线性代数
2020-08-07 10:54:49 38 举报AI智能生成
考研线性代数全总结
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大纲/内容
线性方程组
齐次线性方程组
定理
Ax=0有非0解（A是mxn矩阵）
A的秩小于n
A的列向量线性相关
上述两条反之亦成立
推论
当m＜n时，Ax=0必有非零解
当m=n时，Ax=0有非零解—|A|=0
若Ax=0中A的秩＜n，则Ax=0有n-r个线性无关的解且Ax=0的任一个解都可以由这n-r个线性无关的解线性表出
基础解系
即是Ax=0解向量的极大无关组基础解系的个数t=n-r
求基础解析的步骤
1、写系数矩阵
2、对其做初等行变换，至行最简
3、找秩，t=n-r
4、除了单位矩阵之外的其它列就是自由变量
5、写通解方程组，对自由变量进行赋值分别赋值1、0
6、写基础解系η
非齐次线性方程组
Ax=B有解
A的秩=A的增广矩阵的秩
Ax=B有唯一解
A的秩=A的增广矩阵的秩=n
Ax=B有无穷解
A的秩=A的增广矩阵的秩＜n
Ax=B无解
A的秩=A的增广矩阵的秩-1
解的结构
解的性质
3.η1、η2是Ax=0的解，则k1η1+k2η2仍然是Ax=0的解
求通解的方法
1.通过行变换找增广矩阵的行最简
2.t=r-A的秩
3.找自由变量
4.令自由变量=0，求其特解
5.令自由变量=1、0，求其齐次方程组的通解
6.其解的结构为
方程组的应用
Ax=B，A、B已知，求X的题
见课本P183例题11
讨论方程组有无解的问题
|A|≠0—有解
|A|=0—无解或无穷解
经典例题
见笔记本该部分
特征值和特征向量
定义
Aα=λαA是n阶矩阵，α是n维向量，且α≠0λ是常数
此时则称λ是A的特征值α是A对应于λ的特征向量
求法
写λE-A=0
解第一条可求λ
将λ带回第一条，求基础解系基础解系就是α
公式
（A+kE）α=（λ+k）α
相似矩阵
P^-1AP=B，就说A相似于B，记作A~B
基本性质
A~A
若A~B，则B~A
性质
相似对角化
若A与对角矩阵相似，则称A可相似对角化且成该对角矩阵是A的相似标准型
A可相似对角化
A有n个线性无关的特征向量反之亦成立
推论：A有n个不同的特征值，则A可相似对角化
λ是A的k重特征值，则λ有k个线性无关的特征向量
解题步骤
1.求特征值λ
2.求特征向量α
3.构造可逆矩阵P=(α1，α2，α3)
应用
实对称矩阵
实对称矩阵必可相似对角化
实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交
解题
1.求出A的特征值λ
2.求出对应的特征向量α
3.判断特征向量间是否正交
若特征值不同
将特征向量单位化即可
若特征值有重根
若特征值已正交
若特征向量不正交
需要对其施密特正交化后再单位化
4.构造正交矩阵Q=（γ1，γ2，γ3）
二次型
二次型及其矩阵表示
这就是一个三元二次型
一定要会写它的矩阵表示主对角线的三个数分别是二次方的系数其它的数都是角标对应的数/2
特殊的二次型
标准型
只有平方项，没有混合项
规范型
平方项的系数只有1、0、-1是一种特殊的标准型
惯性指数
正惯性指数记作 p
平方项系数是正数的个数
负惯性指数记作 q
平方项系数是负数的个数
二次型的秩
二次型的秩等于它矩阵表示的秩
坐标变换（重点）
合同的概念
二次型的定理
对任意的n元二次型f=（X转置）AX，都存在正交变换X=QY，使f成为标准型
对任意一个n元二次型f=（X转置）AX，都可以通过可逆线性变换x=Cy（配方法），化成标准型
正定二次型（重点）
任意X≠0，恒有f=（X转置）AX＞0，就称f为正定二次型，称它的矩阵A为正定矩阵标准型想要正定，它的系数只能为1
坐标变换不改变二次型的正定性
正定的充要条件
P=n（P是正惯性系数）
A的特征值全大于0
A的顺序主子式都大于0(见P201例题8)
正定的必要条件
A的主对角线元素全大于0
|A|＞0
线性代数
行列式（数）
逆序的概念奇偶排列的概念
行列式性质
经过转置（T）其值不变
互换行列后值变号
可提k倍出来（每个项都提）
某行列全部为0，则值为0某两行列成比例，则值为0
可拆性和可加性
行列式的展开（最主要的计算方法）
主要要记住按各种方法展开-1的幂是多少
按余子式展开计算时，幂是i+j
有上下三角，按副对角线计算时，幂是n（n-1）/2（此处n是阶数）
按拉普拉斯展开时，幂是mn（此处mn是阶数）
熟练几种加加减减的处理方法
按性质加加减减
拉普拉斯，范德蒙
爪形处理、都加到第一行然后提公因数
求有未知数的要用特殊方法，避免出现三次方
克拉默法则
主要利用其性质解方程组，不必深究定理整明
当系数行列式A≠0，方程组只有0解当系数行列式A=0，方程组有非零解
矩阵（排列）
矩阵的运算
加法、数乘、乘法
矩阵的转置
行列互换
运算法则
加法、数乘
乘法（不可调换顺序）
转置
这几个公式要熟记课本P150
常见矩阵
单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵上下三角阵、对称阵、反对称阵
伴随矩阵
定义是基本功，需要熟知
公式很重要，需要熟记课本P152
二阶矩阵的伴随，要马上写主线互换，副线相反
可逆矩阵
定义：AB=BA=E
可逆的充要条件
存在B，使AB=E
|A|≠0，或r（A）=n，或A的行列向量线性无关
Ax=0只有0解
Ax=b总有唯一解
A的特征值不全为0
运算性质
公式在课本P153
求逆矩阵的方法
最常用初等变换法
其它方法见课本P153
初等矩阵、初等变换
初等变换：倍乘、倍加、互换
初等矩阵：只经过一次初等变换的单位矩阵
等价矩阵：A经过有限次的初等变换得到B，则A和B等价
初等矩阵的逆矩阵
k倍乘→1/k倍乘
k倍加→-k倍加
互换→互换
初等矩阵 P和A相乘
PA→A做相同行变换
AP→A做相同列变换
行阶梯，行最简
要熟练这种变换，后面的几章常用
分块矩阵
用于解方程组，或凑拉普拉斯
方块矩阵的运算公式见P159
方阵的行列式
计算公式很重要，见P161
矩阵里的计算公式挺多，带k的都要注意，变换形式均不同
向量（一行或一列数组）
基本运算
线性表出
β=kα有成立的解，就说可以线性表出
线性相关
∑kα=0成立，当k全部等于0时候，说α线性无关当k不全为0的时候，说α线性相关
行列式|α|=0
以α为系数的齐次方程有非零解
任何n+1个n维向量必线性相关
向量组线性相关，则其中至少有一个向量可由剩下的其它向量组线性表出反之也成立
向量组α线性无关，而加入一个β后整个向量组就相关了，那么β一定可以用唯一的方法被α线性表出
两个向量组A和B（A的项数为a，B的项数为b）
如果B可以被A线性表出，且b＞a，那么B线性无关
如果B可以被A线性表出，且B线性无关，那么b≤a
线性相关的本质是解方程组，可以运用克拉默法则
向量组和矩阵的秩
向量组的秩
极大无关组的概念（设a是A的部分组）
a线性无关，且a中任意一个向量都可以被A线性表出，则a是A的极大无关组
注意：极大无关组一般不唯一，但是不同极大无关组的向量个数是相同的
极大无关组的求法：先把向量组成矩阵，再化成行最简，拥有第一个1的那几列即是极大无关组
极大无关组的向量个数即是向量组的秩
矩阵的秩
用自己的话描述：如果一个四阶矩阵，他的四阶行列式=0，而存在三阶行列式≠0，则该矩阵的秩是3如果所有的四阶和三阶行列式都=0，而存在二阶行列式≠0，则他的秩是2.以此类推只要不是零矩阵，那么r一定≥1
经过初等变换，矩阵的秩不变
三秩相等：r（A）=A的行秩=A的列秩
正交规范化，正交矩阵
内积
清楚如何计算向量的长度，两个向量的夹角
内积=0时，两个向量垂直，即是正交关系
施密特正交化
这个时候β1、β2、β3就是正交向量组了
单位化，取η=β/|β|，则η是单位化的，η1、η2、η3称之为标准正交向量组
正交矩阵
A和A的转置相乘=E，则称A为正交矩阵
如果A是正交矩阵，则
|A|=±1
A的转置=A的逆矩阵（反之可推A是正交）
A的行列向量都是单位向量且两两正交
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