曲线积分和曲面积分知识点笔记总结
2022-10-26 17:25:24 0 举报AI智能生成
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曲线积分和曲面积分知识点笔记总结
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大纲/内容
沿边界行走，区域始终在左边
圆环的话，内外圆正向相反
封闭曲线的正向
没洞
单连通区域
有洞
复连通区域
连通区域的分类
没有定义，更不可能有连续的偏导数！
Py，Qx 具有连续的一阶偏导数
条件
分支主题
Green公式
1/2倍的正向边界曲线上，xdy-ydx 的第二类曲线积分
利用第二类曲线积分计算平面区域的面积
10.3.1 Green公式
偏导数连续
比 green 公式多的一条
要想说明与路径无关，必须在单连通（无洞）区域内证明 Qx=Py
green定理
10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件
Qx=Py
原函数存在的条件（green定理
由P对x积分得到U，再求Uy，与Q对比得hapos;（y），求得h（y）即得U
法二
全微分求积
全微分方程的定义
方程两边乘上它以后就是全微分方程了
积分因子
udu + vdv
vdu + udv
（vdu - udv）/ v^2
1/x （积分的时候）的原函数是 ln（|x|），别忘了绝对值！！！
不过题目中隐含 gt;0 时不用加（如原式中有 ln y）
Qx不等于Py
全微分方程求解
全微分方程求通解
P，Q偏导数连续
验证1-3条中的一条成立
Py=Qx，求得待定系数
结论
全微分式中含有待定系数
10.3.3 全微分求积 与 全微分方程求解
10.3 Green公式及其应用
注意公式中是外侧曲面！！内层曲面多一个负号！！
定理
揭示了封闭曲面上的第二类曲面积分，与其包围区域上三重积分的关系
10.4.1 Gauss公式
向量函数的通量（第二类曲面积分）
向量函数的散度（数量：三个分量的偏导数之和）
10.4.2 通量和散度
Gauss公式
以 L 为边界的曲面有无数个，尽量选择简单的
第二类曲线积分化为第二类曲面积分
第二类曲线积分直接化为第一类曲面积分
Stokes 公式的向量形式
10.4.3 Stokes公式
向量值函数在某点处旋度（矢量）
向量函数在封闭曲线上的环量（第二类曲线积分）
10.4.4 环量和旋度
N-L、Green、Gauss和Stokes公式的大一统形式
Stokes公式
物理意义——曲线形质线的质量
几何意义——柱面的面积
实际问题
第一类曲线积分的定义
与曲线方向无关
线性
路径可加性
积分 = 某点函数值 * 弧长
中值定理
被积函数为1时，第一类曲线积分表示弧长
第一类曲线积分的性质
第一类曲线积分的概念
空间曲线的参数化常常借助三角代换
因为ds是弧长，必取正值，故积分限应αlt;β
非常重要和易错：此积分式中下限一定比上限小！
参数化与 ds 的确定
代入
奇偶性、对称性
计算技巧
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分
求一块曲面的质量
物理意义
定义
积分曲面的可加性
性质
第一类曲面积分的概念
法一：双参数化
柱面的处理方法
法三：投影到 xoz 或 yuz 平面
dS 的确定
扩大它的概念，不一定要换成常数，也可能利用代入把复杂的积分变简单！
轮换性
第一类曲面积分的计算
第一类曲面积分
向量值函数在定向曲线C上的积分
此处切向量是单位化的
向量形式
坐标形式
两种形式
10.2.1 第二类曲线积分的概念
封闭曲线且无洞，green 公式
若不等则补成封闭曲线
折线与曲线所围区域内无洞
非封闭曲线且偏导相等，化为折线
空间封闭曲线上的第二类曲线积分
参数化
10.2.2 第二类曲线积分的计算
xdx = 1/2 dx^2 ！！！
第二类曲线积分
向量函数在曲面上的积分
法向量一定要单位化！！！
第二类曲面积分的概念
有洞的话，加减以后，第一部分 Gauss 公式，第二部分直接计算
此时积分区域由 S 变成 Dxy 的时候也要注意正负！！
直接计算的常见形式：P=Q=0
封闭曲面且无洞，gauss 公式
法一：补成封闭曲面
如果化成向量点乘的形式就不用了
正负的判断——法向量的第三个分量
法二：合一投影法
这就是公式，无需再单位化什么的（已经考虑了）
双参数化
非封闭曲面
第二类曲面积分的计算
第二类曲面积分
曲线积分和曲面积分知识点笔记总结
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