！

坐标形式

分支主题

第二类曲面积分的计算

封闭曲面且无洞，gauss 公式

有洞的话，加减以后，第一部分 Gauss 公式，第二部分直接计算

直接计算的常见形式：P=Q=0

此时积分区域由 S 变成 Dxy 的时候也要注意正负！！

非封闭曲面

法一：补成封闭曲面

法二：合一投影法

分支主题

正负的判断——法向量的第三个分量

如果化成向量点乘的形式就不用了

双参数化

分支主题

这就是公式，无需再单位化什么的（已经考虑了）

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