考研数学-线性代数思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

行列式

定义

|A|, det(A)

代数余子式

(-1)^(i+j) *余子式

计算方法

代数余子式展开

上下三角

加边

|A + B| = |A| + |B| 的特殊情况

拉普拉斯展开

分四块，反对角线中有O

初等行变换

数学归纳法

特征值的乘积

性质

一行为0 

两行相等

两行成比例

det（A） = 0则不可逆

det（AB） = det（A） * det（B）

|A + B| = |A| + |B| 的特殊情况

克拉默法则

引理

行列式一行，用另外一行的余子式展开，结果为0

A* 为伴随矩阵面，代数余子式的转置，A* A = A  A* = |A|*I

|A*| = |A| ^(n-1)

定理(证明)

A可逆则A-1 = A* / |A| 

xn = |An| / |A|

秩

定义

计算方法

高斯消元法

定理（证明）

初等行变换不改变秩

推论：PQ可逆，R（PAQ） = R（A）

对于A，存在一个PAQ标准型

等价

同标准型矩阵 <-> R(A) = R(B)

标准型矩阵如何得到：通过行变换得到阶梯型，再通过列变换即可

A满秩则A可逆

R(A^T) = R(A)

不等式

线性相关的观点

矩阵的秩不超过各个因子的秩

一个因子可逆矩阵，相乘后矩阵的秩等于另一个因子的秩

R（AT * A） = R(A)

A可逆，则R（AB） = R（B）

矩阵的秩不小于两个因子秩的和 - N

r（A*） <= r(A) 分三种情况

r阶子式的观点

找到不为0的r阶子式， r >= r(A)

r(A)+r(B) <= r(A C | B O)

方程观点

最大无关组

题型：证明：A = O

r(A) = 0

每个元素为0

几何空间

向量

运算

线性

乘法（内积）

满足分配律，交换律，结合律

定义乘法（做功）

余弦定理

数乘之和

方向角

范围

计算方法

cos(a) = a/||a||

方向余弦

平方和为１。cos(a) ^ 2 +cos(b) ^ 2+ cos(c) ^ 2 = 1

有三个余弦值，对应三个单位向量

子主题

空间

n维向量空间

定义

满足运算法则的向量集合

子空间

定义

n维向量空间的子集，其中的元素经过运算也在这个子集当中

向量组

定义

n维向量空间的普通子集

线性相关

向量 - 向量组线性表示

定义

b = x1*a1 +x2*a2 ……

判定

Ax = b有解x

R(A,b) = R(A）

证明：用定义公式即可

推论

0向量是任何向量的线性组合

向量组-向量组 线性表示

定义

A中每个都可以被B组线性表示

若互相可以线性表示，则也叫等价

性质

反身性：每个向量组与自身等价AE= A

对称性：若A和B等价，则B也和A等价

传递性

AX = B; BY= A

题型

判断线性表示与否

用定义拆分A

行变换解方程

向量组内 线性相关

定义

kn*an = 0 且kn不全部为0

经过行变换有0

R（） < n

反之就是线性无关！

性质

含有0向量的向量组就线性相关

M维，n个向量

三个命题等价

n个线性相关

R（） < n

AX = 0 有非零解

M = n

|A | = 0则线性相关

M > n

M < n 维度小于个数

当五个二维向量则线性相关

R() < M < n, 必有线性相关

若A线性无关,A+p线性相关，则p可以由A线性表示，且表达式唯一

证明思路：线性相关的观点，列举各种可能性

证明思路: 秩

题型

判断、判断线性相关

ACx = 0可以判断AC的

分块（行列向量）用定义

AB = E，B的列向量无关

正交向量的分块，分块后用定义写出式子，乘一个向量

用秩

定理

初等行变换不改变列的相关性

证明：方程解同

AX = B，A有a个向量，B有b个向量 

若A线性相关＜－＞则b < a

若Ａ线性无关　＜－＞则 b > a

若AB等价，则AB中最大线性无关组的数目互相相等，秩相等

矩阵行秩 = 列秩

行变换得到行阶梯矩阵

矩阵中最大线性无关组判定的充要条件

A' 可表示矩阵中所有向量

线性方程解的结构

齐次

有非零解

R（）< n(阶梯）

列向量线性无关

只有零解

R（）>= n

当为方阵R（） = n

证明：解系有n-r个

先证明得到的n-r个解是线性无关的

再证明所有解都可以由这n-r个表示

这个证明方法同时也是解方程的办法

题型

用AX=0的基础解系反求方程A

将解向量变为行向量的时候，原方程A变成了这个新方程的解

证明秩相等

方程同解

非齐次

通解

基础解系

特解

解和条件

R(A)=R(Ab)

题型

公共解

直接用AB一起行变换找解

A的通解 = B的通解

将A的通解带入B方程求解

同解

证明AB解相同

1.证明A的解也是B的解

2.证明AB解基个数相同

正定

 特征值特征向量

定义

特征子空间

所有特征向量和他们的线性组合也是特征向量

代数重数

特征方程的某个特征值解的重数

几何重数

对应特征值的特征向量的个数

几何重数小于等于代数重数

特征方程

|λE -A | = f(λ) 

相似

P^-1 A P =  B，则A与B

求法

|λE -A | = 0, 得到特征值，再带入λ解得特征向量

特征方程展开后得到的重要结论

特征值的和 = A对角线的和

特征值的乘积 = |A|

题型

求解特征值和特征向量

用定义公式代换

f(A)的特征值为f(λ)，特征向量不变

通过秩的个数和可逆与否来判断特征值为0有几个

求解特征方程

只用<n个方程可求出特征向量

验算方法

证明特征值相同

特征方程相同

A与A^t

A 与 P^-1 A P

定义

n阶矩阵：AB BA

步骤

是否可以用结论？

特征方程

定义

相似对角化

P^-1 A P =  Λ

性质

自反对称传递

定理

相似矩阵的特征值相同

证明：特征多项式相同

若A与 Λ相似

特征值为对角线

AP =  ΛP, P为特征向量组，P可逆

P可逆则n个特征向量线性无关

A*pi = pi * λi

互异的特征值对应的特征向量线性无关

归纳法证明

得到矩阵可以相似对角化的2个充要条件

代数重数 = 几何重数

R（λE - A） = n - 代数重数

P^-1 A P =  Λ

题型

判断能否对角化

根据对角化结果反求出A

A = P Λ PT，注意是P在前面，P的逆在后面

如果可以用正交矩阵变换

先正交化

A = C Λ C^T

C在前面，C的转置在后面

小结论

每行相等，R（A） = 1

每行的和相等时，（11111）^T为特征向量

和不等于0，对应0特征值的特征向量有n-1个解基，可以对角化

和等于0，不一定可以对角化

实对称矩阵的相似对角化

共轭矩阵性质

定理

 实对称矩阵特征值为实数

证明方法： λ = λ的共轭

实对称矩阵的互异的特征值对应的特征向量正交

实对称矩阵A有C^t A C = C ^-1 A C

合同且相似

初等变换

矩阵及其运算

概念

矩阵就是M*N个数，系数矩阵，增广矩阵，对角矩阵，单位矩阵

运算

线性

加法

负

性质

什么律都有

乘积

运算法则

性质

没有交换律

如何证明结合律？

只有单位矩阵或者数量矩阵满足交换律

AB = O 不代表A或者B为O

AB = B 不代表A为E或者B为O

如何证明A = O？

R（A)= 0 

每个元素为0

但是数乘可交换

幂运算

性质

满足A^(m*n)= ... * ...

(A*B)^K != (A^k * B^k)

如何证明AB = BA时满足？

【证明】(A*B)^K = (A^k * B^k)时，AB = BA不成立

题型

特殊方阵

秩=1，可分解成向量的乘积

A ^n = (2E + B) ^n

分块的乘积很好计算

特征值特征向量

旋转变换

恒等变换

多项式运算

性质

f(A)g(A)=g(A)f(A) but f(A)g(B) != g(B)f(A)

转置

（A+B）T = AT +BT

(AB)T = BTAT

(ABC)T = CTBTAT

对称

反对称：AT +A = O

高斯消元法与初等变换

高斯消元过程

变换成行阶梯矩阵

线性方程组的初等变换

三类

交换两行

行列式 - 1

数乘

行列式 *k

一行数乘后加到另一个行

行列式不变

题型

初等矩阵的乘积计算方法，不用计算，直接肉眼进行初等变换

左乘行变换，右乘列变换

 任意矩阵可以进行变换

A = E1 E2 E3 ...... E R,E为初等矩阵R为行阶梯矩阵

如果|A| != 0 则 R也为一个初等矩阵

初等矩阵：将单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵

逆

定义

AB=BA=I

定理（证明）

A可逆则逆唯一

AB  = I则 BA = I

性质（证明）

(k*A)^-1 = (1/k) * A^-1

(AB)-1 = B-1*A-1

(A)-1)T = ((A)T)-1

（A*）-1 = （A^-1）*

判定（证明）

A与I 行等价

A可表现为有限个初等矩阵的乘积

AX=0只有零解

det（A）！= 0

满秩

求法

加单位阵变换：AE = EA-1

分块

A*/|A|

定义

分块

方式

田

日

[|||]

运算

不改变线性运算

乘法在分块一样大的时候不变

证明思路：找到一边式子的逆，利用唯一性。或者直接相乘。

A*B* = (BA)*

A = A^2

A特征值为1or0

（E + A）特征值为1or 2，故为可逆矩阵

如果A！= E，则|A| = 0

R(A-E)+R(A) = n

二次型

定义

矩阵表示

标准型

 只有平方没有混合项

规范型

+-1 0

正负惯性系数

标准型里面正负项数的个数

非标准型的要化成标准型

二次型的秩

坐标变换

|C| != 0 线性变换 

X=CY

经过坐标变换后得到另外一个二次型

经过坐标变换后合同

 合同

传递自反对称

判定

正定二次型

定义

xt A x 恒大于0

判定

特征值》 0

正惯性系数 = n

A 与 E 合同

顺序主子式 > 0

A = D^T D

题型

配方

正交变换

X = CY ，C为正交矩阵

如果是多重根要加一个施密特变换

当合同用的变换矩阵是正交矩阵的时候，A与目标矩阵就变成了相似

计算的时候有两步验算 

1.特征值是否满足和是对角线和、积是|A|

2. 不同特征值的特征向量是否正交

选择题

有几个规范型或者标准型可以选择的时候，通过秩和正负惯性系数的关系来判断选项

证明为正定矩阵