考研高数知识点框架学习总结
2022-10-28 17:48:26 0 举报AI智能生成
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考研高数知识点框架学习总结
作者其他创作
大纲/内容
原函数存在
谈什么
子主题
考点一：基本概念
∫ 1/(1+x²) dx = arctanx + c
∫ 1/√(1+x²) dx = ln[x+√(1+x²] + c
<font color="#c41230">1°最基本积分公式 </font>
2°最基本积分运算法则
预备知识
方法一：第一换元法（凑微分法）
（i）被积函数中含√（ax+b）
令t = √[(ax+b)/(cx+d)]
（ii）被积函数中含√[(ax+b)/(cx+d)]
令t = e^x / tanx
（iii）被积函数为f(e^x) / f(tanx)
令t = √(ae^bx+b)
（iv）被积函数中含√（ae^bx+b）
①直接换元法
②三角换元法
③倒代换（不去√）
方法二：换元法（去根号法）
方法三：分部积分法
方法四：有理分式积分法
方法五：有理三角函数万能公式法
方法
考点二：考点二：不定积分计算
两大考点
不定积分
可积与否
变限积分
谈什么
1°定积分定义
2°定积分结果是一个数
（i）f(x)连续
（ii）f(x)含可去间断点
（iii）f(x)含跳跃间断点
3°可积（理论）
①保序性
②反序性
<font color="#c41230">③对称性</font>
4°性质
5°定积分计算方法
①区间再现
②∫xf(x)dx
③对称性
④周期性
⑤华里士公式
6°定积分中的恒等式
①变限积分/函数的连续性，可导性
②变限函数的奇偶性
7°变限积分
考点一：基本概念及性质
面积
旋转体体积
考点二：应用（几何）
<font color="#c41230">①题型一</font>
<font color="#c41230">②题型二</font>
题型
定积分
反常积分
敛散性
广义积分
一元积分学
（i）
（ii）
（iii）
导数概念
微分概念
导数与微分概念
① f(x)为可导奇函数 => f'(x)必为偶函数
② f(x)为可导偶函数 => f'(x)必为奇函数
eg：f'(x) = f'(x + T) = f'(x + 2T)
③ f(x)为可导周期函数 => f'(x)仍为同周期的周期函数
结论
性质（奇偶性，周期性）
斜率
导数几何意义
①最基本初等函数导数公式
②四则运算
③复合运算
1°反函数的导函数计算
2°隐函数的导数计算
3°参数方程的导数计算
4°变限函数求导
分类
计算导数
单调性
凹
f ''(x)>0
凸
f ''(x)<0
凹凸性
两性
f '(x) = 0（驻点）
f '(x) 不存在（尖点）
（s1）先找所有可能极值点Xo
Xo为极值点
f ''(Xo)≠0
Xo为极小值点
f ''(Xo)>0
Xo为极大值点
方法一（驻点）：令f '(Xo)=0
（i） 若变号，则Xo为极值点
（ii）若不变号，则Xo不为极值点
方法二（驻点，尖点）：X --> Xo(去心邻域)，f '(x) 是否变号
（s2）判断上述可能极值点Xo
1° 已知 y = f (x) (初等函数，隐函数，变限函数，分段函数)
Xo为极小（大）值
① X --> Xo: f (X) >（<） f(Xo)
② X --> Xo: f '(X) 变号
(Xo，f(Xo))为拐点
③ X --> Xo: f ''(X) 变号
方法：保号性
2° 已知极限， 判断极值点 / 拐点
f ''(Xo)≠0
f ''(Xo)>0
f ''(Xo)<0
f '(Xo)=0
f '''(Xo)≠0
f ''(Xo)=0
3° 已知 f(x) 满足微分方程，问极值点 / 拐点
极值点
f '(x) = 0
f '(x) 不存在
（s1）先找所有可能最值点
（s2）把上述可能最值点代入比大小
最值点
f ''(x) = 0（驻点）
f ''(x) 不存在（尖点）
（s1）先找所有可能拐点Xo
方法一（驻点）：令f ''(Xo)=0
（i） 若变号，则Xo为拐点
（ii）若不变号，则(Xo，f(Xo))不为拐点
方法二（驻点，尖点）：X --> Xo(去心邻域)，f ''(x) 是否变号
（s2）判断上述可能拐点Xo
1° 已知 y = f (x) 求拐点
同上
2° 已知极限， 判断极值点 / 拐点
4° 从 f (x) 图像上来看拐点
拐点
三点
x -> +无穷
x -> -无穷
水平渐近线
(i) 如果这一侧有渐近线，那就别找斜渐近线了
(ii) 若这一侧没有水平渐近线才有可能有斜渐近线
斜渐近线
lim y = 无穷
铅直渐近线
渐近线
一线
（i） 单调性
（ii）最值性
（iii）凹凸性
方法：构造函数F(x)
函数不等式
方法：转化为函数不等式
常数不等式
①不等式证明
零点定理
罗尔定理
②方程根个数
③中间值证明
k
r
<span style="font-size: inherit;"><font color="#000000">数一数二</font></span><br>
应用一
应用二
应用
一元微分学
1° 定义域
代入法
换元法
2° 对应法则
3° 反函数
f（x）单调递增
<=
f '(x) > 0
eg: y = x^3
≠>
④ 任意a，b∈R 有 a²+b²≥2|ab|
⑤ x ∈ R，e^x≥1+x
基本不等式
有界无界性
定义及方法
奇偶性
周期性
4° 函数特性
常值函数
幂函数
指数
对数
三角函数
反函数
5° 最基本初等函数
绝对值函数
取整函数
最值函数
6° 非初等函数
六种
| f (x) - A | 可以任意小
<=>
f (x) --> A
| f (x)-A | ≤ 0
任意狗>0
收敛
固定有限值
定义
极限保函数
保号性
性质
速度比较：指数无穷>幂数无穷>对数无穷
1° 无穷因子取大头
2° 非零因子可先算出
① 定义
② 性质
脱帽法
③ 无穷小与极限关系
整体运用法
题型：已知一个极限，求另一个极限
④ 无穷小的比较
本质
目的
形式
（1）一般公式
（2）麦克劳林公式
（3）常见麦克劳林公式
⑤ Taylor 公式
无穷小
3° 零因子等价替换或Taylor
（s1）先化简
第二类：0 · 无穷
无穷 - 无穷
无穷 + 无穷
第三类：未定式
第四类：1^无穷，无穷^0，0^0
（s2）再洛必达
步骤
函数极限
将数列极限性化为函数极限
① 若易于连续化
夹逼准则
定积分定义
单调有界准则
② 若不易于连续化
数列极限
计算
7° 极限
函数
用于解决无穷和式数列极限
1° 定义
几何表示
总结
V = ∫∫f（x，y）dxdy
V = ∫∫f1（x，y）- f2（x，y） dxdy，其中f1>f2
题型二：由曲面 z = f1（x，y）及曲面 z = f2（x，y）所围立体体积
2° 几何意义
① 线性性质
题型：用于分片函数二重积分计算，用到积分区域可加性
② 积分区域可加性
题型：欲比较同一积分区域D上两个二重积分大小，只需比较（x，y）∈ D时，两个被积函数大小关系
③ 保序性
（i） D~闭区间
（ii）f（x，y）~连续
条件
积分中值定理
轮换对称性及对称性
题型：用于计算抽象函数二重积分
④ 积分中值定理
对称性
轮换对称性
D-->D上/下，无系数
区别
⑤ 对称性和轮换对称性
3° 基本性质
考点一：最基本概念及性质
X-型
Y-型
类型
e^±y²
cos y²
sin y²
cos^(x/y)
sin^(x/y)
e^(x/y)
cosy/y
siny/y
(e^y)/y
☆ 记住一些对y不好积的（先积x）
直角坐标系
极坐标系
①
② 分片函数求二重积分
③
题型：变限函数的二重积分计算
特殊二重积分的计算
考点二：计算方法
多元积分学
方向：四面八方
路径：任意（折线，曲线）
② P-->Po
③ f（x，y）在一点处Po（x0，y0）处极限 = A，A固定有限
二元函数Z=f（x，y）在一点处Po（x0，y0）处极限
都存在但不相等
（ii）存在两条路径，让P-->Po时
① 用定义可证明极限不存在
（s1）若将（x，y）=（x0，y0）代入f（x，y）中得到一个有意义数A，称A为其极限
不允许使用洛必达
先化简（等价替换，Taylor）
则极限存在且为0
（i） 上次>下次
不存在
（ii）上次=下次
（iii）上次<下次
注：以上三种情况，条件要求分母必为[ （x-x0 ）² + （y-y0）² ]^α，若不是，一般都不存在
再考虑上下次数
（s2）若将（x，y）=（x0，y0）代入f（x，y）中时，出现 0/0 型
② 如何求极限
用法：不用正面计算极限
1° 二元函数
2° 连续
① 用于检验f（x，y）在Po（x0，y0）处是否偏导存在
f（x，y0）= φ（x）
（s1）现将y = y0 代入
直接求导，再代入x0
φ（x）初等函数
用 lim 求极限，x-->x0
φ（x）分段函数
用法
3° 偏导存在
4° 可微
5° 偏导连续
考点一：五个概念（以小题为主 or 大体中步骤分）
① 初等函数
② 抽象复合函数
③隐函数
①
②
反问题
Zx'y' = Zy'x'
=>
套话
考点二：偏导数与全微分计算
f x' = 0
且
f y' = 0
（s1）先找驻点
A = f x'x'
B = f x'y'
C = f y'y'
驻点代入ABC
A > 0，极小值点
A < 0，极大值点
（i） AC - B > 0
（ii） AC - B < 0
Hessim 失效
（iii）AC - B = 0
（s2）Hessim海塞定理
引入拉格朗日函数
令
② 条件极值
极值
找驻点，令
f 'x = 0
f 'y = 0
D内部
D边界
（s1）找D内驻点
（s2）代入目标函数
最值
考点三：应用
多元微分学（不能用洛必达）
求解计算（4'）
一元微分（导数）+ 微分方程
一元积分（定积分应用）+ 微分方程
多元微分计算
二重积分计算 + 微分方程
综合应用题（10'）
两类
考点一：基本概念
y ' = p(x)·q(y)
（i）变量可分离
（s1）换元
（s2）变量可分离
（s3）回归元
y ' = f (y/x)
（ii）齐次方程
公式法
（iii）一阶线性微分方程
（iv）伯努利方程（数一）
（v）全微分方程（数一）
1° 变量可分离
2° 直接积分
y ' = p(x)·q(y)。q(y)已知
变量可分离
y ' = p(x)·q(y)。p(x)已知
小妙招
一阶
y '' + p(x)y ' + q(x)y = 0
二阶线性齐次
y '' + p(x)y ' + q(x)y = f (x)
二阶线性非齐次
非齐通 = 齐通 + 非齐特 y*
y* = X^s · f(x)完整形式
（s1）f (x)完整形式
（s2）X^s
求 y*
公式
y '' + p·y ' + q·y = f (x)
二阶常系数非齐次
1° 形式
2° 性质/结论
二阶线性微分方程
二阶可降阶微分方程（数一数二）
二阶
考点二：求解计算（求通解）
微分方程
常微分方程
考研高数知识点框架学习总结
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