线性代数
2021-08-24 11:51:02 81 举报AI智能生成
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和它们之间的联系。线性代数的核心内容是矩阵和线性方程组的理论，以及它们的应用。线性代数在许多领域都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。它是理解和解决实际问题的重要工具。线性代数的基本概念包括向量、向量空间、基、维数、线性变换、特征值和特征向量等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和掌握这些概念，从而更好地解决实际问题。
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大纲/内容
行列式
行列式概念
排列
逆序数<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\tau(j_1,j_2\cdots j_n)"><span></span><span></span></span>
偶排列
n阶行列式
行列式性质
行列式经过转置值不变，即<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="｜A^T｜=｜A｜"><span></span><span></span></span>
令行列式A的元素<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="a_{ij}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>和<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="a_{ji}"><span></span><span></span></span>的位置互换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式，记作<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="|A^T|" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
两行（或列）互换位置，行列式的值变号
用数k乘行列式<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="｜A｜"><span></span><span></span></span>，等于用数k乘它的某行（或列）
若两行（或列）的元素对应成比例，则行列式的值为0
把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变
若行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把该行列式，拆成两个行列式之和
行列式按行(列)展开公式
余子式<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="M_{ij}"><span></span><span></span></span>
代数余子式<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}"><span></span><span></span></span>
任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积的和为0
主对角线上下三角形行列式的值等于主对角线元素乘积
副对角线上下三角形行列式的值为<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(-1)^{\frac{n(n-1)}{_2}}a_{1,n}a_{2,n-1} \cdots a_{n,1}"><span></span><span></span></span>
拉普拉斯展开式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}A&*\\O&B\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\*&B\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}O&A\\B&*\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&A\\B&O\\\end{vmatrix}=(-1)^{mn}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}"><span></span><span></span></span>
范德蒙行列式
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\\vdots & \vdots & &\vdots\\x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n\\\end{vmatrix}=\prod_{1\leq j<i\leq n} (x_i-x_j)=(x_2-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_{n-2})(x_n-x_{n-1})"><span></span><span></span></span>
克拉默法则
对于n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组，若系数行列式<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="|A|\not=0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>则方程有唯一解，且<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="x_i=\frac{|A_i|}{|A|},i=1,2,\cdots,n" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>其中<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="|A_i|" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>是<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="3" data-equation="|A|"><span></span><span></span></span>中第i列元素替换成方程组右端的常数项所构成的行列式
对于齐次线性方程组，若系数行列式<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="|A|\not=0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>，则方程有唯一零解<br>反之，若有非零解，则充要条件是其系数行列式<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="|A|=0"><span></span><span></span></span>
小记
一般思路，将一行或列尽可能多的化为0，然后用展开式
有时可以对展开式得到的余子式继续展开
爪型处理
除主对角线外，每列的元素都相等，即可处理为爪型
将行列式化到除了第一行、第一列及主对角线外，其余位置都是0，即为爪型（有四种）<br>此时通过加减，使得除了a11外第一列的元素全为0，此时行列式化为上三角行列式（同理也可以化为下三角）
加边法
将所求n阶行列式看作某个n+1阶行列式的余子式<br>例<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&\\0&a_{11}&a_{12}\\0&a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}"><span></span><span></span></span>
求<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\lambda" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>三次方程<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="\begin{vmatrix}\lambda+a&a_{12}&a_{13}&\\a_{21}&\lambda+b&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&\lambda+c\\\end{vmatrix}" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>观察除主对角线以外的元素，是否能通过行列式的恒等变形化为0，并且还能提取出<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="2" data-equation="\lambda"><span></span><span></span></span>的因式
矩阵
概念、运算
概念
零矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="O"><span></span><span></span></span>：元素都是0
同型矩阵：两个矩阵行列数相等，则称它们俩是同型矩阵
n阶方阵A的行列式：由方阵A的所有元素构成的行列式
运算
加法：两矩阵行列数相等才能进行相加
数乘：一个数k乘一个矩阵A，得到的矩阵为A的每个元素都乘k
乘法：当A的列数=B的行数时，可以进行AB的运算<br>新矩阵里元素ij等于A的第i行乘B的第j列
注意：<br>1.一般情况下无交换律，即<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="AB\not=BA" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>2.无消去律，即<span class="equation-text" data-index="1" data-equation="AB=AC\nRightarrow B=C" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br>3.当<span class="equation-text" data-index="2" data-equation="A\not=O,B\not=O" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>时，有可能<span class="equation-text" data-index="3" data-equation="AB=O" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br> 或者说当<span class="equation-text" data-index="4" data-equation="AB=O" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>时<span class="equation-text" data-index="5" data-equation="\nRightarrow A=O" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>或<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="6" data-equation="B=O"><span></span><span></span></span>
单位矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E"><span></span><span></span></span>
对角矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\Lambda"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\Lambda^n=主对角线元素n次方" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\Lambda^{-1}=主对角线元素都取倒数" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>
当<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="\alpha,\beta" contenteditable="false"><span></span><span></span></span>都是n维列向量时，看到<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="\alpha\beta^T,\alpha^T\beta,\beta\alpha^T,\beta^T\alpha"><span></span><span></span></span>，要注意观察哪些是数，哪些是矩阵
转置矩阵
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A+B)^T=A^T+B^T"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(kA)^T=kA^T"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(AB)^T=B^TA^T"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A^T)^T=A"><span></span><span></span></span>
伴随矩阵、可逆矩阵
伴随矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A^*"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="AA^*=A^*A=E"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A^{-1}=\frac{1}{_{|A|}}A^*,A^*=|A|A^{-1}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{_{|A|}}A"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(kA)^*=k^{n-1}A^*"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A^*)^T=(A^T)^*"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="|A^*|=|A|^{n-1}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A^*)^*=|A|^{n-2}A"><span></span><span></span></span>
二阶矩阵求伴随矩阵，主对角线互换，副对角线变号
可逆矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A^{-1}"><span></span><span></span></span>
定理
若A可逆，则A的逆矩阵唯一
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A可逆\Leftrightarrow｜A｜\not=0"><span></span><span></span></span>
若A和B都是n阶矩阵且AB=E，则BA=E，B是A的逆矩阵
运算性质
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},k\not=0"><span></span><span></span></span>
若A,B可逆，则<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}"><span></span><span></span></span><br> 特别地<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2"><span></span><span></span></span>
若<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A^T"><span></span><span></span></span>可逆，则<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="1" data-equation="(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="｜A^{-1}｜=\frac{1}{｜A｜}"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A+B)^{-1}\not=A^{-1}+B^{-1}"><span></span><span></span></span>
求得方法
初等变换法<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="(A\vdots E)\rightarrow(E\vdots A^{-1})"><span></span><span></span></span>
用公式 <span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="A^{-1}=\frac{1}{｜A｜}A^*"><span></span><span></span></span>
用定义AB=E
用分块矩阵，设B,C都是可逆矩阵，则<br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{bmatrix}B&O\\O&C\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1}&O\\O&C^{-1}\end{bmatrix};\begin{bmatrix}O&B\\C&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&C^{-1}\\B^{-1}&O\end{bmatrix}"><span></span><span></span></span>
初等变换、初等矩阵
初等变换
倍乘
互换
倍加
初等矩阵
由单位矩阵经过1次初等变换得到的矩阵
等价矩阵
性质
初等矩阵转置仍是初等矩阵
初等矩阵均是可逆矩阵<br>互换初等矩阵的逆矩阵是它本身；<br>倍乘初等矩阵的逆矩阵是主对角线倒数（对角矩阵）；<br>倍加初等矩阵的逆矩阵<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))"><span></span><span></span></span>
行阶梯矩阵
零行在矩阵最底部
每个非零行的主元(即该行最左边非0的元素)下方的元素都是0
行最简矩阵
非零行主元都为1，且主元上下方的元素(即所在列的其他元素)都为0
分块矩阵
按行分，按列分，按块分
运算法则
5条
计算AB时<br>若A很多0，则可将B按行分块<br>若B很多0，则可将A按列分块
方阵的行列式
计算公式
6条
向量
线性表出、线性相关
线性表出（示）
非齐次线性方程组有解
线性相关
齐次线性方程组有非零解
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="n个n维向量线性相关<=>行列式=0<=>秩<n"><span></span><span></span></span>
<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="n+1个n维向量必线性相关，因为其秩\leq n\Rightarrow 秩<n+1"><span></span><span></span></span>
两个向量线性相关，其坐标成比例
个数多的向量组a中的向量都可由个数少的向量组b线性表出，则个数多的向量组a必线性相关<br>向量组a线性无关，且其中的向量都可被向量组b线性表出，则向量组a的个数少于向量组b的个数
向量组的秩、矩阵的秩
向量组的秩
极大线性无关组
向量组的极大线性无关组一般不唯一，但极大无关组的向量个数都相同
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身
矩阵的秩
经初等行变化，矩阵的秩不变
线性方程组
齐次线性方程组
基础解系
化为行最简
自由变量分辨赋值为1，0，0来求解
分别令自由变量为t、u、v来求解
n-r(A)=基础解系向量的个数=自由变量的个数
有非零解=秩小于未知量个数=方程数少于未知量个数
方程数m=未知数n时有非零解的充要条件是｜A｜=0（克拉默法则）
非齐次线性方程组
有解判断
有唯一解：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="r(A)=r(\overline{A})=n"><span></span><span></span></span>
无解：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="r(A)+1=r(\overline{A})"><span></span><span></span></span>
∞多个解：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="r(A)=r(\overline{A})< n"><span></span><span></span></span>
解的结构
先算Ax=b的一个特解
再算Ax=0的基础解系
则Ax=b的通解为特解+基础解系<br>1.Ax=b中令自由变量为0得到通解，Ax=0中令自由变量分别为1，0得到基础解系<br>2.Ax=b中直接令自由变量为tuv，则可直接得到通解
不一定必须化为行最简，只要出现了单位矩阵即可<br>故当计算复杂涉及分数时可不用化为行最简，检查是否有其他方法
特征值和特征向量
<span class="equation-text" data-index="0" data-equation="A为n阶矩阵，\lambda为一个数，\alpha为一个非零的n维列向量，则" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br><span class="equation-text" data-index="1" data-equation="A\alpha=\lambda\alpha\Rightarrow(\lambda E-A)\alpha=0" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br><span class="equation-text" data-index="2" data-equation="则称\lambda为矩阵A的一个特征值，\alpha为矩阵A属于特征值\lambda的一个特征向量" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br><span class="equation-text" data-index="3" data-equation="则可看出\alpha为齐次方程组(\lambda E-A)x=0的非零解" contenteditable="false"><span></span><span></span></span><br><span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="4" data-equation="有非零解，则特征多项式｜\lambda E-A｜=0，可得矩阵A的特征值，共n个"><span></span><span></span></span>
同一个特征值的特征向量加加减减仍然是A的特征向量<br>不同特征值的特征向量加加减减不是A的特征向量<br>
不同特征值对应的特征向量必线性无关
所有特征值的和为矩阵主对角线的和（迹）
所有特征值的乘积为矩阵行列式｜A｜的值
求特征向量时的小技巧：<br>因为特征向量是齐次方程组的非零解<br>所以该方程组秩r小于n<br>则找该方程组中r个线性无关的向量，组成为极大线性无关组<br>其余向量一定能由该组线性表出<br>即能将其余向量直接写为0，简化了运算过程
相似矩阵
实对称矩阵
二次型
基础概念
二次型的矩阵A
标准形
规范形
合同
坐标变换
二次型化标准形
配方法
正交变换
所得标准形二次项系数为特征值
正交矩阵为特征向量
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