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数学一

2019-06-17 10:38:28   2  举报

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基于自己整理的考研张宇数一强化班的笔记，加上一些个人认为重要的技巧

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大纲/内容

高等数学

高数上

函数极限连续

极限

定义

性质

数列

函数

判断有界性

理论法

计算法

四则运算法

函数闭区间连续则有界，开区间就不一定了

极限计算

1. 化简

等价无穷小

恒等变换

抓大头

2. 判别类型

0/0, inf/inf, ... 七种类型

通分以最高阶的分母来通

3. 使用工具

洛必达

泰勒公式

4. 注意事项

求未知参数分类讨论

变限积分考虑积分内用泰勒公式替换

数列计算

1. 已知通项公式且易于连续化

归结原则（海涅定理）

2. 已知通项但不易于连续化

夹逼准则

3. 通项由递推给出

单调有界准则

无穷小

变限积分无穷小的结论

被积函数阶数加一 × 区间阶数

四则运算无穷小的结论

对于复杂函数用泰勒公式展开比阶

求高阶展开式用无穷级数展开的方法

连续性

证法

lim- = lim+ = f(x0)

lim f(x+△x) - f(x) = 0

加上绝对值通过夹逼可证

对于复合函数

连续函数复合连续函数得到的依然是连续函数，单独讨论断点

一元函数微积分

定义

导数

扩展结论

x=x0 处，f(x) 可导，g(x) 连续不可导，则 f(x) · g(x) 可导的充要条件为 f(x0) = 0

f(x) 一阶导数连续且 f'(x)≠0，那 f(x) 必单调增 or 减

因为连续函数不过零点必恒大于 0，或恒小于 0，此结论可推广到高阶

微分

可微

线性增量

不定积分

原函数存在判定

定积分（黎曼/常义积分）

定积分存在

f(x) 在 [a,b] 上连续或有界且只有有限个间断点

必要条件：

函数在 [a,b] 上必有界，[a,b] 为有限区间

[a,b] 内的不定积分连续

精确定义（可推广到二三重）

[a,b] 任意切分、任意取高，积分存在且唯一则 f(x) 可积

n 等分 [a,b]，取右端高（求无穷级数）

变限积分（连续函数的原函数）

定积分存在 / f(x) 可积 => 变限积分连续

故只要变限积分存在则必连续

f(x) 连续 => 变限积分可导

反常积分

1. 破坏区间有界性

积分区间含有无穷

2. 破坏 f(x) 的有界性

(a,b) 区间积分，b 的左极限为无穷，b 为瑕点

瑕点和 ±∞ 统称为奇点

敛散性判断

足够近则收敛，不够近则发散

1. 无穷区间的 p 积分

2. 分母趋于 0 的 p 积分

3. xlnx 的广义 p 积分

4. 极限下被积函数比较法

奇点处取极限比较被积函数和 p 积分被积函数，参考无穷级数的比较判别的极限形式

与函数性态的联系

f(x) 连续 ==》 F(x) 可导

f(x) 可积 ==》 F(x) 连续

f(x) 奇偶

f(x) 奇，f'(x) 偶，F(x) 偶

f(x) 偶，f'(x) 奇，F(x) 若下限为 0 则奇，否则不一定

f(x) 周期

若一周期积分为 0，则变限积分 F(x) = ∫f(t)dt 也为周期

前置理论为：∫ [0, T] = ∫ [a, a+T] （f(x) 周期可积）

f(x) 有界

f(x) 有限区间内可导且 f'(x) 有界，则 f(x) [a,b] 有界

f(x) 单调

不一定

计算

求导

高阶求导

0点处高阶求导考虑用泰勒公式

非点，f(x) = u·v，求广义的 n 阶导则用莱布尼兹公式（记住初等函数的 n 阶导数公式 P62）

积分

定积分

技巧

三角函数的 n 次定方积分：华里士公式 / 点火公式

区间再现公式

换元换限

周期性和奇偶性

变限积分

见变限积分基本就往求导想，求导前把 x 变量替换出来

如果要进行函数分析，可以用积分中值定理搭配上极限对积分拆解

变限积分内部如果趋于 0，也能用泰勒等进行替换

反常积分

单侧直接求积分，存在则收敛；双侧分两段积分，都存在则收敛。积分值为单侧（或两个单侧）极限积分的结果

若收敛，按定积分求极限方式计算，奇点处变成求极限，牛莱、换元、分部积分都可以用，见 2013.(12)

不定积分

凑微分：寻找复杂的主要部分，求导与剩余对比，相等则直接 d剩余

微观换元：根号内平方的部分换成三角函数，用 1=cos²x+sin²x，△化成▽

x²-4 => x=2sect

4-x² => x=2sint

x²+4 => x=2tant

往回带时涉及倍角则用万能公式

式子中幂次数相差太大最好先分部积分降到同次

宏观换元：整个复杂部分令成 t

分部积分

需要多次进行分部积分时其扩展形式见 P124

有理函数积分

主要为分母因式分解，然后拆为 N 项简单式和，分子少分母一阶，然后凑微分缩到 dx 里，其分子待定系数规律见 P125
剩下常数分子分母多项式就化成 (平方+常数) 用 arctan 做积分

t^4 + t^2 +1 => (t^4 + 2*t^2 +1) - t^2 然后平方差展开

几何应用

导数

单调性

极值

定义

性质

判定

最值

1. f'(x) = 0 得驻点

2. f'(x) 不存在得不可导点

3. 区间端点或其极限值

凹凸性

凹：二阶导 > 0

凸：二阶导 < 0

渐进线

三步曲

曲率

曲率公式

曲率半径

曲率圆

积分（测度）

平面图形的面积

根据求导研究性态简化积分

旋转体体积

小片面积积分叠加得体积

柱壳法：展开柱体壳层求矩形面积往外叠加得体积

二重积分法：对旋转区域二重积分，被积函数为 2π r(x, y) （r(x, y) 为区域内点到直线的距离）

平均值

区间积分除以区间差

联系

极值和最值

一阶二阶导某点左右变号时才为极值 or 拐点

逻辑题（证明）

中值定理（低频）“ξ”

考法

研究对象复杂化

区间复杂化

介值定理

积分中值定理（连续函数上下界，常数替代函数提出去）

方程根

存在性

罗尔定理

零点定理

唯一性

单调性

罗尔原话

解题思路

1. 根据函数值研究出至少有几个根

2. 多次求导，根据单调性得出至多几个根

3. 罗尔原话推出函数有几个根

不等式

核心在于用求导研究函数性态

解题思路

研究 f(x) < g(x)，即研究 h(x)=f(x)-g(x) < 0

2. 利用单调性等导数工具以及常数变量化等技巧证明

3. 给出函数值相减以及一阶导数，f(b)-f(a)，立即想到拉格朗日中值定理

常用技巧

具体函数

含三角函数

周期性

高数下

多元函数微分学

概念

极限存在性

两种定义

一种取点周围交上定义域，另一种只管点周围

等价无穷小替换

无穷小 x 有界 = 无穷小

夹逼准则

连续性

(x,y)->(x0,y0)，极限存在且等于函数值，则连续

偏导数存在性

用偏导定义，分别看xy偏导极限是否存在

可微性

函数全增量与线性增量的差是点距离的高阶无穷小

偏导数的连续性

定义求偏导，得偏导函数点值

公式求偏导，得偏导函数极限值

点值和极限值比较

隐函数存在定理

F(x0,y0,z0) = 0，F'z(x0,y0,z0) ≠ 0，则能确定一个 z = z(x, y) 的隐函数（x = x(y,z)，y = y(x,z) 同理）

具体 z 对 x 偏导 = - F'x / F'z

计算（严格按照链式，不能随意进行四则运算）

求具体值 f(x0,y0), fx'(x0,y0), fxy''(x0,y0), 请全部用定义法！！！

只有在求偏导连续性时才用公式法

二阶偏导连续则偏导次序无关

对于单连通区域，全微分存在，一阶偏导连续，也可推出混合偏导相等（见曲线积分）

隐函数求导

F(x, y, z) = 0，两端对 x 求导得，Fx' + Fy' * dy/dx + Fz' * dz/dx = 0

注意

应用

极值与最值

无条件极值

必要条件

充分条件

最后求得极值点代入 f(x, y) 算得极值

解题思路

基本考计算

当 △ 法为 0 时，回归极值定义：
求该点处的极限，如果能找到两个 y = f(x) 使得 f(x0,y0) 不等式不恒成立，则不是极值点

条件极值（最值）

拉格朗日乘数法

注意对于不封闭的条件区域（如 x > 0），要代入端点来求得最大最小值

区域极值：区域内无条件 + 边界上条件

无穷级数

定义

数项级数

改变有限项（增加、减少、改值），不会改变该级数的敛散性

无穷级数收敛 => limUn=0

证 {an} 数列收敛（非无穷级数）

单调有界

数项级数的判敛

正项级数 Un≥0

收敛原则

比较判别法

比较判别法的极限形式

比值判别法（达朗贝尔判别法）

根植判别法（柯西判别法）

还可以使用求极限的数列计算工具做证明（归结原则，单调有界，夹逼，泰勒展开）

交错级数 Un>0

莱布尼兹判别法

主要在于讨论单调性，可以通过连续化借助导数工具

证绝对收敛

任意项级数（一般为上两个级数的组合）

若 Σ|Un| 收敛，则级数绝对收敛

级数绝对收敛，则级数必收敛

若 Σ|Un| 发散，级数收敛，则级数条件收敛

级数收敛，任意加括号后新级数仍收敛，其和不变

绝对收敛的级数重新排列后仍然收敛，其和不变（可以推出正项级数也拥有这个特性）

典型的级数

等比级数

p级数

广义p级数

交错p级数

常见判敛

分母含常数的分式，或者分母含无穷小的变量，可以放缩掉

含sinx，x趋于0则可以用x换掉，不指定范围可以用1换掉

没有头绪的抽象级数，可以考察部分和

抽象级数判敛

一种方法是举例

对于告知某级数收敛，或 lim an = 0，可以通过 加绝对值 取 n > N 时 an = 1 做放缩，根据正项级数比较法得出结论

幂级数的收敛域

找收敛半径 R，再判定两端点的敛散性

1. 通项取绝对值

2. 比值或根值判别法，令 ρ(x) < 1，得到 x 的取值范围，即为 R

3. 单独判断两端点处的敛散性

逐项求导（积分）

收敛域可能缩小（扩大），收敛半径不变

展开与求和

展开

将函数（提取公因或求导积分等）凑成重要幂级数展开式的形式，注意收敛域

求和

提出 x 消去 n 变成 x 的函数

分子 a*n+b 先积后导

S(x) = g(x) * ( ∑ ∫f(x)dx )'

分母 a*n+b 先导后积

S(x) = ∫S'(t)dt + S(a) 积分为变限积分，下限 a 取 S(a) = 0，否则要加上 S(a) 项

计算常数项级数的和

乘上 x^n，令为幂级数和 S(x)

傅里叶级数

狄利克雷收敛定理

f(x)以 2l 为周期，在[-l, l] 上满足

1. 连续或只有有限第一类间断点

2. 有限个真正的极值点

【记】展开式 f(x) ~ S(x) =

收敛时求 S(x) 直接看 f(x)，间断点取左右极限平均，端点取左右端点平均

求 f(x) 直接带点，求 S(x) 才看 f(x)

微分方程

定义

阶数

方程最高阶导数为方程阶数 = 通解中独立常数的个数

一阶方程

可分离变量型

分离然后两边积分

齐次型（x、y增加相同常数倍函数值不变）

令 u = y/x，变为 u 对 x 的微分方程，解出来后回代 y = ux

一阶线性型 y'+p(x)y = q(x)

直接带凑微分公式

伯努利方程 y'+p(x)y = q(x) · y^n

左右除 y^n，令 z = y^(1-n)

全微分方程 M(x, y)dx + N(x,y)dy = 0， dM/dy = dN/dx

u(x, y) = ∫Mdx+c(y)，再对 y 求导得到 c(y)，通解则为 du(x, y) = 0，即 u(x, y) = C

关于绝对值的符号问题，以及分离变量时分母为零不包含的情况

解的结构

一阶线性非齐次

对于两个非齐次特解，相减可得齐次解

代入齐次解得 p(x)

代入非齐次解得 q(x)

可降阶型

y'' = f(x, y')

缺 y，降阶 y'，p = y'

y'' = f(y, y')

缺 x，p = y'，消去 dx，改成 p 对 y 求导，dy/dx = p

高阶方程（2~4 阶）

二阶常系数微分方程

齐次方程通解

写出特征方程求出特征根，填入对应解的形式

根据通解初值，以及通解求导初值求得参数

非齐次方程通解 = 齐次通解 +非齐次特解

两种情况的特解形式

特解回带到微分方程求出系数

先求特解系数再求通解常数

解的结构

齐次的两个解相除不为常数，则线性无关

对于给出的解，得到两个线性无关齐次解，套上两个常数就是齐次解了

非齐次特解相加为其对应的方程右端自由项的相加

通过写出全部解的格式可以逆推出微分方程

给出通解，对通解求一阶、二阶导可以得到 C1 C2，从而得到微分方程

非线性常系数微分方程

欧拉方程 x^2*y''+px*y'+qy = f(x)

x > 0，x=e^t，则 y''+(p-1)y'+qy = f(e^t)，最后 t=lnx 回代

x < 0 时，x = -e^t，同上，右端变成 f(-e^t)

向量代数与空间几何（考前背一背，喝前摇一摇）

定义

准线、母线：母线绕准线⊥母线的投影线移动得到方程

母线平行于 z (或x y) 轴的时候直接对准线沿 xOy 面投影就能得到柱面方程了

直线方程

一般（交面）

两面法向量的叉乘就是方向向量

点向

(x-x0)/l = (y-y0)/m = (z-z0)/n

参数

x = x0 + lt，t 的系数 l 就是 x 方向向量

两点

两点相减就是方向向量啦

平面方程

一般式

截距式（useful）

x/a + y/b + z/c = 1，平面过三个坐标轴上的点 (a,0,0)，(0,b,0)，(0,0,c)

法线

对 x 和 y 分别偏导得到的向量就是法线向量，无论二维三维

点、直线、平面的关系

点到平面的距离

点到直线的距离

空间曲线与曲面

投影

联立消一个变量，再令变量为 0，得到投影曲线

曲线投影不令变量为 0，得到投影柱面

旋转曲面

绕线的方向向量 τ
绕线上的一点 M0
设旋转线的一点 M1
M1 旋转后的点 P

1. |M0 M1| = |M0 P|

2. τ ⊥ M1P

3. M1 在旋转线上

对于直线绕某个轴（设 z 轴）旋转的情况

x = x(z)
y = y(z)
z = z

旋转曲面参数方程为

x = sqrt( x(z)^2 + y(z)^2 ) * cosθ
y = sqrt( x(z)^2 + y(z)^2 ) * sinθ
z = z

对于闭合曲线绕轴（设 y 轴）旋转的情况

假设方程 3x^2+2y^2 = 12，z = 0

绕 y 轴旋转即对于某个 y 值，由原来的两点变成一个圆面

x^2 = f(y) => x^2 + z^2 = f(y)

方向导数和梯度

梯度方向为方向导数最大值的方向

特殊的图形

双纽线

多元函数积分学

计算技巧

区域可加（知道结论求另一个结论的含抽象函数研究）

拆分区域成大减小，小加小

特别的，对于第二型曲线积分，有一些关于路径无关的结论

普通对称（区间对称）

（第二型）

例：沿 dx （dydz）方向一段距离（面积）的做功（通量）能够抵消或等同，具体看 微元正负 和 被积函数的奇偶

（二三重、第一型）根据奇偶性消项

（二三重、第一型）轮换对称

对单个 f(x)、f(y)、f(z) 做多元积分可化成 ( f(x) + f(y) + f(z) ) / 3

（二三重、第一型）形心公式

对 x 积分除以积分

半圆形心：4R / (3π)

（二三重）交换次序、换坐标系

1. 画图法

2. 不等式左右乘，凑出替换变量的范围（0 < r < acosθ，-π/2 < θ < π/2）->（ 0 < x²+y² < ax）分离出 y

【PS】单个 f(x) 的积分可以提到前面去 ∫f(x)·∫∫ （后面的二重积分值为 x 的函数）

（第一二型）代入边界方程（含多个方程时慎用）

（第一型）找不会有重合点的坐标面投影

二、三重积分

概念

定积分 dx 可大于或小于0
二重积分 dσ > 0

两个定积分相乘可通过改变自变量变成二重积分

精确定义

中值定理

对称性

1. 区间D轴对称或原点对称，根据 f(x,y) 的xy奇偶性得

2. 对称性

xy对调，根据积分值与字母无关，若曲顶柱体不变，则积分不变

轮换对称性：二重积分，xy 对调，D 不变，则积分不变

保号性（也适用于一型、定积分）

区间内被积函数大于，则积分值大于

第一型积分

第一型曲线积分

一投二代三计算

第一型曲面积分

一投二代三计算

投到某一坐标轴平面（如 xOy），注意 不能有重合点

代入曲面方程 z = z(x,y)

计算 dS = sqrt( 1 + (z'x)^2 + (z'y)^2 ) dxdy

第二型积分

第二型曲线积分（变力沿曲线做功）

二维

格林公式

区域内偏导数连续、单连通（y > 0 也是一个区域）

积分与路径无关的判断

路径无关则有原函数

沿折线（x0，y0）->（x，y0）->（x，y）积分

已知条件

D内单连通，一阶偏导连续

6个命题等价，偏导相等能推出路径无关

D内一阶偏导连续

5个命题等价，偏导相等不能推出路径无关

没告知偏导连续

5个命题等价

绕不可导点的积分计算

若偏导相等，对于两条绕不可导点的曲线，两曲线之间的区域用格林公式得 0，即两曲线积分相等，值与曲线方向有关，与具体曲线无关

即：偏导相等，包含仅一个的不可导点的所有曲线积分值是相同的常数，可以换线计算出来，不包含该点的曲线积分则为 0

三维（空间曲线）

斯托克斯公式

区域内偏导数连续、单连通（y > 0 也是一个区域）

【注意】求平面法向量时，方向为曲线右手法则方向，可能要将单位向量调整（乘 -1）为合适方向

【注意2】最终还要根据平面法向量方向与坐标轴正负来决定积分的符号

一投二代三计算（不推荐，不过补线法时会用到）

第二型曲面积分（流过曲面的总通量）

高斯公式

一投二代三计算（同上）

三计算时只需补充 dxdy 这些微元的方向，即曲面的外法向量分别与三个坐标轴的正方向锐角则取正，钝角则取负

注意：二重、三重积分是区域积分，不能带入边界方程，而曲面曲线积分是可以直接带入的

线代

行列式 (n阶矩阵)

常用技巧

零多的情况

行列代数余子式展开

拉普拉斯展开（分块展开）

化阶梯型技巧

爪型

各行提出 k 倍，得到一堆 1 再来化成三角

特征向量

因为特征方程不满秩，知道其秩后，化简时可以直接让某行为全零简化化简

求行列式不要和化行最简搞混了

两行互换行列式要变号

某行乘 k 倍要提出来（不建议用）

矩阵

运算

常用技巧

分块矩阵

1. αβ' 与 α'β

α为列向量，则 αα' 是实对称矩阵，能相似对角化

A= αβ'，r(A)= 1，其特征值为迹，A^n = 迹^(n-1) A

2. 特殊矩阵的n次方

(1) r(A)=1

(2) 边角型矩阵

(3) 相似矩阵来做

(4) 分块矩阵

3. A'A != AA' != A^2，只有实对称时才有 A^2 = AA'，正交矩阵才有 AA'=A'A

主要定理

伴随矩阵(n阶矩阵)

伴随矩阵是各个矩阵元素的代数余子式矩阵的转置（不要乘上元素！）

核心公式: AA*=|A|E，将其广义化

A*=|A|A^-1，将逆矩阵、行列式与伴随矩阵联合起来

秩定理

主要定理

逆矩阵(n阶矩阵)

求逆矩阵方法

定义法

行变换

推广：A = BC，要求 C

伴随矩阵法

块矩阵法

定理

初等矩阵(n阶矩阵)

三类表示

等价

充要条件

r(A) = r(B)

A 能用有限次初等变换得到 B

正交矩阵(n阶矩阵)

AA'=A'A=E

A'=A^-1

|AA'|=|A|^2： |A| = 1 或 -1

每行每列都是单位向量（均方根为 1），且两两垂直（相互内积为 0）

若实对称，则特征值只能为 1 或 -1

秩

主要定理

特殊的条件

AB = 0

A^n = 0

A^n 的特征值全为 0，即 A 的特征值全为 0（A 称为幂零矩阵，A 可为零矩阵也可不为零矩阵，如边角型矩阵）

A'A

为实对称矩阵，且 r(A'A) = r(A)，对于 mxn 矩阵也成立

解题思路

向量

线性相关与线性无关

计算题

证明题

1. 定义法

2. 秩

3. 反证

注意，零向量与任何向量都线性相关，要考虑零向量的情况

常用定理

要注意区分整体和部分，维度缩短和延伸的变化区别。另无关非垂直

线性表出

计算题

1. 克莱姆法则

2. 增广消元抓零

证明题

思路

等价

能够相互线性表出

秩

计算极大线性无关组

1. 排成列向量矩阵

2. 行变换成上三角

3. 找出一组极大，表示出其他

证明题

向量组之间

证明基本定理：α...αs 无关且可由 β...βt 表出，则 s ≤ t

α...αs 可由 β...βt 表出，则 r(α...αs) ≤ r(β...βt)

向量和向量组

α...αs 可以表出 β，则 r(α...αs) = r(α...αs β)，方程组 Ax=β 有解

α...αs 不能表出 β，则 r(α...αs)+1 = r(α...αs β)

线性方程组

给出算式求矩阵可转化为求线性方程组的解

Ax=0

通解为 n - r(A) 个 kη，k 是任意常数（n 为 A 的列数）

Ax=b

通过增广矩阵求通解：α + k1*α1 + k2α2

Ax = 0 求基础解系得齐次解

特解为 α，通过 Ax =b 置自由变量为 0 可得到

求 x 的特定某个 xi，可以用克拉默法则（行列式不为 0，且有解）

求解 AB = E 时，最好对 [A|E] 化简到行最简（前面是单位阶梯，上下为 0），不容易出错

解的性质

Ax=0 的解 η1、η2，aη1+bη2 也为 Ax=0 的解

零向量也是 Ax = 0 的解，但它不能作为通解，这是要注意的

Ax=b 的解 η1、η2，η1-η2 为 Ax=0 的解

若有Ax=b 的解 η 之间的关系，则可以通过左乘 A 将 Aη=b，A(3(η1+η2)-5η3)=(6b-5b)=b，3(η1+η2)-5η3 为 Ax=b 的解，可加减乘除

Ax=b 的解 η1，Ax=0 的解 η2，η1+η2 为 Ax=b 的解

公共解和同解

公共解

给出两个方程组，联立求基础解系即是公共解

给出一个方程组一个基础解系，求方程组基础解系，两基础解系叠在一起得 (α1,α2,β1,β2)x = 0，有非零解则有非零公共解

特解无任意常数，所以公共解不能摇摆，只有一个

同解：解相同，秩相等

秩的问题

AB = C，C 的列向量为 A 的列向量乘上 B 中系数得到的
同理，C 的行向量为 B 的行向量乘上 A 中系数得到的

对于矩阵满秩（设 B），则其系数可提供 A 的列向量做一次基变换，C 列向量为变换后的基，它们等价

特征值特征向量相似矩阵（n阶矩阵）

求特征值和特征向量

1. 定义法

2. 特征多项式

3. 相似

特殊情况

A 能够分解成两个矩阵相加（全 1 和对角矩阵）

上下三角或对角矩阵的特征值为其对角线

秩为 1 的矩阵特征值一个为对角线和，其他都是 0

非满秩矩阵必有 0 特征值，秩 ≤ n-1，更广泛的，秩 ≥ 非零特征值个数

若可以相似对角化（实对称），则秩和零特征值个数相等

有二重根，则特征方程含完全平方项，可以通过这个推导出参数

已知一个特征向量求另外两个特征向量

实对称矩阵：若每列向量相互正交，则可化为正交矩阵，直接看出特征值

经典性质

相似

相似之间的关系

相似对角化

求 A 的 n 次方

求 A

主要性质

实对称

用正交矩阵相似对角化

Schmidt 正交化

βi = αi - ( ∑ f (αi, βj) )

γ = β / ||β||

主要性质

给出条件的解题思路

二次型（实对称矩阵）

标准形（二次曲面表达式）

规范形

标准形化规范形，求坐标变换 C

两种方法化标准形

正交变换法

0. 预处理，消参等

1. 求 A 特征值、特征向量

2. 特征向量构造正交矩阵

(1) 特征值不同，说明正交了，单位化特征向量

(2) 特征值相同，特征向量垂直（内积为零），直接单位化

(3) 特征值相同，不垂直，Schmidt 正交化

3. Q = (γ1, γ2, γ3)， Q'AQ = ∧

坐标变换矩阵 C = (γ1, γ2, γ3)，x=Cy

配方法

求解 f(x1 ,x2 ,x3) = 0，即 x = Qy，保留系数 0 的 y 解得；也可以配方法，各平方项为 0 得到方程组

标准形系数不一定是特征值，只有 Q 为正交矩阵是才是（规范形更不是了）

正定

证明

（1）检验对称（证明二次型矩阵也要检验对称）

（2）证明正定

定义法

特征法

选择填空技巧

合同

充要条件

存在可逆矩阵 C，C'AC = B

pA=pB，qA=qB，正负惯性系数相等

充分条件

实对称矩阵AB相似

相似特征值相同

实对称必有正交矩阵相似对角化将其化为二次型的标准形

正负惯性系数相同

概率论

一维随机变量及其分布

分布函数 F(x)

1. 非负且单调不减

严格单调增加时存在反函数，此时 Y=F(x) 在 (0, 1) 区间上服从均匀分布

2. F(-∞) = 0，F(+∞) = 1

3. 右连续（等号跟着大于号）

概率密度 or 分布律

{Pi} 分布律

Pi ≥ 0，∑Pi = 1

f(x) 概率密度

f(x) ≥ 0，∫f(x)dx = 1

概率密度在某一点的取值可以随意改变，所以不用在意等于号

八大分布

离散

1）0-1分布

2）二项分布

3）几何分布

4）超几何分布

5）泊松分布

连续

6）均匀分布

7）指数分布

8）正态分布

aX+b ~ N（aμ+b, a²σ²） (a≠0)

X±Y ~ N（μ1±μ2, σ1²+σ2²），（X、Y 相互独立且 ~ N）（可扩展到二维的情形）

求 Y = g(X) 的分布函数（数形结合）

FY(y) = P{g(X)<y}，y∈(-∞,+∞)
FY(y) = P{X∈Iy}，通过画图看出X的取值范围，然后将取值区间概率叠加得到 P

多维随机变量及其分布

概念

联合分布

边缘分布

1）离散型

分布律单独一行/列相加

2）连续型

对该变量在 ±∞ 区间内积分，记住：求谁不积谁，不积先定限，限内画条线（dy 则对 y 轴沿着 -∞ 到 +∞ 画线），先交写上限，后交写下限

fx * fy = f(x, y) 似乎是 X、Y 独立的充要条件

独立性

P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b)，成立则独立。一般化成二维区域做二重积分求解左边的 P，然后边缘分布求右边的 P

两大分布

1）均匀分布

2）正态分布

二维正态分布的性质

不相关即独立

边缘分布依然服从正态分布

用分布求概率

P{(X, Y) ∈ D}

连续型-二重积分

1. 确定类型，画出正概率密度区域 G

2. 画出积分区域 D

3. D∩G 计算二重积分值

Z = g(X, Y)

1. X 离散，Y 离散

直接用公式求离散概率

2. X 连续，Y 连续

1）分布函数法

画图，对 z 限定的正概率区间二重积分，分段写出分布函数，求导得概率密度

2）卷积公式法

求类似 Z = X+Y 可用卷积公式（可扩展到任意连续非分段 Z=g(x, y)）

1. 画图，求 Z 的概率密度画 z 与 x 的图，取 x 和 y(x, z) 的正概率密度区间

2. 限内画条线 ( z 从负无穷到正无穷 )

3. 分情况代入各概率密度的值算出积分

3. X 离散，Y 连续

全集分解思想

1. 分布函数为核心，以离散变量作为 Ω，分解成 F(z) = ∑ P(X=i) · P(Y<z+i | X=i)

2. 若 X Y 独立，则可去掉 "| X=i"

3. 对分布函数求导得概率密度，根据 z+i 在 Y 的概率区间求出所有情况

当要求一个连续函数在某点的条件概率时

用条件概率密度

特殊的分布

Z = max{X, Y}

Fz(z) = Fx(z) · Fy(z)

【注】不是 F(x) · F(y)

Z = min{X, Y}

Fz(z) = 1- [1-Fx(z)] · [1-Fy(z)]

随机变量的数字特征

概念

数学期望（E）与方差（D）

期望

方差

定义法

DX = E(X-EX)² = E(x-a)² = Eg(x)

公式法

DX = EX² - (EX)² 平方的期望减期望的平方

期望和方差的性质

X1...Xn，独立拆积，期望 EX1Xn = EX1 EXn

常用分布的数学期望和方差

协方差 cov(x,y) 与相关系数 ρxy

协方差

定义法

cov(X,Y) = E(X-EX)(Y-EY) = Eg(x,y)

公式法

cov(X,Y) = EXY - EXEY

性质

cov(X,Y) = cov(Y,X)

cov(aX,bY) = ab·cov(X,Y)

cov(X1+X2,Y) = cov(X1,Y) + cov(X2,Y)，单个可拆性