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线性代数

2023-02-01 12:54:47   0  举报

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线性代数所有课程的思维导图

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大纲/内容

习题课三

4 特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

定义

设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式： 成立，那么这样的数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于的特征向量。

由特征向量和特征值的定义式可以推出：， 对于这个齐次方程组，有非零解（特征向量不能是零向量）的条件是：

即：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}=0" contenteditable="false">， 是一元次多项式，称为矩阵的特征多项式。而下面是特征方程，特征方程是一个一元次方程：

性质

若入是矩阵的特征值，是的对应于特征值的特征向量,则

是对应于特征向量的特征值(是任意常数)

是对应于特征向量的特征值(是任意正整数)

若是可逆的，是对应于特征向量的特征值

若矩阵多项式，则是的特征值.

阶方阵互不相同的特征值对应的特征向量线性无关

相似矩阵

定义

设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使：B 则称为相似变换矩阵，称是的相似矩阵， 显然，相似矩阵必然也是等价矩阵。

性质

反身性

对称性

传递性

定理

相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值

推论：若阶矩阵与对角阵<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\& \lambda_{2} & & \\& & \ddots & \\& & & \lambda_{n}\end{array}\right)" contenteditable="false">相似，则是的个特征值

阶矩阵与对角矩阵相似(可对角化)的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.

推论：如果阶矩阵A的个特征值互不相同，则与对角矩阵相似

实对称矩阵的相似矩阵

定义

内积

向量和 的点积(dot product)，或称内积(inner product)，定义为： 也可以写作，点积还可以称为数量积或者标量积，这是因为两个向量通过点积运算之后的结果是数量（标量）。

性质

正交

设为维向量，如果，则称和正交

长度

数称为的长度或范数，记为。长度为1的向量称为单位向量

性质

，且

，为数

如果阶矩阵满足：，则称为正交矩阵

判断：阶矩阵为正交矩阵的充要条件是的列向量是两两正交的单位向量

定理

设维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关

对称矩阵的特征值都是实数

对称矩阵属于k重特征值的线性无关特征向量的个数是k个

对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交

施密特正交化

设是线性无关的向量组（未必正交），可导出正交单位向量，该过程称为施密特正交化过程

正交化

单位化

习题四

5 二次型

二次型与对称矩阵

定义

二次型

定义：个变量的二次齐次函数：<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\end{aligned}" contenteditable="false">或者二次齐次方程称为二次型

如果二次型只有二次项：则称为二次型的标准型

如果标准型的系数只在1,-1,0三个数中取值，也就是上式变为：则上式为二次型的规范型

根据矩阵乘法的知识，二次型可写成矩阵乘法形式：<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="f=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}" contenteditable="false"> 式子中以及的秩分别称为二次型的矩阵和秩

标准型对应的矩阵就是：

合同

定义

设和是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与合同

性质

反身性

对称性

传递性

辨析（合同、等价、相似）

相似是一种特殊的等价，合同也是一种特殊的等价

对称矩阵和它的对角阵即相似又合同

定理

任给可逆矩阵，令，如果为对称矩阵，则亦为对称矩阵，且

任何实对称矩阵都合同于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使得<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{llll}d_{1} & & & \\& d_{2} & & \\& & \ddots & \\& & & d_{n}\end{array}\right)" contenteditable="false">，从而任何实二次型都可用可逆线性变换化为标准型<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="4" data-equation="f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \stackrel{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}_{y}}{=} d_{1} y_{1}^{2}+d_{2} y_{2}^{2}+\cdots+d_{n} y_{n}^{2}">

化二次型为标准形的三种方法

定理

任何二次型，总有正交矩阵，使经过正交变换化为标准型，其中是的特征值

正交变换法

1 将二次型表示为矩阵形式，求出

2.  求出对称阵的全部不同的特征值

3 求出对应各个特征值的线性无关的特征向量

4 将特征向量正交化，单位化，得，记

5 作正交变换，则得的标准型：

配方法

1 若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形

2 若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x}_{i}=\boldsymbol{y}_{i}-y_{j} \\\boldsymbol{x}_{j}=\boldsymbol{y}_{i}+y_{j} \quad(\boldsymbol{k}=1,2, \cdots, n \text { 且 } k \neq i, j)\end{array}\right."> 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方

初等变换法

1 对矩阵作相应右乘的初等列变换

2 再对做相应左乘的初等行变换

3 矩阵变为对角阵，而单位矩阵在相应的列变换下就变成所要求的可逆矩阵

正定二次型

定义

设有二次型，如果对于任何，都有0" contenteditable="false">，则称为正定二次型，称为正定矩阵；如果对于任何，都有，则称为负定二次型，称为负定矩阵

二次型的标准型中，系数为正的平方项的个数称为二次型的正惯性指数，系数为负的平方项的个数称为负惯性指数，称为符号差。这里为二次型的秩。

设为阶对称阵，下面个行列式 <span class="equation-text" data-index="3" data-equation="\left|\boldsymbol{A}_{1}\right|=a_{11}, \quad\left|\boldsymbol{A}_{2}\right|=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right|, \quad \cdots, \quad\left|\boldsymbol{A}_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\\vdots & & \vdots \\a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|" contenteditable="false"> 分别称为A的k阶顺序主子式

定理

惯性定理

设二次型的秩为，有两个可逆变换及使及，则中正数的个数与中正数的个数相同

二次型为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于

推论

对称矩阵为正定的充要条件是的特征值全为正

阶对称矩阵为正定的充要条件是有可逆矩阵使

赫尔维茨定理

对称矩阵正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式都为正，即0(k=1,2, \cdots, n)" contenteditable="false">； 负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即0(k=1,2, \cdots, n)" contenteditable="false">

习题五

总复习

1 行列式

2/3阶行列式

二阶行列式的计算

计算公式

记忆方法（对角线法则）

三阶行列式的计算

计算公式

记忆方法(对角线法则)

阶行列式

n阶行列式的计算

计算公式

其中余子式的定义

例题：上三角行列式的值等于主对角线上各个元素的乘积

举例子：三阶行列式

行列式按列(行)展开

代数余子式的定义:

引理：互换行列式的任意两列（或两行），行列式的值变号。（注意：必须整行或整列一起换。)

定理 阶行列式按任何一列或任何一行的展开式均相等

按任意一列展开：

按任意一行展开：

行列式的性质

性质1：互换行列式的任两列或两行，行列式变号。

推论1：若行列式  两行（列）对应元素完全相同，则

性质2：行列式与它的转置行列式相等。（）

例题：下三角行列式的值等于主对角线上各个元素的乘积

性质3：行列式  的某一行（列）的所有元素同乘以一个常数 ，则等于

推论2：行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面

推论3：若行列式的两行（列）元素成比例，则

性质4：若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和。 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同

性质5：行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数加到另一行(列)的相应元素上, 行列式的值不变

性质6：行列式中某一行(列)的所有元素与另一行(列) 对应元素的代数余子式乘积之和为零

行列式的计算

方法一：利用性质5把行列式化为上  (下) 三角形行列式

方法二：结合性质5以及按行(列)展开定理，进行降阶，直到降为二阶行列式为止

克拉默法则

定理（克拉默法则）  如果元线性方程组<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=\color{red}b_{1} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=\color{red}b_{2} \\\cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \\a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=\color{red}b_{n}\end{array}\right." contenteditable="false">（1）的系数行列式<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \neq 0" contenteditable="false">，则方程组有唯一解，（2），其中是把系数行列式中第列的元素换成方程组的常数项所构成的阶行列式，即<span class="equation-text" data-index="11" data-equation="D_{j}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&{\color{red}{b_1}}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&{\color{red}{\vdots}}&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&{\color{red}{b_n}}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{array}\right|" contenteditable="false">

第一层含义：系数行列式不等于0时方程组(1)有唯一解

第二层含义：方程组的解可以由（2）得到

习题课一

作业一

2 矩阵

矩阵的概念

定义

由个数排成的行列的数表:  <span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}" contenteditable="false"> 称为行列矩阵， 简称矩阵，记作：<span class="equation-text" data-index="8" data-equation="A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{m 1} & a_{m 1} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)" contenteditable="false">。简记为：

注意矩阵和行列式的区别

特殊矩阵

方阵

行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵．可记作

三角矩阵

上/下三角行列式变成矩阵的中括号

对角阵：除主对角线上元素外，其余元素都是零， 记作：

数量矩阵：对角矩阵中

单位阵：对角矩阵中，记作：或

行矩阵/列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)。

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)

零矩阵

元素全是零的矩阵称为零距阵。可记作

例如：,

矩阵的运算

两个矩阵的行数列数都相等时，称为同型矩阵

同型矩阵与对应元素相等，即：， 称矩阵与相等，记作

矩阵加法(同型矩阵才能相加减)

设有两个矩阵和，那么矩阵和的和记做，规定为： <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="6" data-equation="A_{mn}+B_{mn}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\...&...&&...\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}">

矩阵减法

称为矩阵的负矩阵，根据数乘规则有

定义矩阵 与的差为: <span class="equation-text" data-index="2" data-equation="A_{m \times n}-B_{m \times n}=A_{m \times n}+\left(-B_{m \times n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \cdots & a_{1 n}-b_{1 n} \\a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2 n}-b_{2 n} \\\ldots & \cdots & \cdots & \ldots \\a_{m 1}-b_{m 1} & a_{m 2}-b_{m 2} & \cdots & a_{m n}-b_{m n}\end{array}\right)" contenteditable="false">

矩阵数乘

数与矩阵乘积记作：或规定为： <span class="equation-text" data-index="4" data-equation="kA=Ak=\begin{pmatrix}    ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\    ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\    \cdots&\cdots& &\cdots\\    ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix}" contenteditable="false">

矩阵乘法

设, ,则定义矩阵与矩阵的乘积为  矩阵，其中

图示例子

矩阵的转置

定义：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵叫做的转置矩阵，记作

性质

对称阵: 为阶方阵，如果满足，那么A称为对称阵

例子

反对称阵: 如果满足 ，那么 称为反对称阵

例子

方阵的特殊运算

方阵的幂运算

若 是 阶方阵，为正整数，定义

方阵的次多项式

若是方阵， 为次多项式，记，称矩阵为矩阵的次多项式

方阵的行列式

由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或

性质

可逆矩阵（只讨论方阵）

概念

定义1：阶方阵  称为可逆的，如果有 阶方阵 使得。 如果矩阵 满足上述等式，那么  就称为 的逆矩阵，记作

结论：若 阶方阵 可逆，则其逆矩阵 是唯一的

定义2：矩阵<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)" contenteditable="false">称为矩阵的伴随矩阵。为中元素的代数余子式

定理1：

定理2：阶方阵  可逆的充要条件是且（伴随矩阵法）

推论1：对于 阶方阵如果，那么都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵。

定义3：若 ，称矩阵为非奇异矩阵．否则称矩阵为奇异矩阵

矩阵可逆 矩阵为非奇异矩阵

性质

若可逆，则也可逆，且：

若可逆，数，则可逆，且：

若、为同阶方阵且均可逆，则也可逆，且：

若可逆，则也可逆，且：

矩阵的分块

常见分块方法

矩阵乘法的行观点

右矩阵按行分块

例子

左矩阵第一行和右矩阵相乘

左矩阵第二行和右矩阵相乘

应用场景

矩阵乘法的列观点

左矩阵按列拆分

例子

右矩阵每一列和左矩阵分别相乘

应用场景

矩阵的初等变换与初等矩阵

初等变换

定义：矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换

对调两行(列)

以数乘以某一行（列）的所有元素

把某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）处

矩阵经过初等变换跟原矩阵一般不相等，因此用只能用箭头“→ ”或 “~”连接

等价矩阵

定义：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则矩阵与等价，记作：

性质

反身性：

对称性：若，则

传递性：若，则

行阶梯矩阵（不唯一）

定义：（1）每一个非零行在零行之上 （2）从第一行起，每一行首个非零元前面零元的个数逐行增加

简化行阶梯矩阵（唯一）

定义：行阶梯基础上（1）每一个非零行第一个非零元是1 （2）非零元1所在列的其他元素都是零

矩阵的标准形或最简形定义（唯一）：简化行阶梯形基础上经过有限次初等列变换为 左上角是单位阵，其余元素均为零的矩阵

定理：任何矩阵都可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形和唯一简化行阶梯形矩阵

初等矩阵

定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵

三种初等变换对应着三种初等矩阵，对单位矩阵 施行一次初等变换

性质

初等矩阵的转置仍为初等矩阵

初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵还是初等矩阵

定理：设是矩阵

对施行一次初等行变换，相当于矩阵左乘以同种类的阶初等矩阵

对施行一次初等列变换，相当于矩阵右乘以同种类的阶初等矩阵

利用初等变换求逆

（1）构造矩阵

（2）对进行初等行变换，将化为单位矩阵后，右边对应部分即为

矩阵的秩

定义

设矩阵  中存在一个  阶子式 不为零，任何  阶子式(若存在)都为零， 称为矩阵 的最高阶非零子式，的阶数 称为矩阵  的秩，  记作：(规定：零矩阵的秩等于零)

阶子式: 在 的矩阵  中，位于任意取定的 行和  列交叉点上的元素，按原来的相对位置组成的 阶行列式，称为  的一个  阶子式

定理

的充要条件是  中有一个阶子式且所有 阶子式（若存在的话）全为零

若  中所有  阶子式全为零，则

若 中有某个 阶子式不等于零，则

若  为  阶方阵，则 充要条件是

注意

的充要条件是  ，可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵

的充要条件是  ，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵

任意 矩阵 ，

如何求矩阵的秩

定理：，则，即：初等变换不改变矩阵的秩

为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非 零行的行数即为该矩阵的秩

性质

若为  矩阵，则

若，则

若 可逆，则

．  特别地，当 为非零列向量时，有

若 ，则

习题课二

作业二

3 线性方程组

高斯消元法

线性方程组的矩阵形式

含有个未知数，个一次方程的线性方程组：<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\\cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}\end{array}\right." contenteditable="false">如果不全为零，则称为非齐次线性方程组，矩阵<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right]" contenteditable="false">和<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}\end{array}\right]" contenteditable="false">分别称为该线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，全为零则是齐次线性方程组

非齐次线性方程组可以通过矩阵的形式写成：，其中：， 类似的，其次线性方程组可以写成：

定义

增广矩阵经过初等行变换为简化行阶梯矩阵来求解线性方程组的方法

定理

非齐次线性方程组

有解的充要条件是：

时有无穷多解

时有唯一解

元齐次线性方程组

有非零解的充要条件系数矩阵的秩

推论1：方程个数少于未知量个数，则必有非零解

推论2：方程个数等于未知量个数，且系数行列式，则方程组必有非零解

矩阵方程

有解的充要条件是

维向量组的线性相关性

维向量

定义

个有序的数所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量。 维向量可写成一行，也可写成一列。分别称为行向量和列向量：

维列向量

维行向量

维向量的运算

维向量的线性相关性

定义

线性相关/线性无关

向量组的定义：若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。比如同维数的向量，可以组成向量组，通常记作：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="\mathcal{A}:\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\quad 或\quad \mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\}">

给定向量组和向量，如果存在一组实数，使： 则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合。

定理

线性方程组中，向量可由向量组线性表示的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

向量组可由向量组线性表示的充要条件是：矩阵的秩等于矩阵的秩，即：

一个向量组线性相关的充分必要条件是这个向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示

设向量组构成的矩阵的秩为，则该向量组线性相关（无关）的充要条件是，即的秩小于（等于）向量的个数

极大线性无关组

定义

设有两个维向量组及，若向量组与向量组能相互线性表示，则称向量组与向量组等价

设向量组，若在中存在个向量的向量组满足：（1）向量组线性无关（2）向量组中任意个向量都线性相关。 则向量组是向量组的极大线性无关组。

（2）说明向量组中任意一个向量可由线性表示

定理