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重积分知识点学习笔记

2022-10-31 11:43:01   1  举报

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重积分知识点学习笔记

重积分

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大纲/内容

9.3三重积分的计算

9.3.1三重积分在直角坐标系下的计算

1) 柱线法

xy正则区域

柱线法计算公式

先“定积分” 后“二重积分”lt;brgt;

2) 截面法

z型空间区域

截面法计算公式

分支主题

截面法适用情况

被积函数只是z的函数、且平行xoy面的截面面积容易计算时，一定要用截面法！

直角坐标系下三重积分计算总结

三重积分的轮换性

球体区域

椭球体区域

直角坐标系下，三重积分的对称性

直角坐标系下，三重积分的难点——画立体图形

只要知道交线就可以了！

画出一个柱面，然后画出最后一个曲面与它的交线

画交线即画两个交点！

没有z的方程就是一个垂直xoy平面的柱面！

易错：锥面于球面的交线是否超过赤道

求多重积分比什么的极限

化多重积分为一重积分然后求导，注意导数定义的运用

f（x）在x=0处可导与f（x）在0处导数连续的区别

9.3.2三重积分变量代换

三重积分变量代换的定理

分支主题

常见适用情况

椭圆区域

被积函数中有诸如x^2+y^2+(z+2)^2的形式

分支主题

算重积分的时候雅可比行列式别忘了！

9.3.3三重积分在柱面坐标系下的计算法

本质

本质上就是柱线法或者截面法，然后其中的二重积分再用极坐标

柱面坐标系中r，θ，z的几何意义

柱面坐标变换

柱面坐标系的两种计算方法

柱线法+极坐标

截面法+极坐标

适用条件之一即可

被积函数含有x^2+y^2

投影区域是圆域或扇形或扇环

9.3.4三重积分在球面坐标系下的计算法

球面坐标

球面坐标变换

分支主题

Jacobi行列式

广义球面坐标变换

换椭圆

三重积分的雅可比行列式同样有倒数性质

分支主题

9.4重积分的应用

前三节中涉及的重积分应用

平面图形的面积

空间立体的体积

空间物体的质量

9.4.1曲面面积

二重积分的微元法lt;brgt;

先找

进而得到

注意

两个曲面联立消去 z，得到的就是两个曲面的交线在 xoy 平面上的投影

求一部分圆柱面的面积

9.4.2重积分的物理应用

物体的质心

分支主题

本章总结

二重积分计算题目

特点总结

超级易错！

开偶次方一定要加绝对值！！！

半径是右边开平方！lt;brgt;

不能看到2就写半径为2

一元函数积分与二重积分的综合（计算题或证明题）

如变量代换的证明题

poisson积分的计算

计算方法

x、y型区域

交换积分顺序

极坐标变换

变量代换

利用区域对称性和函数奇偶性

特殊题型

利用定义

分支主题

密度函数*面积元的求和

三重积分计算题目

计算方法

柱线法

截面法

球坐标代换

变量代换

区域对称性和函数奇偶性

9.重积分的概念和性质

9.1.1二重积分和三重积分的概念

物理意义

平面薄板的质量

几何意义

曲顶柱体的体积

平面图形的面积

被积函数为1

二重积分定义

二重积分的存在性和极限值与区域D的分划方式及每个小区域中点的取法无关

不存在时可通过取不同点得到不同值来体现

三重积分定义

可积的充分条件

有界闭区域上连续则可积

初等多元函数在定义域上都连续，连续必可积

有界闭区域上有界，且只有有限条光滑曲线上不连续

9.1.2重积分的性质

如果能计算直接面积的话，会方便很多！！

9.2 二重积分的计算

9.2.1直角坐标系下的计算公式

正则区域

交换x，y的积分次序

以累次积分形式给出的二重积分计算困难时, 可以考虑交换积分次序

利用被积函数和区域的对称性计算二重积分

固定 y，z 时，如果关于 x 是奇函数且有对应的对称性，则积分就为 0！

直角坐标下，画不出区域时求二重积分的方法lt;brgt;

求一个不知名曲线围成的面积——先求一个变量的范围（用另一个表示上下限），然后根据其有意义的条件得另一个的具体范围

求两个带 z 的平面在某一范围内所夹出的立体的体积——关键：找出积分区域，判断两个z的相对大小（直接绝对值也可）

x 与 y “记号”变换凑二重积分法

典例—— Poisson 积分的计算

9.2.2极坐标系下的计算公式

适用极坐标计算的情况

区域是圆域, 扇形域

被积函数有 x方+y方的形式

θ型正则区域

θ型区域的具体计算类型

极点在区域外部

正常

极点在区域边界上（也有可能同时满足3）

此时θ的范围可以由rgt;=0解出lt;brgt;

极点在区域内部（是指被包围了，lt;brgt;即一圈的任意射线都与区域相交，并不一定在区域内部

r型区域

圆弧线划过去必须满足：与非区域边界最多有两个交点

画圆弧找出最近的r和最远的r（常数），然后逆时针找θ(r)的上下限

极坐标下，画不出积分区域的积分计算

根据已知的式子挖掘出lt;brgt;所有的不等式确定范围即可积分

不仅有rgt;=0，更有r大于等于二分之一！

9.2.3二重积分的变量代换

定理

变量代换是高级方法，合理利用会大大简化！一定要注意公式中是雅克比行列式的绝对值！！！别忘了绝对值！lt;brgt;

分支主题

变量代换的常见情况

不过原点的圆域，化到标准圆域

经常会遇到变换之后到圆域上，再用极坐标代换

任意正或斜椭圆区域，化成标准圆域

两条直线与两条双曲线相交而成的区域，化成矩形区域

边界映到边界（边界曲线方程的变换）

区域变换以后形成的域的原象，可能有两块

雅克比行列式的倒数关系

常常令 u=x,y 的函数，此时所需雅克比行列式的倒数易求！

变量代换时范围的确定

边界映到边界

一个有确切范围，第二个需要用第一个表示出来

第二个需要解出原有的表达式

坐标变换时如果已经写成了累次积分的形式，那么一定要注意不能只改变上下限，因为上下限等于的还是原来的变量！

技巧

使用运用立体形状的对称性及质量的分布特性

适当选择可以简化计算的图形

题型

求曲面面积

求立体表面积

求转动惯量

平面

立体

求质心

平面

立体

应用

质心（重心）

特殊情况：均质物体，则为形心

曲面面积

转动惯量

引力

二重积分

曲顶柱体的体积

平面薄片的质量

平面区域的面积

三重积分

立体的体积

立体的质量

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