线性代数

定义：完全展开式；逆序数、余子式Mij、代数余子式Aij：Aij=(-1)^(i+j)Mij；

性质：1. 转置值不变；2. 第一类初等变换值变号；3. 某一行（列）的公因子可提出：|cA| = c^n|A|；4. 第三类初等变化不改变行列式的值；5. 对一行（或一列）可分解：|α，β1+β2，γ| = |α，β1，γ| + |α，β2，γ|；6. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数，则行列式的值为0；7. 对某一行(列)的展开：行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和；8. 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0【构造了一个拥有相同行(列)的行列式】；9. 如果A和B都是方阵，则   |A   *|     |A   0|                                          |0   B| = |*    B| = |A| |B|

基本概念与性质

化零降阶法：用第三类初等变换将行列式某一行(列)化为只有一个不为零的元素，然后按行(列)展开计算，即完成降阶

低阶行列式

1. 直接计算：化三角行列式；2. 递推法：数学归纳法；

元素有规律的行列式（n阶行列式）

计算值

1. 行列式(常用工具)

1. n维向量空间：R^n为由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合。2. 子空间：对加法和数乘运算封闭的n维向量空间的子集。

n维向量空间及其子空间

定义

1. 两个向量和的坐标等于它们坐标的和；2. 向量的数乘的坐标等于坐标乘此数。

坐标的线性性质

坐标的意义

基，维数，坐标

坐标变换

规范正交基

1. 向量空间

1. 向量β可用α1，α2，...，αs线性表示2. 向量组β1，β2，...，βt可用α1，α2，...，αs线性表示

向量组等价：两个向量组互相都可以表示时，就说它们等价；

注：线性表示、向量组等价具有传递性；

1. 线性表示

概念

1. 一个向量α（个数为1）线性相关 <=> α=0；2. 两个向量线性相关 <=> 他们的分量对应成比例；3. 线性无关向量组的每个部分组都无关；4. 若向量的个数s等于维数n，则：α1，α2，...，αn线性相关 <=> |α1，α2，...，αn|=0;5. 向量的个数s大于维数n时，向量组一定线性相关。

性质

1. 如果α1，...，αs线性无关，则：α1，...，αs，β线性相(无)关 <=> β(不)可用α1，...线性表示；2. 如果β可用α1，... αs线性表示，则：表示方式唯一 <=> α1，...，αs线性无关；

与线性表示的关系

2. 线性相关性

用秩判断线性相关性

用秩判断线性表示

性质与用途

2. 当A经过初等行变换化为B时，AX=0和BX=0同解，从而A和B的列向量组有相同的线性关系，于是他们的最大无关组相对应，秩相等。

向量组有相同的线性关系

计算方法

秩和最大无关组的计算

3. 向量组的秩和最大无关组

2. 向量组的线性关系



将线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法

简介

步骤

施密特正交化

3. 实向量的内积

2. 向量(理论核心和制高点)

乘法定义三要素：1. 条件：矩阵A的列数和B的行数相等时，A和B才可以相乘；2. 类型：AB的行数和A相等，列数和B相等；3. 元素：AB的(i，j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和；方幂：对于n阶矩阵，方幂运算符合指数法则，且规定A的零次方幂为E；多项式：f(A)=amA^m + ... + a0E；

定义与基本概念

法则和性质

1. 对角矩阵：对角矩阵左(右)乘一个矩阵，相当于用它对角线上的各个元素依次乘此矩阵的各行(列)向量；2. 初等矩阵：对矩阵A作一次初等行(或列)变换相当于在左(右)边用一个相应的初等矩阵乘A；

两类特殊矩阵的乘法

矩阵的分块法则

1. AX=B； 2. XA=B

分类

1. 初等变换：AX=B：(A | B)→(E | X) 初等行变换；  XA=B：(A^T | B^T)→(E | X^T) 初等行变换2. 逆矩阵法AX=B：X=A^-1B；  XA=B：X=BA^-1

解法

两种基本的矩阵方程

计算

1. 矩阵的乘法

初等行变换和初等列变换统称初等变换，初等行(列)变换包括三种：1. 交换两行(列)；2. 某一行(列)乘常数c；3. 某一行(列)加常数c乘另一行(列)；

2. 矩阵的初等变换

1. 基于矩阵的运算

r(A) = A的列(行)向量组的秩 = A的非0子式阶数的最大值；

1. 初等变换保持矩阵的秩不变2. 阶梯形矩阵的秩 = 非零行的个数

1. 矩阵的秩

A为n阶方阵，n维向量η不是零向量，并且Aη和η线性相关，即存在唯一数λ，有Aη=λη；则称η为A的特征向量，λ为η的特征值。|A-λE|为A的特征多项式。

若Aη=λη，则1. f(A)η=λf(λ)；2. A可逆，则λ≠0，并且η也是A^-1和A*的特征向量，特征值分别为1/λ，|A|/λ；3. 如果f(A)=0，则f(λ)=0；4. A的特征值之积为|A|；5. A的特征值之和 = 迹数tr(A)；6. λ的重数 ≥ n - r(A-λE)；7. A的特征向量组线性无关 ⇔ 特征向量组的每个属于同一特征值的部分组都线性无关；8. A的特征向量组对应的特征值两两不同，则特征向量组线性无关。

计算方法1. λ为A的特征值 ⇔ |A-λE|=0；2. η是属于特征值λ的特征向量 ⇔ η是齐次方程组(A-λE)X=0的非零解；具体步骤：1. 计算A的特征多项式；2. 计算特征多项式的根，即A的特征值；3. 对每个特征值，求(A-λE)X=0的非零解，即属于λ的特征向量。

2. 矩阵的特征值和特征向量

2. 有关矩阵的重要概念

两个矩阵如果可用初等变换互相转化，就称它们等价；

矩阵A，B等价的充要条件：1. A，B同型（即行，列数对应相等）且等秩；2. 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

1. 等价

A与B相似：存在P为可逆矩阵使得P^{-1}AP=B，记作A~B

1. span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

如果一个n阶矩阵相似于一个对角矩阵，就说它可以相似对角化

1. 存在n个线性无关的特征向量；2. 对于每个特征值λ，其重数 k = n - r(A - λE)

判断是否可以对角化的方法

以A的n个线性无关的特征向量为列向量的矩阵即为P

如何构造可逆矩阵P

相似对角化

2. 相似

A与B合同：，C为可逆矩阵

1. 合同变换保持正定性

3. 合同

3..  矩阵与矩阵的关系

E：对角线元素全为1且其他位置全为0的方阵

1. 单位矩阵

对单位矩阵作依次初等变换，得到的矩阵为初等矩阵

2. 初等矩阵

判断可逆性的四个方法：n阶矩阵A可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ AX=β唯一解，AX=0只有零解 ⇔ r(A)=n ⇔ 0不是A的特征值 ⇔ A的列(行)向量组线性无关

定义与判断

作用：1. A可逆，A在乘法中有消去律；2. 等式两边在同侧乘一个可逆矩阵是恒等变形；3. 乘法中保持秩。

作用与性质

初等变换法：

伴随矩阵的定义：

基本公式：

性质：

伴随矩阵法：

常见的逆矩阵

3. 可逆矩阵

定义：A称为正交矩阵，则A为实矩阵，且

A是正交矩阵  ⇔  A的列向量组是单位正交向量组  ⇔  A的行向量组是单位正交向量组

4. 正交矩阵

1. 特征值都是实数；2. 不同特征值的特征向量正交；3. 每个特征值λ，其重数 = n - r(A - λE)；4. 相似于实对角矩阵；5. 存在正交矩阵Q ，使得是对角矩阵，即正交变换法；6. 实二次型的矩阵是实对称矩阵。

正定：当n维列向量η≠0时，有0\" contenteditable=\"false\"负定：当n维列向量η≠0时，有span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"η^{T}Aη

A正定  ⇔  A和E合同，即，C可逆；⇔  A的正惯性指数 = n；⇔  A的特征值都大于0；⇔  A的顺序主子式都大于0。

判断矩阵正定性

正定性

1. n元的二次型是n个变量的齐二次多项式函数：span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\

定义：实对称矩阵A的正(负)惯性指数是：合同于A的对角矩阵的对角线元素中，正(负)数的个数。

惯性定理：一个二次型f所化得的标准二次型的平方项的系数中，正负个数是确定的，也即二次型所化得的规范二次型在形式上是唯一的，称为规范形。

实对称矩阵A的正(负)惯性指数：它的正(负)特征值的个数。

惯性指数

正定：当变量不全为0时，二次型恒大于零

判断方法：判断二次型正定的方法是去讨论二次型对应的矩阵的正定性

X=CY，C是可逆矩阵。

两个二次型可以进行可逆线性变量替换的充分必要条件是它们的矩阵合同

可逆线性变量替换

定义：构造X=CY，使得为标准二次型

配方法

1. 求出A的特征值；2. 对每个特征值λ，求(A - λE)X=0的单位正交基础解系，    合在一起得到A的n个单位正交的特征向量；3. 用它们为列向量构造正交矩阵Q。

正交变换法

方法

标准化

二次型

5. 实对称矩阵

4. 特殊矩阵

3. 矩阵(重要基础)

A列满秩 ⇔ AX=0只有零解注：A列满秩 => r(AB) = r(B)  ——> 求向量组秩的C矩阵法。

AX=0齐次方程

1. 唯一解：    ⇔ r(A|β) = r(A) = n2. 无穷多解： ⇔ r(A|β) = r(A) < n.3. 无解：        ⇔ r(A|β) > r(A)

AX=β非齐次方程

解的情况判断

齐次：1. 任何一组解的任意线性组合还是解；非齐次：1. 非齐次方程AX=β的两个解的差是齐次方程AX=0的解；2. 非齐次方程AX=β的解 ξ 与齐次方程的解 η 的和 ξ+η 仍然是非齐次方程的解

基础解系：解集的最大无关组解集的秩 = n - r(A)

解集

1. AX = 0 齐次方程的通解为，常数乘基础解系（线性无关）之和；2. AX = β 非齐次方程的通解为，齐次方程通解 + 非齐次方程的通解；

通解

通解的构造

4. 线性方程组(重要部分)

1. 克拉姆法则：当A是n阶矩阵时，|A| = 0 <=>AX= β唯一解，且为X=(...Di/|A|...)；2. 判断n阶矩阵可逆性：|A| ≠ 0 <=> n阶矩阵A可逆；3. n个n维向量线性无关α1，α2，...，αn线性相关 <=> |α1，α2，...，αn| = 0；4. 计算特征值：n阶矩阵A的特征值是 |λE - A| 的根；5. A，B都是n阶矩阵时，则 |AB| =|A| |B|；6. A的所有特征值的乘积为 |A|。

行列式与矩阵可逆性线性方程组解的情况线性相关性和特征值

1. AX=0的基础解系即其解集的最大无关组；2. AX=0只有零解  <=>                          A的列向量组线性无关  <=>  A列满秩；3. AX=β有解         <=>                 β可用A的列向量组线性表示  <=>  r(A|β) = r(A)；4. AX=B有解         <=>B的列向量组可用A的列向量组线性表示  <=>  r(A|B) = r(A)；5. η是 AX=0 的解  <=>     η   可用 AX=0 的基础解系线性表示。

线性表示与线性方程组解的情况

1. 特征值λ对应的特征向量，就是齐次方程组 (A - λE)X = 0的非零解；2. 特征值λ对应的线性无关特征向量组包含特征向量的个数 = n - r(A - λE)，即解集的秩、基础解系解的个数。3. A的特征值之积 = |A|；4. A - λE可逆 ⇔ λ不是A的特征值；5. A可逆 ⇔ 0不是A的特征值。

矩阵特征值和特征向量与线性方程组解的情况矩阵对应的行列式矩阵可逆性

1. 向量内积有对应的矩阵乘法表示形式：2. 内积本质是高维空间的投影和拉伸，返回的结果为一个标量；3. 矩阵乘法AB即为A的行向量和B的列向量分别求内积的结果，即将B看做向量组，则为这些向量分别向A的行向量的投影和拉伸的结果；                                                                                              而将A看做向量组，则为这些向量分别向B的列向量的投影和拉伸的结果；                      故矩阵的乘法不服从交换律，行向量和列向量表示的意义不相同；4. AB的列向量和行向量：分别为A的列向量和B的行向量的线性组合，组合系数分别为对应的B的列向量的各分量和A的行向量的各分量。5. 矩阵乘法表示了两类方程组AX=B，XA=B.

矩阵乘法与向量内积向量组间线性表示关系线性方程组

n阶矩阵A可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ AX=β唯一解，AX=0只有零解 ⇔ r(A)=n ⇔ 0不是A的特征值 ⇔ A的列(行)向量组线性无关

矩阵可逆性与行列式行(列)向量组线性相关性线性方程组解的情况矩阵的特征值

n阶实对称矩阵A正定 ⇔  A和E合同，即，C可逆；⇔  A的正惯性指数 = n；⇔  A的特征值都大于0；⇔  A的顺序主子式都大于0。

矩阵正定性与合同变换行列式矩阵特征值

1. 实二次型的矩阵是实对称矩阵；2. 二次型标准化即为将实对称矩阵A合同的变为对角矩阵；3. 二次型的标准化没有判断能不能的问题，只有方法问题；4. A和B均为实对称矩阵，则A和B相似可以推出A和B合同，反之不能；5. 不同于相似对角化时的可逆矩阵P由齐次方程组的基础解系构造而成，    二次型标准化的可逆实矩阵C由齐次方程组的单位正交基础解系构造而成，即在得到了特征向量时，要对其单位正交化。

二次型标准化与相似对角化

行列式、向量组、矩阵和线性方程组的联系

一个替换

矩阵的初等变换

两个变换

在标准化的基础上，进行规范化使得二次型的平方项的系数为-1，0，1

二次型的规范化

三个化

一个替换、两个变换、三个化

5. 总结与联系

线性代数