高中数学必修一第五章三角函数
2023-08-17 19:06:18 13 举报AI智能生成
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三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
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大纲/内容
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β。
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
任意角
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做１弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，一般省略不写。
正角的弧度数一定是正数，负角的弧度数一定是负数，0角的弧度数是0。
180°=π rad
弧度制
任意角与弧度制
把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数 ，记作sinα，即y=sinα
把点P的横坐标x叫做α的余弦函数 ，记作cosα，即x=cosα
以角为自变量（不包括α=+kπ，k∈Z），以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数，记作tanα，即=tanα
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
三角函数的概念
sin²α+cos²α=1
=tanα
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１， 商等于角α的正切．
同角三角函数的基本关系
sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z
cos（2kπ+α）=cosα，k∈Z
tan（2kπ+α）=tanα，k∈Z
公式一
sin（π+α）=－sinα，k∈Z
cos（π+α）=－cosα，k∈z
tan（π+α）=tanα，k∈z
公式二
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
公式三
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
公式四
sin（-α）=cosα
cos（-α）=sinα
公式五
sin（+α）=-cosα
cos（+α）=-sinα
公式六
推论
诱导公式
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条 “波浪起伏”的连续光滑曲线
余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的 “波浪起伏”的连续光滑曲线．
正弦函数、余弦函数的图像
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期
正弦函数是周期函数，２kπ（k∈Z且k≠０）是它的周期，最小正周期是２π
余弦函数是周期函数，２kπ（k∈Z且k≠０）是它的周期，最小正周期是２π
周期性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
奇偶性
正弦函数在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上单调递增，其值从-1增加到1；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从1减小到-1
余弦函数在每一个闭区间[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）上单调递增，其值从-1增加到1；在每一个闭区间[π+2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从1减小到-1
单调性
正弦函数当且仅当x＝+2kπ，k∈Z时取得最大值１，当且仅当x＝+2kπ，k∈Z时取得最小值-1
余弦函数当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得最大值１，当且仅当x＝π+2kπ，k∈Z时取得最小值-1
最大值与最小值
正弦函数、余弦函数的性质
正切函数是周期函数，周期是π
正切函数是奇函数
正切函数的图像叫做正切曲线
正切函数在每一个闭区间（+kπ，+kπ）（k∈Z）上单调递增
正切函数的值域是实数集R
值域
正切函数的图像与性质
三角函数的图像与性质
，差角公式简写；，和角公式简写；，倍角公式简写
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
差角公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
和角公式
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tan²α)
倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
把y=asinx+bcosx转化为y=Asin（x+φ）的形式，这个过程蕴含了化归思想
简单的三角恒等变换
三角恒等变换
匀速圆周运动的数学模型
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y=sin（x+φ）（φ≠０），把正弦曲线上的所有点向左 （当φ＞０时）或向右 （当φ＜０时）平移｜φ｜个单位长度，就得到函数y=sin（x+φ）的图象．
探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响
一般地，函数y=sin（ωx+φ）的周期是，把y=sin（x+φ）图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的倍（纵坐标不变）就得到y=sin（ωx+φ）的图像
探索ω（ω＞０）对y=sin（x+φ）图象的影响
一般地，函数y=Asin（ωx+φ）的图像，可以看做是把y=sin（ωx+φ）的图像上的所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到，从而，函数y=Asin（ωx+φ）的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A
探索A（A＞０）对y=Asin（x+φ）图象的影响
总结：先画出函数y=sinx的图像；再把正弦函数向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin（x+φ）的图像，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍倍（纵坐标不变），得到y=sin（ωx+φ）的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y=Asin（ωx+φ）的图像
函数y=Asin（x+φ）的图像
函数y=Asin（x+φ）
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
ωx＋φ称为相位；x＝０时的相位φ称为初相
把物体受到的力 （总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为 “简谐运动”，用函数y=Asin（ωx+φ）来表示，其中A＞0，ω＞0
三角函数的应用
三角函数
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