线性代数

行列式的计算：将某一行或某一列进行变换使得只有一个元素不为零然后降阶，至于前面的正负号根据（-1）的i+j次方确定

使用条件：1.未知数个数等于方程个数系数构成的行列式不为零，也就是只有唯一解

克莱姆法则

行列式

定义：最大线性无关组中向量的个数

求解：向量组作为列向量构成矩阵，将矩阵进行初等行变换求秩

向量组的秩

对加法和数乘两种运算封闭

向量空间

n维向量

加法，数乘，

第一个矩阵的行，乘以第二个矩阵的列，对应元素相乘再相加

矩阵乘法不满足交换律，两边也不能抵消，即AB=AC并不能得到B=C

矩阵的乘法

矩阵的运算

存在逆矩阵的充要条件：矩阵的行列式不为零

法一：求其伴随矩阵，然后伴随矩阵除以原矩阵的行列式

逆矩阵的求解

逆矩阵满足A*A逆=E（E为单位矩阵）

如果两个矩阵原本能相乘，两个矩阵都进行了分块，如果二者的分块方式相同则两个分块矩阵可以相乘即A的列的分法和B行的分法相同

分块矩阵

求法：将矩阵进行初等行变换化成阶梯型矩阵，或者最简形矩阵，行列式不为零的余子式的阶数即为矩阵的秩

矩阵的秩

三种：交换两行或者两列某行（列）乘以个常数某行（列）乘以一个常数后加到另一行（列）中

矩阵的初等变换

矩阵

一定有解，要看是否有非零解或说无穷解看矩阵的秩R<n则无穷解，=n则只有零解

若有·无穷解解向量的个数=n-R

齐次方程

列出增广矩阵，求增广矩阵的秩R1和系数矩阵的秩R2，如果R1<R2则无解R1=R2=n，有唯一解R1=R2<n有无穷解

如果有无穷解：其完整解=齐次解+特解

求解步骤：列出增广矩阵，将增广矩阵进行初等行变换化成最简形矩阵，可以列出同解的方程组，根据方程组可以得到特解，求解向量，解向量的个数=n-系数矩阵的秩R1，从而得到基础解系，得到齐次解齐次解+特解

非齐次方程

线性方程组

x向量经过矩阵A的作用变得到了b向量，因此可以看成x向量到b向量是一个映射或者变换矩阵A相当于一个变换使得向量x映射成b向量这种变换分为两部分，旋转和拉伸

特别的，当某些特殊向量经过矩阵A的作用之后，没有旋转，只进行了拉伸λ倍，这样的向量成为特征向量拉升的倍数即为特征值λ，此时向量b=λx向量

关于Ax向量=b向量的理解

求法：|λE-A|，得到λ的方程，解方程得到特征值将特征值带进去原方程解x即为特征向量

特征值和特征向量

相似矩阵具有相同的特征值

充要条件：n阶方阵矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

对角化后求解矩阵A的高次幂就好方便，比如求n次幂，P*对角矩阵的n次幂*P的逆矩阵

矩阵的对角化

相似矩阵

相似矩阵及二次型

向量空间或说线性空间对加法和数乘运算封闭

当一组线性无关的向量的个数与线性空间的维数相同，则这组向量组为该线性空间的基一个线性空间的基不唯一

由线性空间的基表示这个线性空间，也就可以表示该线性空间的所有向量

将一组基正交化，在单位化就得到了正交规范基

基

线性空间在同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的，

基变换和坐标变换

向量空间与线性变换

线性代数