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线代知识点总结

2024-10-21 18:34:29   10  举报

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大纲/内容

矩阵

矩阵相关概念

矩阵定义：由m×n个数组成的数表成为m行n列矩阵

特殊矩阵

（1）单位矩阵（和代数中的1作用相似）：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，称之为单位矩阵

（2）数量矩阵：若主对角线上的元素全为k，其他元素全为0，则称之为数量矩阵

（3）若主对角线之外的元素全为0，且主对角线上的元素不全为0，则称之为对角矩阵

（4）对称矩阵：若A的转置等于A，则称A为对称矩阵（aij=aji）

(5)反对称矩阵：矩阵A的转置=-A，则称A为反对称矩阵

（6）行列矩阵   规律：行向量乘列项是一个数，列向量乘行向量是一个矩阵

行向量（行矩阵）：只有一行的矩阵

列向量（列矩阵）：只有一列的矩阵

金典例题

题目

答案

矩阵的运算及其运算规律

加法：A+B(减法运算律与加法相同)

交换率：A+B=B+A

结合律：（A+B）+C=A+(B+C)

数乘矩阵：kA(a,b,k为常数)

分配率：（a+b）A=aA+bA

(ab)A=a(bA)

乘法AB（AB能相乘的条件是A的列数等于B的行数注意矩阵乘法AB的顺序不能对调AB不等于BA）

分配律：A（B+C）=AB+AC

结合律：A(B+C)=AB+AC

转置（行列互换）

运算律

方阵行列式（行数等于列数的矩阵称为方阵）

运算率

例题（本题考察的是乘法运算矩阵运算与普通四则运算不同，注意解题不要有惯性思维）

题目

答案

伴随矩阵

定义：矩阵各个元素的代数余子式Aij构成的矩阵并转置，记为伴随矩阵

形式

性质：

可逆矩阵（充要条件|A|≠0）

一般定义：设A和B都是n阶矩阵，若AB=BA=E则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A（-1）=B

特殊定义：若AB=E,则BA=E

运算律：注意运算律中并没有加法，所以如果要求(A+B)的逆矩阵，则要尽量将括号中的式子变成乘法

加法转乘法的例题求逆矩阵

题目

答案

矩阵初等变化

矩阵的初等变化分为初等行变化和初等列变化（矩阵可以理解为就是方程组，所以矩阵变化的方法和解方程组一样）

用k（k≠0）乘A的某一行（列）

互换A中的两行（列）位置

把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列），简称倍加变换

初等矩阵定义：单位矩阵经过一次初等变化所得的矩阵称为初等矩阵

任何一个初等矩阵都有两种读法：行读法和列读法（口诀：左行右列）

PA等于A和E做一次相同的行变化（P为初等矩阵）

AP等于A和E做一次相同的列变化

可逆矩阵（|A|≠0）经过若干次行变化必转化成单位矩阵，反过来说单位矩阵经过若干次行变化可以变成逆矩阵：可逆矩阵等于若干个初等矩阵相乘，初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵（这条定理可以解释求逆矩阵的行变化法）

例题解析：当我们拿到一题含有矩阵方程的题目时，因为我们已知一个矩阵，我们首先要将未知矩阵和已知矩阵分离，化简方程，再求逆矩阵。

题目

答案

行列式

概念

逆序数

了解好逆序数的概念【例：数列（n,n-1,n-2......1）的逆序数是多少】

行列式定义

行列式为不同行不同列的数相乘，所以共有n!个项，若每一个项按行取，则表示为∑（-1）a1j1,a2j2,a3j3,a4j4（a表示行，j表示列）表示j1j2j3j4j5....的逆序数

求解三阶行列式可以使用对角线法则更高阶的行列式则不行（解题思路就是可以把更高阶的行列式向低阶转化）

性质

行列式转置（行列互换）行列式不变

两行互换行列式变号（根本原因就是-1的指数也就是逆序数发生了变化）推论：两行（列）相同，行列式为0

某行（列）元素都是两数之和，则可以把行列式分解成两个行列式之和（单行（列）可拆）

某行（列）有公因式为k,则可以把k提到行列式外（单列（行）可提）

推论1：某行（列）全为0，则行列式为0

推论2：某两行（列）成比例，则行列式为0（两行（列）相加）

末行（列）元素的k倍加到另一行（列）元素上，行列式不变

行列式展开式（区分好代数余子式和余子式）

余子式：在n阶行列式中去掉aij所在的第i行第j列元素，由剩余元素按原位置组的n-1阶行列式称为aij的余子式，记为Mij

IAI=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3+......+ainAin(解题技巧按行（列）展开前先做行列变化，使某行（列）只保留一个非0元素，再对这一行（列）进行展开)

代数余子式称（-1）的（i+j）次方的Mij为aij的代数余子式

例题

题目

答案

解题思路：因为A31，A32，A33，A34与第三行的元素无关，故可以将第三行元素进行转变，换成该式子前的系数，由此得到新的行列式，求解新的行列式即可

常见的几种行列式

三角行列式（解行列式时一般情况下就转化成三角行列式或者按余子式展开）

副对角线三角行列式

主对角线三角行列式（主对角线元素不全为0必有一个角块元素全为0）

拉普拉斯行列式（分块行列式）

范德蒙行列式（了解即可）

爪型行列式（常考的行列式）特征为以行列式某个角为起点射出三条线

例题解题思路：通过行列变化转化成三角行列式

题目

答案

具有哨点的行列式（常考）特征：以三角行列式为基础，但是某个角上某个元素不为0

例题解题思路：以哨点所在行（列）展开行列式进行计算

题目

答案

线性方程组

求解线性方程组

如何将行矩阵化成行最简矩阵（或单位矩阵）行阶梯矩阵与行最简矩阵非零行数一定相同

（1）从上往下，将每行首非零元素的下方元素全化为0，且保证上行的非零行数一定在下行非零元素的左边，从而把矩阵化为行阶梯矩阵（非零首元个数称为秩）

（2）将每行行首非零元素上方全化为0

（3）将每行的首非零元素都化为1

齐次线性方程组

定理：若齐次线性方程组系数矩阵秩为r(A),未知变量有n个，则齐次线性方程组有n-r(A)个自变量。基础解系（极大无关组）由n-r(A)个线性无关变量组成，基础解系是齐次方程组通解的极大无关组，且齐次线性方程组中的任何一个向量都能由这n-r(A)个线性无关的解向量表示出。

基础解系n₁,n₂,n₃....的三个特点，基础解系的个数就是自由变量个数→n-r(A)(对于这一部分的理解：线性方程组有几个方程式就能得出几个解，而剩下的未知量就是自由变量，其他的变量均可由这些自由变量表示)

n₁,n₂,n₃....都是图片中方程AX=0的解

n₁,n₂,n₃....线性无关（可以理解为没有公因式n₁≠kn₂）

AX=0的任何一个向量解都能由n₁,n₂,n₃....线性表出（极大无关组）

定理：若n₁,n₂,n₃....是齐次线性方程组的基础解系，则齐次方程组的通解为k₁n₁+k₂n₂+k₃n₃......其中k₁k₂k₃为任意常数

定理：

简单例题应用（解题步骤：先化成行最简，得出秩的个数，观察你所画出来的行最简式，左边三列构成了单位矩阵，所以我们将x₄作为自由变量（以后解题时也是如此选择自由变量））

注意点

AB≠BA但AE=EA单位矩阵满足交换律

AB=0不能推出A=0或者B=0

AB=AC,A≠0不能推出B=C

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