高等数学（基础阶段）思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

第 4 章：不定积分（工具）

知识体系

概念

原函数和不定积分

性质

不定积分的加法和数量积

方法体系

常见的不定积分的基本公式

积分法

第一类换元法

第二类换元法

分部积分法

有理函数的不定积分

第 5 章：定积分及其应用（应用）

知识体系

概念

定积分定义

定积分的还原法和分部积分法

广义积分/反常积分

积分上下限是∞的定积分

有间断点的定积分

定积分在几何上的应用

性质

定积分的一般性质

最大最小值定理

定积分中值定理

定积分的基本定理

积分上限函数（定积分的积分上限是 x 的定积分）

牛顿-莱布尼兹公式

定积分的特殊性质

上下限对称的定积分

∏/2-0的定积分中 ∫f(sinx)dx = ∫f(cosx)dx

周期函数的定积分

方法体系

题型一：定积分的概念与性质解题

题型二：变积分限问题（把x从f中提取出来）

题型三：定积分的计算

Case1：定积分的常规运算

Case2：积分上限函数：把x从f中提取出来

题型四：几何应用

第 6 章：多元微分学（工具）

知识体系

定义

多元微分的极限

多元微分的连续

多元微分的偏导数

多元微分的可微

性质

多元微分在闭区间上连续的性质

最大最小值定理

有界性

介值定理

零点定理

多元微分的连续，可偏导，可微的关系

方法体系

求偏导

多元显函数求偏导

复合函数求偏导

多元隐函数求偏导

求极值

无条件极值

条件极值

第 7 章：微分方程

知识体系

微分方程的定义

微分方程的通解和特解

方法体系

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程

可降价的高阶微分方程

普通型

缺 y 型

缺 x 型

高阶线性微分方程

定义

二阶线性微分方程解的结构

特例

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

第 1 章：极限与连续（概念）

极限和无穷小：知识体系

概念

极限

数列极限

函数极限

无穷小

性质

一般性质

唯一性（不重要）

保号性

存在性质

夹逼定理（也可以用来求极限）

单调有界=>有极限

无穷小性质

一般性质：两个无穷小相加减乘或一个无穷小乘以 k ，还是无穷小

常用等价无穷小

两个重要极限

极限和无穷小：方法体系

题型一：n 项和求极限（n也可能很小，比如n=3）

尝试简化或求和后再求极限（直接法）

夹逼定理（分子齐，分母不齐，用夹逼）

定积分定义求解（分子齐，分母齐，分子比分母少一次）

题型二：证明极限存在

有界且单调=>极限存在

归纳法

求 a(n+1)-an 和 0 的关系

4个重要的不等式

题型三：不定型

7 种不定型求解方法

连续与间断：知识体系

概念

连续：在某点连续和在某区间内连续

间断：两类间断点

性质

在闭区间上连续的函数必有 Max 和 Min

在闭区间上连续的函数必有界

零点定理

介值定理

连续与间断：方法体系

题型四：求某点是否是间断点 & 属于哪种间断点

第 2 章：导数与微分（工具）

知识体系

概念

导数

微分

性质

求导工具

常见的基本公式的导数

函数的和差积商的求导法则

复合求导

反函数求导

两种特殊形式的函数求导

隐函数求导

参数方程求导

方法体系

题型一：根据导数和微分定义求解

题型二：各种形式函数的求导

题型三：高阶导数求导（莱布尼兹公式）

第 3 章：一元微分学（应用）

微分中值定理：知识体系

概念

预备知识：极值点

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

洛必达法则

泰勒公式/泰勒中值定理

微分中值定理：方法体系

题型一：证明 f(x) 的 n 阶导为0。用罗尔中值定理

题型二：仅有 ξ 一个中值项，没有其他字母（两种 case ）

题型三：有 ξ ，也有 a, b（有两种 case ）

题型四：有 ξ 和 η 两个中值项（有三种 case，基础阶段只讲两种）

题型五：拉格朗日中值定理的用法

题型六：麦氏公式求极限（麦克劳林公式）

极值：知识体系

极值：方法体系

题型一：极值点的判断

题型二：证明不等式（ 4 种 case ）

题型三：函数的零点/方程的解

零点定理解题

罗尔定理解题

单调性解题

几个小知识：知识体系

凹凸性

渐近线

弧微分

曲率（暂时跳过不讲）

续

第 8 章：重积分

二重积分：知识体系

定义

性质

二重积分：方法体系

直角坐标积分法

极坐标积分法

改变积分次序

三重积分：知识体系

定义

性质

三重积分：方法体系

直角坐标积分法

铅直投影法

切片法

球坐标积分法

第 9 章：级数

知识体系：常数项级数

基本定义

5 条基本性质

收敛级数 * 一个不为0的常数仍收敛

两个收敛级数相加减仍收敛，级数和为两收敛级数和相加减

添加或去掉有限项，级数的敛散性不变。但级数和可能改变

在收敛级数里添加括号，级数仍收敛

收敛级数的一般项趋于0，但一般项趋于0的级数不一定收敛

两个重要级数

p级数

几何级数

正项级数及其审敛法

比较审敛法

比较审敛法的极限形式

比值审敛法

根值审敛法

极限审敛法

交错级数及其审敛法

莱布尼兹定理

绝对收敛与条件收敛

知识体系：幂级数

幂级数定义

收敛半径和收敛域的求法

幂级数的性质

幂级数的和函数在收敛于内连续

幂级数逐项可导

幂级数逐项可积

方法体系：幂级数

函数展开为幂级数

直接法：从函数中凑出幂级数的常用展开式

间接法：求函数导数/原函数的幂级数。再用幂级数的逐项可导/逐项可积性求会目标函数的的幂级数展开式

求和函数：幂级数展开式收为函数

直接法：用幂级数的常用展开式

间接法：用逐项可导/逐项可积性

求指定级数的级数和：求其和函数，再把原式中的x带入和函数中

第 10 章：空间解析几何

知识体系

向量的运算

运算法则

数量积，向量积，混合积

几何角度运算（用向量算）

代数角度运算（用坐标算）

空间平面及其方程<br>

空间平面的一般方程

空间平面的点法式方程

空间平面的截距式方程

空间直线及其方程

空间直线的一般方程

空间直线的对称式方程/点向式方程

空间直线的参数方程

空间曲面及其方程

特殊曲面：柱面，旋转面

空间曲面上某点的法线和切平面

距离公式

两点间的距离

点到平面的距离

两平行平面的距离

点到直线的距离

两条异面/不相交的直线间的距离

方法体系（自己总结的）

已知直线，求旋转曲面的方程

求关于平面的对称点/对称直线

投影和平面束

两直线是否相交

第 11 章：曲线积分和曲面积分

知识体系

对弧长的曲线积分

物理意义：求曲线构件的质量

对坐标的曲线积分

物理意义：求变力沿曲线做的功

对面积的曲面积分

物理意义：求曲面构件的质量

对坐标的曲面积分

物理意义：求单位时间内流入指定侧的流量

斯托克斯公式

三维空间下对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的转换公式

方法体系<br>（线切面法。导即为切）

对弧长的曲线积分

替代法

定积分法：把曲线积分转为定积分

对坐标的曲线积分

定积分法：把曲线积分转为定积分<br>

格林公式：曲线积分和二重积分的互换

与路径无关的曲线积分

对面积的曲面积分

替代法

二重积分法：把曲面积分转为二重积分

对坐标的曲面积分

二重积分法：把曲面积分转为二重积分

高斯公式：曲面积分和三重积分的互换

高等数学 （基础阶段）

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