数学
2016-08-04 18:37:01 0 举报AI智能生成
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。它是一种逻辑推理的工具，也是一种解决问题的方法。数学的基础包括数论、代数、几何、拓扑学、统计学和微积分等。在现代科学和技术中，数学被广泛应用于计算机科学、物理学、经济学、生物学等领域。数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和哲学体系，它能够培养人们的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。因此，数学被认为是人类智慧的结晶和文化的重要组成部分。
作者其他创作
大纲/内容
数与式
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
负分数
正分数
相反数
定义：和为零的两个数互为相反数
0也有相反数
绝对值
定义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值
0有绝对值
乘方
同底数幂
原来的底数做底数，指数的和或差做指数
平方差
（a+b)(a-b)=a²-b²
幂的乘方
底数不变，指数相乘：（a^m）^n=a^(m乘以n)
积的乘方
（a乘以b)^n=a^n乘以b^n
完全平方
(a+或-b)²=a²+或-2ab+b²
先乘方再乘除再加减（有括号先开括号）
平方根
根号下的数≥0，不能小于0，且开出来的数有正负数、0
算术平方根
根号下的数≥0，不能小于0，且开出来的书只能是正数、0
立方根
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
实数与数轴上的点一一对应
无理数，即无限不循坏小数
满足无理数的三个条件
不循环
是小数
是无限小数
有理化
分母有理化：把分母中的根号消除
分子有理化：把分子中的根号消除
科学记数法表示数：从左数第一个有意义的数，写成 这个 有意义的数乘以10^n
提公因式
am+bm+cm=（a+b+c)乘以m
公式法
先变成ax²+bx+c=0,再用△=b²-4ac
十字相乘法
分式
定义：形如A/B，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如果x/y是分式，那么x(y+2)/y也是分式
判断：①分式的分母中必须含有字母；②分母的值不能为0
函数
量
变量
即是未知数
常量
不变的量，即是常数
三种表示法
解析
图像
列表
根据题意确定函数的自变量的取值范围
一次函数
意义
一般的。在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于每一个x确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x称为自变量
表达式
y=kx=+b（k为常数，k≠0）
画图的一般步骤
列表
描点
连线
性质（k＞0过一三象限，＜0过二四象限。b＞0过一二象限，b＜0过三四象限
`k＞0，b＞0时过一二三象限
k＞0，b＜0时过一三四象限
k＜0，b＞0时过一二四象限
k＜0，b＜0时过二三四象限
正比例函数
意义
一般的，两个变量x、y之间的关系式可以写成形如y=kx（k为常数，且k≠0,）的函数，那么y就叫x的正比例函数
性质
k＞0时过一三象限
k＜0时过二四象限
表达式
y=kx(k为常数，k≠0)
一次函数和正比例函数相同的性质
当k＞0，y随x的增大而增大
当k＜0，y随x的增大而减小
反比例函数
意义
一般的，两个变量x、y之间的关系式可以写成形如y=k/x(k为常数，k≠0）的函数，那么y就叫x的正比例函数
表达式
y=k/x(k为常数，k≠0，x≠0）或xy=k
性质
当k＜0时，双曲线分布在二四象限。且每一象限中y随x的增大而增大
当k＞0时，双曲线分布在一三象限。且每一象限中y随x的增大而减小
图像
双曲线
二次函数
意义
一般的，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数
表达式
y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)→一般式
y=a(x-x1)(x-x2)→交点式
y=a(x-h)²+k→顶点式
图像
抛物线
与x轴交点
当△＞0，函数与x轴有2个交点
当△=0，函数与x轴有1个交点
当△＜0，函数与x轴没有交点
与y轴交点
x=0，所以与y轴交点就是c的值
开口方向
a＜0，朝下
a＞0，朝上
性质
当a＜0，y在对称轴右侧时，y随x的增大而减小。y在对称轴左侧时，y随x的增大而增大
当a＞0，y在对称轴右侧时，y随x的增大而增大。y在对称轴左侧时，y随x的增大而减小
顶点坐标
（-b/2a,4ac-b²/4a)
对称轴
x=-b/2a
一次函数不一定是正比例函数，正比例函数一定是一次函数
不等式
基本性质
①不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变
②不等式的两边同时乘以或除以同一个大于0的数，不等号的方向不变
③不等式的两边同时乘以或除以同一个小于0的数，不等号的方向改变
解一元一次不等式
解简单的一元一次不等式
去分母（运用性质②③）
去括号
移项
合并同类项
将未知项系数化为1（运用性质②③）
解由两个不等式组成的不等式组
去分母（运用性质②③）
去括号
移项
合并同类项
将未知项系数化为1
结果取值诀窍
大大取大
小小取小
大小小大中间找
无公共部分既无解
表示方法
用不等式表示
用数轴表示
根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式（组）
图形的认识
角度的度分秒概念
1°=60′ 1′=60″ 1°=3600″
角平分线
性质
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直两边的距离为最短距离。被平分角会得到的相等的两个角
垂线段（概念）
平面内，过一点有且只有一条与已知直线垂直
点到直线之间，垂线段最短
垂线
定义
当两个直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足
垂线、垂线段的区别
垂线段有两个端点，垂线没有
垂线段可度量，垂线不可度量
垂线是一条直线，垂线段是一条线段
线段垂直平分线性质
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
垂直平分线垂直且平分所在线段
平行线性质
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
两条平行线间的距离处处相等
三角形
具有稳定性
三条角平分线交于一点
等底等高的两个三角形面积相等
等腰△
有两条边相等的三角形为等腰△
两底角相等
三线合一：在同一个三角形中，三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合
等腰△包括等边△（又叫正△），所以等边△也有三线合一的性质，且三个角相等，均为60°
全等三角形
概念：两个三角形所对应的边和角都相等，就是全等三角形
判定方法
边角边
边边边
角边角
HL（直角三角形用：两个三角形已知都是直角三角形，证斜边和一条直角边相等）
直角三角形
两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半
在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半
在直角三角形中，若a²+b²=c²，那么c边为斜边
一个三角形，如果这个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是以这边为斜边的直角三角形
多边形
内角和：(n-2)乘以180°外角和：180n-(n-2)乘以180°【n为多边形边数】
正多边形：各边各角都相等的多边形
平行四边形
概念：在同一平面内，有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
性质
两组对边平行且相等
对角相等，邻角互补
是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（不是轴对称图形）
判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
概念：有一个角是直角的四边形是矩形
性质
矩形四个角都是直角，对边相等
矩形对角线相等
矩形既是轴对称图形有是中心对称图形
对角线互相平分
正方形
概念：一个角为直角且一组邻边相等的平行四边形为正方形
性质
有一组邻边相等的矩形是正方形
一个角为直角且一组邻边相等的平行四边形为正方形
有一个角是直角的菱形
对角线垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
梯形
概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形
性质
等腰梯形的两底脚相等
等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形是轴对称图形
梯形上下两底平行
梯形的中位线（两腰中点相连的先线叫中位线）平行于两底且等于上底加下底和的一半
平行四边形、矩形、正方形、梯形的关系
平行四边形包括矩形和正方形，矩形包括正方形，梯形单独一类
平行图形镶嵌
定义：用大小形状相同的几种或一种图形进行镶嵌，彼此之间不留空隙，拼成一片
要求
各个顶点处内角和为360°
圆
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧
不在同一平面的三个点确定一个圆
直径所对的圆周角是直角
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半
在同圆或等圆中，同弧所对的弦、圆心角相等。
方程与不等式
配方法
ax²+bx+c=ax²+bx+c+(b/2）²-（b/2)²
公式法
因式分解法
列方程（组）解应用题，要检验结果是否合理
解分式方程必须检验
图形与变换
轴对称
基本性质：对应点所连得的线段被对称轴垂直平分；对应线段、角相等；两个图形完全相等
平移
旋转
相似三角形
判断
两角对应相等
两边成相同比例且夹角相等
两个三角形一条对应边平行
三边成相同比例
两个直角三角形中：如果斜边与直角边对应边成比例
射影定理（BD为AC边上的高）
BD²=AD乘以DC
AB²=AD乘以AC
BC²=CD乘以CA
图形的位似
可将图形缩小
可将图形放大
性质
位似图形的线段比等于相似比
位似图形对应点连线的交点是位似中心
位似图形的面积等于相似比的平方
位似图形的对应边平行
位似图形的高、周长都等于相似比
位似图形的对应角相等
三角函数值
30°
sin30°=1/2, cos30°=根号3/2， tan30°=根号3/3，cot30°=根号3
45°
sin45°=根号2/2,cos45°=根号2/2,tan45°=1，cot45°=1
60°
sin60°=根号3/2，cos60°=1/2,tan60°=根号3，cot60°=根号3/3
图形与证明
一条直线截两条平行直线所成的同位角相等
两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两直线平行
统计
收集数据
整理数据
描述数据
分析数据
众数
这组数据中出现次数多的数（众数可以是好几个，也可以没有）
中位数
将这组数据从小到大排列起来，位于中间位置的数为中位数
平均数
在一组数据中，所有数据之和再除以这组数据的个数
极差
极差=x乘以这组数据的最大值-x乘以这组数据最小值
方差
方差=1/n【（x-这组数据平均数）²+（x2-这组数据平均数）²+…（xm-这组数据的平均数）²】→n为这组数据个数
频数
定义：在统计学中，将样本按一定方法分成若干组，每组含有这个样本个体的数目叫做频数
频率
定义：一组数据的频数与样本容量的比值，叫做这组数据的频率
有了频率或频数就可以知道数的分布情况
概率
定义：表示随机事件可能发生大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性
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