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高数2-3章

2025-01-11 12:36:25   3  举报

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同济版高等数学

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大纲/内容

第一章

Subtopic

<div><span style="font-size: inherit;">第二章导数与微分</span><br></div>

第一节导数概念

定义

可导

Δy/Δx当Δx→0时的极限存在

导数

这个极限

导函数

定义式为f '(x)=（h→0）lim

单侧导数

闭区间可导：开区间可导，且左导数右导数均存在

求导数

泰勒公式

巧妙提出

不忘自变量时h

常见等价无穷小

（1+t）ⁿ-1~nt

eⁿ-1~n

ln（1+u）~u

lim有界*无穷小=0

几何意义

切线

法线

可导性与连续性的关系

可导一定连续，连续不一定可导

y=3√￣x在x=0时导数为无穷大即不存在

y=√￣x²在x=0时没有切线

第二节函数的求导法则

和差积商

乘法时，加一项减一项

反函数

反函数的导函数=原函数导函数的倒数

复合函数

f '(u)g'(x)

常见导数公式

补充三角函数知识

sec x<br><br>正割含数的值，其值等于 1/cos x

csc x<br><br>余割函数的值，其值等于 1/sin x

cot x<br><br>余切函数的值或 cos x/sin x

公式

tan x

sec ²x

sec x

sec xtan x

cot x

-csc ²x

csc x

-csc xcotx

arcsin x

1/√￣(1-x²)

arccos x

-1/√￣(1-x²)

arctan x

1/(1+x²)

arccot x

-1/(1+x²)

第三节高阶导数

eᕽ

sin x

sin(x+n•π/2）

cos x

cos(x+n•π/2）

ln（1+x）

规定0！=1

（-1）ⁿ▔¹•（n-1）！/(1+x）ⁿ

幂函数

t>=n

系数t（t-1)…（t-n+1)

指数t-n

t<n

加减

乘除

莱布尼兹公式

二项式定理；k次幂换成k阶导数；0阶导数理解为函数本身

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

隐函数的导数

隐函数的显化

变为显函数

取对数

指数中有x时

分式上下都有x时

由参数方程所确定的函数的导数

参数方程x=φ(t);y=ψ(t)

一阶导数

ψ'(t)/φ'(t)

二阶导数

（ψ'(t)/φ'(t)）'/φ'(t)

相关变化率

对一个隐函数两边同时对第三个变量求导

第五节函数的微分

微分的定义

可微

△y=f'(x。）△x+o（△x）可以这样表示时

可微↔可导

微分

dy=f'(x。）△x

当|△x|→0时，△y≈dy

注意

dx是x的微分，Δx是x的改变量。一般两者不等。前者是后者的线性主部。但对自变量而言，因为x对x的导数恒等于1，两者相等。反之，两者相等的也只有自变量。<br>

导数也叫微商

几何意义

PQ=dy；NP=△y

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

后面加上dx

微分在近似计算中的应用

函数 |△x|→0

切线近似代替曲线

近似值

近似公式

和等价无穷小差不多

误差估计

绝对误差/|a|

相对误差

<div> 第三章微分中值定理与导数的应用</div>

第一节微分中值定理

罗尔定理

费马引理

x。邻域内f（x。）为最值时，f'(x。）=0

导数=0的点为函数的驻点|稳定点|临界点

罗尔定理

闭区间连续，开区间可导，端点值相等，有ξ使得f'(ξ)=0

拉格朗日中值定理

闭区间连续，开区间可导，有ξ使得f（a）-f（b）=f'(ξ)(b-a)

导出：常数的导数恒为零

逆命题：导数恒为零则为常数

应用：证明不等式

柯西中值定理

f/F

第二节洛必达法则

0/0和∞/∞

其它的转化成上面

第三节泰勒公式

n次泰勒多项式

n阶泰勒公式

x。

n阶麦克劳林公式

余项

佩亚诺余项

。（（x-x。）ⁿ）

拉格朗日余项

对ξ的n+1阶导数*(x-x。）的n+1次方/(n+1)!

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

单调性

导数与0

凹凸性与拐点

凹凸定义

二阶导数

＞0凹的

＜0凸的

拐点

凹凸性发生改变

第五节函数的极值与最大值最小值

极值

必要条件

第一充分条件

一阶导正负号

第二充分条件

二阶导与0

最大值与最小值

第六节函数图形的描绘

确定定义域

导数和二次导数的零点

确定单调性和凹凸性

确定无穷时的极限

确定特殊位置的函数值

第七节曲率

弧微分公式

平均曲率

曲率

近似计算公式

圆的曲率公式

曲率圆

曲率中心：圆心D（α+β）

在对应点x，y时，D的坐标为

曲率半径：ρ=1/K

第八节方程的近似解

二分法

取中点

切线法

取区间端点的切线与x轴的交点

割线法

将切线法中的斜率f'(x)换割线

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