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线性代数

2021-09-10 08:28:53   0  举报

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22考研

数学一

线性代数

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大纲/内容

1. 行列式 (常用工具)

基本概念与性质

定义：完全展开式； 逆序数、余子式Mij、代数余子式Aij：Aij=(-1)^(i+j)Mij；

性质： 1. 转置值不变； 2. 第一类初等变换值变号； 3. 某一行（列）的公因子可提出：|cA| = c^n|A|； 4. 第三类初等变化不改变行列式的值； 5. 对一行（或一列）可分解：|α，β1+β2，γ| = |α，β1，γ| + |α，β2，γ|； 6. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数，则行列式的值为0； 7. 对某一行(列)的展开：行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和； 8. 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0【构造了一个拥有相同行(列)的行列式】； 9. 如果A和B都是方阵，则   |A   *|     |A   0|                                           |0   B| = |*    B| = |A| |B|

计算值

低阶行列式

化零降阶法：用第三类初等变换将行列式某一行(列)化为只有一个不为零的元素， 然后按行(列)展开计算，即完成降阶

元素有规律的行列式 （n阶行列式）

1. 直接计算：化三角行列式； 2. 递推法：数学归纳法；

2. 向量 (理论核心和制高点)

1. 向量空间

n维向量空间及其子空间

1. n维向量空间：R^n为由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合。 2. 子空间：对加法和数乘运算封闭的n维向量空间的子集。

基，维数，坐标

定义

设V是R^n的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作dimV,称V的排了次序的极大无关组为V的基。  设η1, η2, ..., ηk，是V的一个基，则V的每个元素α都可用其唯一线性表示：α=Σciηi，其中的系数c1, c2, ..., ck为α关于基的坐标。

坐标的线性性质

1. 两个向量和的坐标等于它们坐标的和； 2. 向量的数乘的坐标等于坐标乘此数。

坐标的意义

V中的一个向量组α1, α2, ..., αt关于某个基的坐标依次为γ1, γ2, ..., γt， 则α1, α2, ..., αt和γ1, γ2, ..., γt有相同的线性关系。 这使得我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和最大无关组等等。

坐标变换

过渡矩阵C为η1, η2, ..., ηk到ξ1, ξ2, ..., ξk的过渡矩阵，(ξ1, ξ2, ..., ξk)=(η1, η2, ..., ηk)C，即为向量组ξ1, ξ2, ..., ξk对于η1, η2, ..., ηk的表示矩阵。 坐标变换公式：x=Cy                        α=(η1, η2, ..., ηk)x=(ξ1, ξ2, ..., ξk)y=(η1, η2, ..., ηk)Cy

规范正交基

如果V的一个基η1, η2, ..., ηk是单位正交向量组，则称为规范正交基； 1. 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们的坐标的内积； 2. 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

2. 向量组的线性关系

1. 线性表示

1. 向量β可用α1，α2，...，αs线性表示 2. 向量组β1，β2，...，βt可用α1，α2，...，αs线性表示

向量组等价：两个向量组互相都可以表示时，就说它们等价；

注：线性表示、向量组等价具有传递性；

2. 线性相关性

概念

1. 意义：向量组存在(不存在)内在的线性表示关系：线性相关(线性无关)； 2. 定义：存在(不存在)不全为0的数组 c1，...，cs 使Σciαi=0：线性相关(线性无关)； 3. 定理：A=(α1，α2，...，αs)，则α1, ..., αs线性相关(无关) <=> AX=0有(无)非零解。

性质

1. 一个向量α（个数为1）线性相关 <=> α=0； 2. 两个向量线性相关 <=> 他们的分量对应成比例； 3. 线性无关向量组的每个部分组都无关； 4. 若向量的个数s等于维数n，则：α1，α2，...，αn线性相关 <=> |α1，α2，...，αn|=0; 5. 向量的个数s大于维数n时，向量组一定线性相关。

与线性表示的关系

1. 如果α1，...，αs线性无关，则：α1，...，αs，β线性相(无)关 <=> β(不)可用α1，...线性表示； 2. 如果β可用α1，... αs线性表示，则：表示方式唯一 <=> α1，...，αs线性无关；

3. 向量组的秩和最大无关组

概念

设α1，...，αs是n维向量组： 1. α1,...,αs不全为零向量(存在线性无关的部分组)，则它的秩r(α1,...αs)是其线性无关部分组包含向量个数的最大值，     如果向量组的一个线性无关部分组包含的向量个数达到秩，就称为它的一个最大无关组； 2. α1,...,αs全为零向量(不存在线性无关的部分组)，则规定秩r(α1,...αs)=0。

性质与用途

用秩判断线性相关性

r(α1,α2,...,αs)=s <=> α1, α2, ..., αs线性无关

用秩判断线性表示

1.          β        可用α1,α2,...,αs线性表示，则r(α1, α2, ..., αs, β) = r(α1, α2, ..., αs)； 2.          β     不可用α1,α2,...,αs线性表示，则r(α1, α2, ..., αs, β) = r(α1, α2, ..., αs)+1； 3. β1, β2, ..., βt可用α1,α2,...,αs线性表示，则   r(β1, β2, ..., βt)   ≤    r(α1, α2，...，αs)；

1. β可用α1,α2,...,αs    线性表示    <=> r(α1, α2, ..., αs, β) = r(α1, α2, ...，αs)； 2. β可用α1,α2,...,αs唯一线性表示 <=> r(α1, α2, ..., αs, β) = r(α1, α2, ...，αs) = s； 3. β1, β2, ..., βt可用α1,α2,...,αs    线性表示    <=> r(α1, α2,..., αs, β1, β2, ..., βt) = r(α1, α2，...，αs)； 4. β1, β2, ..., βt可用α1,α2,...,αs唯一线性表示 <=> r(α1, α2,..., αs, β1, β2, ..., βt) = r(α1, α2，...，αs) = s；

秩和最大无关组的计算

向量组有相同的线性关系

1. 两个包含向量个数相等的有序向量组α1, ..., αs和β1, ..., βs， 如果向量方程Σxiαi=0和Σxiβi=0同解(即(α1, ..., αs)X=0和(β1, ..., βs)X=0同解) 就称他们有相同的线性关系。

2. 当A经过初等行变换化为B时，AX=0和BX=0同解，从而A和B的列向量组有相同的线性关系， 于是他们的最大无关组相对应，秩相等。

计算方法

1. 将此向量组作为列向量组构造矩阵； 2. 用初等行变换将矩阵化为阶梯型矩阵B； 3. r(α1, ..., αs)就是B的非零行数；    B的各台角所在的列号对应的部分组时向量组的一个最大无关组。

3. 实向量的内积

定义

性质

1. 正定性：(α, α) ≥0，并且(α, α)=0 <=> α=0； 2. 对称性：(α, β) = (β, α)； 3. 双线性：(α, β1+β2) = (α, β1) + (α, β2)，(α1+α2, β) = (α1, β) + (α2, β)                  (cα, β) = c(α, β) = (α, cβ). (c为任意实数) 4. 实向量α的长度：||α||=(α，β)^0.5； 5. 单位向量，单位化α/||α||； 6. (α, β) = 0, 则说α和β正交； 7. 单位正交向量组：向量组均为单位向量且两两正交。

施密特正交化

简介

将线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法

步骤

1. n个线性无关的向量α1, α2, ..., αn； 2. β1 = α1，βk = αk - Σ[i=1,2,...,k-1](αk, βi)/(βi, βi)βi； 3. ηi = βi/||βi||；

3. 矩阵 (重要基础)

1. 基于矩阵的运算

1. 矩阵的乘法

定义与基本概念

乘法定义三要素： 1. 条件：矩阵A的列数和B的行数相等时，A和B才可以相乘； 2. 类型：AB的行数和A相等，列数和B相等； 3. 元素：AB的(i，j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和； 方幂：对于n阶矩阵，方幂运算符合指数法则，且规定A的零次方幂为E； 多项式：f(A)=amA^m + ... + a0E；

法则和性质

法则：加乘分配律、数乘性质、结合律、转置律、单位律、|AB|=|A||B|(A, B均为n阶矩阵) 性质： 1. 矩阵乘法无交换律、无消去律； 2. 乘法公式：E-A^3=(E-A)(E+A+A^2)；同一个n阶矩阵A的两个多项式总是乘法可互换的：f(A)g(A)=g(A)f(A)； 3. AB的列向量和行向量：分别为A的列向量和B的行向量的线性组合，组合系数分别为对应的B的列向量的各分量和A的行向量的各分量。 4. 矩阵分解：B=AC

计算

两类特殊矩阵的乘法

1. 对角矩阵：对角矩阵左(右)乘一个矩阵，相当于用它对角线上的各个元素依次乘此矩阵的各行(列)向量； 2. 初等矩阵：对矩阵A作一次初等行(或列)变换相当于在左(右)边用一个相应的初等矩阵乘A；

矩阵的分块法则

两种基本的矩阵方程

分类

1. AX=B； 2. XA=B

解法

1. 初等变换： AX=B：(A | B)→(E | X) 初等行变换；  XA=B：(A^T | B^T)→(E | X^T) 初等行变换 2. 逆矩阵法 AX=B：X=A^-1B；  XA=B：X=BA^-1

2. 矩阵的初等变换

初等行变换和初等列变换统称初等变换，初等行(列)变换包括三种： 1. 交换两行(列)；2. 某一行(列)乘常数c；3. 某一行(列)加常数c乘另一行(列)；

2. 有关矩阵的重要概念

1. 矩阵的秩

定义

r(A) = A的列(行)向量组的秩 = A的非0子式阶数的最大值；

性质

1. r(A^T) = r(A)； 2. r(cA) = r(A)； 3. r(A±B) ≤ r(A) + r(B)； 4. r(AB) ≤ Min{r(A), r(B)}； 5. A可逆时，r(AB) = r(B)；5. B可逆时，r(AB) = r(A)； 6. A列满秩时，r(AB) = r(B)；5. B行满秩时，r(AB) = r(A)； 7. 如果AB=0，r(A) + r(B) ≤ n，n为A的列数（B的行数）； 8. 若A*为n阶矩阵的伴随矩阵，则r(A*)=n，若r(A)=n；r(A*)=1，若r(A)=n-1；r(A*)=0，若r(A)<n-1。

计算

1. 初等变换保持矩阵的秩不变 2. 阶梯形矩阵的秩 = 非零行的个数

2. 矩阵的特征值和特征向量

定义

A为n阶方阵，n维向量η不是零向量，并且Aη和η线性相关，即存在唯一数λ，有Aη=λη； 则称η为A的特征向量，λ为η的特征值。|A-λE|为A的特征多项式。

性质

若Aη=λη，则 1. f(A)η=λf(λ)； 2. A可逆，则λ≠0，并且η也是A^-1和A*的特征向量，特征值分别为1/λ，|A|/λ； 3. 如果f(A)=0，则f(λ)=0； 4. A的特征值之积为|A|； 5. A的特征值之和 = 迹数tr(A)； 6. λ的重数 ≥ n - r(A-λE)； 7. A的特征向量组线性无关 ⇔ 特征向量组的每个属于同一特征值的部分组都线性无关； 8. A的特征向量组对应的特征值两两不同，则特征向量组线性无关。

计算

计算方法 1. λ为A的特征值 ⇔ |A-λE|=0； 2. η是属于特征值λ的特征向量 ⇔ η是齐次方程组(A-λE)X=0的非零解； 具体步骤： 1. 计算A的特征多项式； 2. 计算特征多项式的根，即A的特征值； 3. 对每个特征值，求(A-λE)X=0的非零解，即属于λ的特征向量。

3..  矩阵与矩阵的关系

1. 等价

定义

两个矩阵如果可用初等变换互相转化，就称它们等价；

矩阵A，B等价的充要条件： 1. A，B同型（即行，列数对应相等）且等秩； 2. 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

2. 相似

定义

A与B相似：存在P为可逆矩阵使得P^{-1}AP=B，记作A~B

性质

1.  2. A~B⇒|A|=|B|            ⇒r(A)=r(B)            ⇒|λE-B|=|λE-A|从而特征值完全相同            ⇒tr(A)=tr(B) 3. 相似具有传递性 4. η是A的特征向量 ⇔ P^{-1}η是B的特征向量

相似对角化

定义

如果一个n阶矩阵相似于一个对角矩阵，就说它可以相似对角化

判断是否可以对角化的方法

1. 存在n个线性无关的特征向量； 2. 对于每个特征值λ，其重数 k = n - r(A - λE)

如何构造可逆矩阵P

以A的n个线性无关的特征向量为列向量的矩阵即为P

3. 合同

定义

A与B合同：，C为可逆矩阵

性质

1. 合同变换保持正定性

4. 特殊矩阵

1. 单位矩阵

E：对角线元素全为1且其他位置全为0的方阵

2. 初等矩阵

对单位矩阵作依次初等变换，得到的矩阵为初等矩阵

3. 可逆矩阵

定义与判断

定义：AH=E,HA=E，则H为A的逆矩阵，A是可逆矩阵

判断可逆性的四个方法： n阶矩阵A可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ AX=β唯一解，AX=0只有零解 ⇔ r(A)=n ⇔ 0不是A的特征值 ⇔ A的列(行)向量组线性无关

作用与性质

作用：1. A可逆，A在乘法中有消去律；2. 等式两边在同侧乘一个可逆矩阵是恒等变形；3. 乘法中保持秩。

性质：A, B都是n阶矩阵 1. AB=E，则BA=E，即A, B都可逆并且互为逆矩阵； 2. A和B都可逆，则AB可逆，且 ； 3. 如果A可逆，则A^T，cA(c≠0)和A^k都可逆，且

计算

初等变换法：

伴随矩阵法：

伴随矩阵的定义：

基本公式：

性质： <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="1. |A^{*}|=|A|^{n-1}；2. (A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}；3. (cA)^{*}=c^{n-1}A^{*}；4. (AB)^{*}=B^{*}A^{*}；5. (A^{k})^{*}=(A^{*})^{k}；6. (A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A">

常见的逆矩阵

1. 对角矩阵可逆 ⇔ 对角线元素均不为0，且逆矩阵也是对角矩阵，即将原矩阵对角线上的元素改为倒数； 2. 初等矩阵都是可逆矩阵，并且            E(i, j)^-1=E(i, j)，E(i(c))^-1=E(i(c^-1))，E(i, j(c))^-1=E(i, j(-c)) 3. A和B是两个n阶可逆矩阵，则分块矩阵都可逆。

4. 正交矩阵

定义：A称为正交矩阵，则A为实矩阵，且

A是正交矩阵  ⇔  A的列向量组是单位正交向量组  ⇔  A的行向量组是单位正交向量组

5. 实对称矩阵

性质

1. 特征值都是实数； 2. 不同特征值的特征向量正交； 3. 每个特征值λ，其重数 = n - r(A - λE)； 4. 相似于实对角矩阵； 5. 存在正交矩阵Q ，使得是对角矩阵，即正交变换法； 6. 实二次型的矩阵是实对称矩阵。

正定性

正定：当n维列向量η≠0时，有0" contenteditable="false"> 负定：当n维列向量η≠0时，有

判断矩阵正定性

A正定  ⇔  A和E合同，即，C可逆；⇔  A的正惯性指数 = n；⇔  A的特征值都大于0；⇔  A的顺序主子式都大于0。

二次型

基本概念与性质

1. n元的二次型是n个变量的齐二次多项式函数：     A为f的矩阵(实对称矩阵)，A的秩为f的秩。 2. 实二次型：系数和变量均为实数； 3. 标准二次型：交叉项的系数都为0，即矩阵为对角矩阵的二次型； 4. 规范二次型：平方项的系数只取1，-1，0的标准二次型。

惯性指数

定义：实对称矩阵A的正(负)惯性指数是：合同于A的对角矩阵的对角线元素中，正(负)数的个数。

惯性定理：一个二次型f所化得的标准二次型的平方项的系数中，正负个数是确定的， 也即二次型所化得的规范二次型在形式上是唯一的，称为规范形。

实对称矩阵A的正(负)惯性指数：它的正(负)特征值的个数。

正定性

正定：当变量不全为0时，二次型恒大于零

判断方法：判断二次型正定的方法是去讨论二次型对应的矩阵的正定性

可逆线性变量替换

X=CY，C是可逆矩阵。

两个二次型可以进行可逆线性变量替换的充分必要条件是它们的矩阵合同

标准化

定义：构造X=CY，使得 为标准二次型

方法

配方法

正交变换法

1. 求出A的特征值； 2. 对每个特征值λ，求(A - λE)X=0的单位正交基础解系，     合在一起得到A的n个单位正交的特征向量； 3. 用它们为列向量构造正交矩阵Q。

4. 线性方程组 (重要部分)

解的情况判断

AX=0 齐次方程

A列满秩 ⇔ AX=0只有零解 注：A列满秩 => r(AB) = r(B)  ——> 求向量组秩的C矩阵法。

AX=β 非齐次方程

1. 唯一解：    ⇔ r(A|β) = r(A) = n 2. 无穷多解： ⇔ r(A|β) = r(A) < n. 3. 无解：        ⇔ r(A|β) > r(A)

通解的构造

解集

性质

齐次： 1. 任何一组解的任意线性组合还是解； 非齐次： 1. 非齐次方程AX=β的两个解的差是齐次方程AX=0的解； 2. 非齐次方程AX=β的解 ξ 与齐次方程的解 η 的和 ξ+η 仍然是非齐次方程的解

基础解系：解集的最大无关组 解集的秩 = n - r(A)

通解

1. AX = 0 齐次方程的通解为，常数乘基础解系（线性无关）之和； 2. AX = β 非齐次方程的通解为，齐次方程通解 + 非齐次方程的通解；

5. 总结与联系

行列式、向量组、矩阵和线性方程组的联系

行列式 与 矩阵可逆性 线性方程组解的情况 线性相关性和特征值

1. 克拉姆法则：当A是n阶矩阵时，|A| = 0 <=>AX= β唯一解，且为X=(...Di/|A|...)； 2. 判断n阶矩阵可逆性：|A| ≠ 0 <=> n阶矩阵A可逆； 3. n个n维向量线性无关α1，α2，...，αn线性相关 <=> |α1，α2，...，αn| = 0； 4. 计算特征值：n阶矩阵A的特征值是 |λE - A| 的根； 5. A，B都是n阶矩阵时，则 |AB| =|A| |B|； 6. A的所有特征值的乘积为 |A|。

线性表示 与 线性方程组解的情况

1. AX=0的基础解系即其解集的最大无关组； 2. AX=0只有零解  <=>                          A的列向量组线性无关  <=>  A列满秩； 3. AX=β有解         <=>                 β可用A的列向量组线性表示  <=>  r(A|β) = r(A)； 4. AX=B有解         <=>B的列向量组可用A的列向量组线性表示  <=>  r(A|B) = r(A)； 5. η是 AX=0 的解  <=>     η   可用 AX=0 的基础解系线性表示。

矩阵特征值和特征向量 与 线性方程组解的情况 矩阵对应的行列式 矩阵可逆性

1. 特征值λ对应的特征向量，就是齐次方程组 (A - λE)X = 0的非零解； 2. 特征值λ对应的线性无关特征向量组包含特征向量的个数 = n - r(A - λE)，即解集的秩、基础解系解的个数。 3. A的特征值之积 = |A|； 4. A - λE可逆 ⇔ λ不是A的特征值； 5. A可逆 ⇔ 0不是A的特征值。

矩阵乘法 与 向量内积 向量组间线性表示关系 线性方程组

1. 向量内积有对应的矩阵乘法表示形式： 2. 内积本质是高维空间的投影和拉伸，返回的结果为一个标量； 3. 矩阵乘法AB即为A的行向量和B的列向量分别求内积的结果，即将B看做向量组，则为这些向量分别向A的行向量的投影和拉伸的结果；                                                                                               而将A看做向量组，则为这些向量分别向B的列向量的投影和拉伸的结果；                       故矩阵的乘法不服从交换律，行向量和列向量表示的意义不相同； 4. AB的列向量和行向量：分别为A的列向量和B的行向量的线性组合，组合系数分别为对应的B的列向量的各分量和A的行向量的各分量。 5. 矩阵乘法表示了两类方程组AX=B，XA=B.

矩阵可逆性 与 行列式 行(列)向量组线性相关性 线性方程组解的情况 矩阵的特征值

n阶矩阵A可逆  ⇔ |A|≠0  ⇔ AX=β唯一解，AX=0只有零解  ⇔ r(A)=n  ⇔ 0不是A的特征值  ⇔ A的列(行)向量组线性无关

矩阵正定性 与 合同变换 行列式 矩阵特征值

n阶实对称矩阵A正定  ⇔  A和E合同，即，C可逆； ⇔  A的正惯性指数 = n； ⇔  A的特征值都大于0； ⇔  A的顺序主子式都大于0。

二次型标准化 与 相似对角化

1. 实二次型的矩阵是实对称矩阵； 2. 二次型标准化即为将实对称矩阵A合同的变为对角矩阵； 3. 二次型的标准化没有判断能不能的问题，只有方法问题； 4. A和B均为实对称矩阵，则A和B相似可以推出A和B合同，反之不能； 5. 不同于相似对角化时的可逆矩阵P由齐次方程组的基础解系构造而成，     二次型标准化的可逆实矩阵C由齐次方程组的单位正交基础解系构造而成，即在得到了特征向量时，要对其单位正交化。

一个替换、两个变换、三个化

一个替换