四元数

代数形式font face=\

向量表示 

标量和向量的有序对形式 span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\

四元数的表示

模长 

加法和减法

标量乘法

不遵守交换律

代数形式



矩阵形式

Graßmann 积

四元数乘法

如果有两个纯四元数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

纯四元数

将乘法的逆运算定义为 𝑝𝑞-1 或者 𝑞-1𝑝，注意它们的结果一般是不同的.

 的共轭为

span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

这个特殊的乘法是遵守交换律的

用这种办法寻找一个四元数的逆会非常高效，我们只需要将一个四元数的虚部改变符号，除以它模长的平方就能获得这个四元数的逆了 

逆和共轭

定义与性质

因为所有的旋转四元数的实部都只是一个角度的余弦值，假设有一个单位四元数 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

虽然 3D 旋转的矩阵形式可能不如四元数形式简单，而且占用更多的空间，但是对于大批量的变换，使用预计算好的矩阵是比四元数乘法更有效率的

四元数与3d旋转

四元数

复数的坐标表示向量表示

加法\t\t\t

复数的乘法等价于矩阵与向量相乘  

复数的矩阵形式 \t\t\t\t

复数的乘法等价于矩阵乘法

注意，复数的相乘是满足交换律的

特殊复数的矩阵形式

乘法\t\t\t\t



模长与共轭\t\t

复数的性质\t\t\t

如果有一个复数 ，那么 𝑧 与任意一个复数 𝑐 相乘都会将 𝑐 逆时针旋转span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\

二维旋转公式

复数的相乘是旋转与缩放变换的复合\t\t\t

欧拉公式 

复数的极坐标表示\t\t\t\t

极坐标下的旋转 

极坐标\t\t\t\t

复数相乘与2D旋转\t\t\t

当对两个 2D 旋转进行复合时，所得到的变换 𝑧 net 仍是一个旋转， 而且与施加的次序无关．这个等效变换的旋转角是 𝑧1 与 𝑧2 旋转角之和．

旋转的复合

复数

将向量分解为平行于旋转轴和垂直于旋转轴两个分量

分别绕旋转轴进行旋转，然后合并

旋转的分解

v∥ 的旋转

v⊥ 的旋转

Rodrigues’ Rotation Formula: 3D 空间中任意一个 v 沿着单位向量 u 旋转 θ 角度之后的 v′ 为 

v 的旋转

三维空间中的旋转