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概率论与数理统计

2021-09-10 08:30:43   1  举报

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研、数一、概率论与数理统计、详细整理

概率

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大纲/内容

概率论

随机事件

运算

形式：和（并），积（交），差，逆

法则：交换、结合、分配、对偶、吸收、分解

关系

相互独立

独立重复实验

包含、相等、互不相容、对立、完备事件组

概率

定义与性质

一种度量。 公理化定义：非负性、规范性、可列可加性

性质：

非负性、有界性、有限可加性

加法公式、减法公式、求逆公式

条件概率

乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

概形

等可能概型

古典概型

几何概型

n重伯努利概型

随机变量

一维随机变量

定义与分类

取值依赖于某个随机试验的结果，并随试验结果的不同而不同的变量

连续型随机变量、离散型随机变量、组合型随机变量

随机变量的分布

分布函数

F(x) = P{X≤x} (-∞<x<+∞)

概率分布是随机变量取值与对应的概率的总称【离散型】； 而【连续型】不能直接得到这种“对应”的分布，故类比定义了“概率密度的概念”； 而分布函数与这两个概念（概率分布和概率密度）不存在并列关系，是对随机变量取值与对应概率的另外一种表达形式。

概率分布与概率密度

离散型的概率分布（或分布律）

连续型的概率密度

常见分布

离散型

0-1分布

二项分布

几何分布

超几何分布

泊松分布

连续型

均匀分布

正态分布

一般正态分布

标准正态分布

随机变量函数的分布

Y=g(X)的分布：F_Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}

多维随机变量

二维随机变量的分布

分布函数

联合分布函数

F(x, y) = P{(X≤x)∩(Y≤y)} = P{X≤x, Y≤y} (-∞<x, y<+∞)

边缘分布函数

F_X(x) = P{X≤x} = P{X≤x, Y<+∞} = F(x, +∞)  (-∞<x<+∞) F_Y(y) = P{Y≤y} = P{X≤+∞, Y<y} = F(+∞, x)  (-∞<y<+∞)

概率分布和概率密度

离散型

联合概率分布、边缘概率分布、条件概率分布

连续型

联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度

常见分布

二维均匀分布

二维正态分布

随机变量的独立性

概念

P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y},  F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)

充分必要条件

离散型

P{X = xi, Y = Yj} = P{X = xi} P{Y = Yj}, 即pij=pi.p.j

连续型

f(x, y) = f_X(x)  f_Y(y)

性质

1. m个随机变量独立，则k(2<=k<=m)个随机变量也相互独立； 2. m个随机变量独立，则他们的函数也相互独立； 3. 若两个随机变量独立，则一个关于另一个的条件分布就是其无条件分布

二维随机变量函数的分布

U=g(X, Y)的分布：F_U(u)=P{g(X, Y)≤u}

常见的二维连续型随机变量函数的分布

Z=X+Y

Z=X-Y(Y-X)

Z=XY

Z=max(X,Y)

Z=min(X,Y)

随机变量的数字特征

数学期望、方差、协方差、相关系数

DX = E(X^2)-(EX)^2 Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) ρ = Cov(X, Y)/(DX)^0.5/(DY)^0.5

独立可以推出不相关，反之不行； X, Y 服从二维正态分布或0-1分布，则两者等价；

矩

一维

k阶原点矩：E(X^k)

数学期望EX是X的一阶原点矩

k阶中心矩：E(X-EX)^k

方差DX是X的二阶中心矩

二维

k+l阶混合原点矩：E(X^kY^l)

k+l阶混合中心距：E[ (X-EX)^k (Y-EY)^l) ]

协方差Cov(X ,Y)是X与Y的混合二阶中心矩

大数定理和中心极限定理

依概率收敛（P - 收敛）

n→∞lim P{ |Yn - a| < ε } = 1，对任意ε>0，a为常数； 随机变量序列依概率收敛于a，记为Yn—P—>a；

切比雪夫不等式 一个重要的不等式，一个引理

X的期望和方差均存在，对于任意ε > 0，有 P{ |X - EX| ≥ ε } ≤ DX/ε^2，或 P{ |X - EX| ≤ ε } ≥ 1 - DX/ε^2

大数定理

切比雪夫大数定律

n个相互独立的随机变量，数学期望和方差均存在，且方差有公共上界， 则均值依概率收敛于期望的均值

伯努利大数定律

n个随机变量服从参数为n和p的二项分布，即Xn~B(n, p)，A出现的频数为μn, 则频率依概率收敛于成功率

幸钦大数定律

n个随机变量独立同分布，期望存在， 则均值依概率收敛于期望

中心极限定理 是概率论中一切关于 “随机变量之和在一定条件下的极限分布是正态分布” 的总称

列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）

棣莫夫-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）

数理统计

基本概念

总体与个体

1. 所研究对象的某项数量指标X取值的全体称为总体； 2. 随机变量X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征； 3. 总体中的每个元素称为个体。

样本、样本值与样本容量

1. n个相互独立且与总体X（设X分布函数为F）同分布的随机变量 称为来自总体X或分布函数F的简单随机样本，简称样本; 2. n为样本容量； 3. 随机变量的观测值称为样本值，又称为总体X的n个独立的观测值； （样本指一组随机变量，样本值指一组具体的统计数据，样本容量指观测值的个数）

样本的概率分布 （即简单随机样本）

1. 联合分布函数为单个分布函数的乘积； 2. 联合概率密度为单个概率密度的乘积； 3. 联合概率分布为单个概率分布的乘积；

统计量 (样本的函数)

概念

1. 统计量是样本的函数：T=f(X1, X2, ..., Xn)，不依赖于任何未知参数； 2. 作为随机变量的函数，统计量也是随机变量； 3. 样本的数字特征是最常用的统计量；

抽样分布 (统计量的分布)

概念

1. 统计量的分布称为抽样分布； 2. 抽样分布可能含有未知参数； 3. 有时（当样本的函数含有未知参数但其分布不依赖于未知参数时） 将含有未知参数的样本的函数的分布也称为抽样分布。

来自正态总体的三个 常用统计量的分布 (独立同标准正态分布 的n个随机变量)

χ^2分布

1. 典型模式：随机变量平方的和服从自由度为n的卡方分布，即χ^2~χ^2(n)； 2. 性质：期望和方差为n和2n；可加性； 3. 分位点：上α分位点即，随机变量取到大于该值的概率为α；

t分布

1. 典型模式：X服从正态分布，Y服从自由度为n的卡方分布，则X处于根号下Y除以n服从t分布，t~t(n)； 2. 性质：概率密度函数是偶函数；t分布以标准正态分布为其极限分布；t^2~F(1, n)； 3. 分位点：上α分位点即，随机变量取到大于该值的概率为α；

F分布

1. 典型模式：X，Y分别服从自由度为n1和n2的卡方分布，则X除以n1比Y除以n2服从F分布，即F~(n1, n2)； 2. 性质：如果F~(n1, n2)，则1/F~(n2, n1)；F[1-α](n1, n2) = 1 / Fα(n2, n1)； 3. 分位点：上α分位点即，随机变量取到大于该值的概率为α；

正态总体的样本均值 和样本方差的分布

单个正态总体

样本均值和样本方差的独立性以及分布

两个正态总体

样本均值差与样本方差比的抽样分布

X(n)=max(X1, X2, ... , Xn) 和 X(n)=min(X1, X2, ... Xn)的分布

Fmax(x)=P{max(X1, X2, ... ,Xn) ≤ x} = [F(x)]^n Fmin(x)=P{min(X1, X2, ... ,Xn) ≤ x} = 1 - [1 - F(x)]^n

常用统计量 （样本矩）

样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶原点矩，样本k阶中心距

1. 样本均值的期望等于总体的期望； 2. 样本均值的方差等于总体的方差除以样本容量； 3. 样本方差的均值等于总体的方差；

参数估计

点估计 （求估计量）