两个矩阵
矩阵乘法的四种理解方式（C=A*B）
矩阵C的每一个列向量，是A的列向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素
矩阵C的每一个行向量，是B的行向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素
将A抽象为列向量，将B抽象为行向量，从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式，而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积
将A抽象为行向量，将B抽象为列向量，从而将矩阵乘法变为了一种内积形式，内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素，而是将C看作是多个矩阵相加组成的，每次计算得到一个加数矩阵
矩阵特性
行列式
定义
det(A)=|A|=ai1|Ai1|+ai2|Ai2|+...+ain|Ain|,其中Ain=(-1)^(i+n)Mij，即代数余子式
余子式Mij，即矩阵A划去i行j列后剩下的余子式的行列式
含义
一个区域在线性变换下映射到另一个域，这两个区域的面积比就是变换矩阵的行列式的绝对值
性质
重要性质
沿着任一行或一列展开，行列式相等
交换矩阵A的任意两行得到B，则 det(A)=-det(B)
进行行初等变换不改变矩阵的行列式
有相同行或列的矩阵，其行列式为0
上三角矩阵和下三角矩阵的行列式
det(A)=a11*a22*a33...*ann
矩阵A和矩阵B除了第 j 行外其余完全相同，Z由（Aj+Bj）组成，其余与A或者B相同, 则det(Z)=det(A)+det(B)
简化技巧
利用行初等变换不改变矩阵的行列式和上(下)三角矩阵行列式计算的简易性质，将矩阵化为上三角矩阵(注意换行要加负号-)
等价于求解另一个矩阵的行列式
逆
定义：AB=In或BA=In 任满足一个
给定一个 n 阶方阵 A，则以下各条件等价(其中 f(x)=y的 f 对应矩阵A)
A 是可逆的
f 是可逆的
f 是满射的且是单射的
Ax=b有且只有唯一解
f(x)=y有且只有唯一解
A 的秩rank(A)=n (A 满秩)
rref(A)=In
| A |≠0，即矩阵A的行列式不等于0
A 的转置矩阵 A^T也是可逆的，且A的转置的逆等于A的逆的转置
存在一 n 阶方阵 B 使得 AB = In或存在一个n阶方阵 B 使得BA=In
若矩阵T是一种线性变换，则其逆矩阵T^(-1)也是一种线性变换
逆矩阵求解方法
A^(-1)=1/(|A|)adj(A), 其中adj(A)称为A的伴随矩阵，是由A的代数余子式组成的余子矩阵的转置
高斯消元法： A|I => A^{-1}A=I |
特征值和特征向量
用途
已知线性变换T对应变换矩阵A，则以A的线性无关的特征向量为基可以构建很好的坐标系，使新坐标下的变换矩阵D=BDB^-1变得很好求，原变换矩阵A=B^-1DB，也很好求得。其中B的列由这些线性无关的特征向量组成
矩阵幂
求解
1.通过det(A – λI)=0 求得 λ
2.N(λIn-N)=0 即为各个 λ 下的特征空间
应用
线性子空间
定理: 设V是在域K上的向量空间，并设W是V的子集。则W是个子空间，当且仅当它满足下列三个条件
1.零向量 0 在W中
2.如果u和v是W的元素，则向量和u+v是W的元素
3.如果u是W的元素而c是来自K的标量，则标量积cu是W的元素
张成子空间
设x1,x2,...,xr(r>0)是V的r个向量，他们所有可能的线性组合所成的集是V的一个子空间，称为x1,x2,...,xr张成的子空间
描述
线性无关
基：子空间的基底指的是能“张成(span)该子空间的+线性无关”的一组向量
维数：空间V的任何基底的数量相等，称为维数，记为dim(A)
秩：矩阵A的列空间C(A)的维数dim(C(A))，即C(A)基底的向量数，称为秩
四个基本子空间
零空间N(A)
A的零空间的维度为A的简化行阶梯矩阵rref(A)中自由变量的个数，即非主列的个数；
左零空间N(A^{T})
定义：{ X|A^{T} X=0 } 或者{ X|X^{T} A=0^{T} }
简便解法
已知在将A化为rref型时对应的初等变换矩阵E，即EA=rref。则求得的rref中的全零行对应的E中的行就是左零空间。也就是使得A的各行线性组合为零向量的向量
列空间C(A)
C(A)的基底
rref(A)的主列所对应的A中的列
