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考研：线性代数导图

2026-10-21 19:28:31   0  举报

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当初考研时自己做的，知识点太多所以用导图梳理，感兴趣的可以用着玩，自己重新设计补充删减。别看背景绿觉得丑，我纯纯是为了护眼，考研你懂的，数一英一费眼睛。觉得丑的可以自己改改，我就不改了。

考研

线性代数

数学一

知识点大纲

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大纲/内容

行列式

具体行列式的计算

一般行列式（仅含常数）

行列式的特性：两行/列相同或者某一行/列全为0则行列式为0；行列式分别对行或列提取公因子，其公因子可倍乘；三阶或二阶行列式的值可直接用现有方法直接算，4阶以上一般用余子式或构造“三角形”行列式计算

1、某行或某列只有一个或两个非零元素，则可进行代数余子式的拆分

注意：不要忘记求余子式时的正负号

2、对于比较拥挤的行列式，可针对某行或某列的n-1个元素进行倍加消0，再用法1

3、爪型或含有至少两个由0构成的小三角形的行列式，一般可构造上下三角形或副对角线行列式

注意：副对角线行列式求值还要乘以

含x、ai的行列式

一般可通过逐行或逐列相加，构造出只含一个复杂的x与ai组成的项和n-1个零组成的行或列，则可用代数余子式消去复杂项的计算

抽象行列式的计算

|A+B|型

A，B由多个向量构成（对于求单个|A|型也适用）

主要考察行列式和矩阵的加减、倍乘的区别

行列式：仅对一行或一列；矩阵：所有行或列

行列式的加减体现为对某一行或某一列进行拆分，比如：

已知其中行列式的值（主要是考验公式）

常用公式：

其他：不好拆分，可以使用E作恒等变形（；                  正交矩阵A的

【综合性较强】相似、|A| = 特征值的乘积（一般题目中含有E）

公式：

由A和E相加组成的矩阵不可逆或其行列式值为0，往往暗示其特征值，比如：|3A+2E|=0，则可得出为A+E的特征值

求特征值时常用的特征多项式计算

步骤：找到某一行消出0来，如果不能一眼看出消哪一行，就要多动手去试，至少进行两步

容易忽略的做法：中间提取关于的公因式；可以一次性倍加两行/列

代数余子式的线性组合

两个常用基本定理

定理1：任意一行或一列的代数余子式与其他行/列的元素逐项相乘之和为0

定理2：任意一行或一列的代数余子式与其对应行/列的元素逐项相乘之和为行列式的值

求带系数的代数余子式之和

【若系数为其他行或列】使用定理1

【系数任意，代数余子式为某行某列或缺项】一般不是死算，由于代数 余子式与其对应行/列元素的值无关，因此可用系数替换原行/列（缺项 用0来补），构造一个新的行列式|B|，同时可得|B|=所求代数余子式之和

求行列式所有元素的代数余子式之和

前提：行列式对应的矩阵A可逆

先由行列式转矩阵求出矩阵A的逆，再由求出，将所有元素相加即可

三阶行列式的对角线法则

行列式的性质

由于一般都是用行变换(除了由特征值求时，可以进行列变换)，因此这里只提到行

关于副对角线的行列式

拉普拉斯公式

范德蒙行列式

行列式的值

A、B是n阶矩阵，

补充：n阶行列式的计算

示例：

1、关于中间省略的部分：像这种加了很多省略号的部分，大部分 都是第一行往下递推的，不要想当然觉得省略了的就是0

2、一般做题思路：

(1)先按某一行或某一列展开，计算得到递推公式(如)

(2)找到规律递推下去，就能得出结果

矩阵

矩阵的运算，求、等

同维向量的乘积

列向量×行向量=矩阵；行向量×列向量=一个值

1、若A的秩为1，则可拆分为一个列向量和一个行向量的乘积，从而有，其中  等于A的主对角线元素之和

2、对于第二点，处于对角线上的元素如果是相同的整数，也可以令A = mE+B,m为整数

3、(给了具体矩阵可通过求特征值、特征向量得到)由题目所给条件能得到，B最好为对角矩阵，则有  (同时有)

4、将矩阵分块后，分别选取以上三种方法求

以及

由A与E的初等行变换求（先由上往下，再由下往上消出0）

题目只给了一个等式，则通过因式分解及可逆的定义求逆矩阵

对于，令= ，A和B可以是结合式

注意: 矩阵可逆的基本前提是该矩阵是n阶矩阵

求

逐步求出代数余子式（注意组装时原本横向元素的代数余子式要竖向排列）

2阶矩阵求

主对角线元素对换，副对角线元素变号【注意：不要和求逆搞混，求逆还需要在此基础除以行列式值】

初等矩阵

定义

由单位矩阵经过一次初等变换所得，为可逆矩阵，因此其行列式不为0

初等变换

左乘行变换，右乘列变换

三种初等矩阵

行列倍加

，扩展：

互换

倍乘

矩阵的秩

求

求r(A)

A与B等价

充要条件：r(A)=r(B)

其余补充见高频考点p83

对于含未知数的矩阵，其秩若与未知数相关，则往往需分情况讨论；若无关，则通过避开未知数取n-1阶子式得r(A)>=n-1,再由其他条件得r(A)<n,从而有r(A)=n-1

矩阵方程（大题）

若由已知矩阵式得出如AX=E，XA=E，AXB=E，可直接得出A，B可逆

补充：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A) = r(A,B)

其他知识点

分块矩阵

变形：

分块矩阵的秩：

正交矩阵

特殊矩阵的性质

正交矩阵

初等矩阵

单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵

求逆：互换逆为本身；倍加，逆为变化元素加负号；倍乘，逆为变化元素用1除

转置矩阵

可逆矩阵

伴随矩阵

分块矩阵

实对称矩阵和反对称矩阵

对角矩阵

其中

矩阵的秩

补充

若，则，则，即A为零矩阵

r(AB)<=min{r(A),r(B)}，这里的A,B可以是m×n的矩阵

应用：若已知m×n(m<n)阶含有未知数a的矩阵A，r(A)<m,则必有m阶子式全为0， 可任选m列(尽量包含a)令其行列式为0,求得符合条件的a值

矩阵A与矩阵B等价

充分非必要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=B

满足A、B等价且A、B的行向量和列向量都可以互相线性表出

充要条件：同型矩阵且r(A)=r(B)

n维向量

线性相关、线性无关、线性表出

具体向量组的线性相关性

含有零向量、相等向量或成比例向量的向量组必线性相关

若为n个n维

组合成矩阵，计算行列式的值，若|A|=0，则相关，不等于0则无关

若为m个n维（m>n）

使用定理(4)：必相关

若含有未知数，且每个向量未知数所在位置相似

使用定理(2): 去掉未知数，判定缩短组的线性相关性

若只有一组含有未知数

使用定理(1):去掉有未知数的一组，判定部分组的线性相关性

抽象向量组的线性相关性

已知一组线性无关组，判定其重新组合后的向量组线性相关性

判定相关组

令，由于线性无关，所以r(A)=r()，可通过矩阵判定秩

r(A)=r(A的列向量)，也可以通过判定具体向量组线性相关性的方法来确定

判定无关组

对向量组中的元素进行简单的加减(若必要,可加入简单系数)，若被抵消，结果为0，则线性相关

小技巧：无关组×相关组=相关组；无关组×无关组=无关组

已知向量线性相关性，求未知数

具体组含参数

若为n个n维向量

通过行列式的值判定未知数的值

若为m个n维向量(m<n)

构建矩阵并通过初等行变换简化矩阵，判断未知数的值

已知向量组重组后的向量组含参数

比上面的多一个步骤，就是先拆分，得到与的秩相同的含参向量组，并对此向量组进行判断

由所给线性表出关系求未知数的值

向量组与单个向量之间(多对一)

构造方程组，对增广矩阵作初等行变换，求出有解时的a

若到后面第四章线性方程组，会细化到唯一解和多解

重要概念及其联系

向量组/矩阵等价与线性表出

（1）AB=C(未告知A或B可逆)

必有C的列向量可由A的列向量线性表出

必有C的行向量可由B的行向量线性表出

串联记忆(但未知可逆，不能解释为初等变化)：对A，右乘B列变换得到C；对B，左乘A行变换得到C

（2）AB=C【设B可逆】

r(AB)=r(C)

由于B是可逆阵，因此B可拆解为无数次对A的初等列变换，而矩阵经初等变换后秩不变 因此就有r(AB)=r(A)

A、C的列向量等价，列向量的秩相等

因此A与C的列向量可以互相线性表出

（3）BA=C【设B可逆】

r(BA)=r(C)

同理：B可拆解为无数次对A的初等行变换

A、C的行向量等价，行向量的秩相等

小结：矩阵A被左乘得矩阵C，则左乘行变换——>A可表出C的行向量，它们的行向量组等价

(1)中只是A的列向量、B的行向量可单向表出C；(2)(3)中分别是A、C的列向量和A、C的行向量可以互相表出

而对于矩阵，其秩=行秩=列秩，由此若有（2）或（3）也可以推出 r(A)=r(C)

重要定理

（1）部分组、整体组（增加向量组的向量个数）

部分组相关——>整体组相关

整体组无关——>部分组无关

（2）缩短组、延伸组（延长向量组中向量的长度，         相当于提高向量维度）

缩短组（低维）无关——>延伸组（高维）无关

延伸组（高维）相关——>缩短组（低维）相关

（3）向量组线性相关，至少有一个向量可由其他向量表出

（4）若m>n，则m个n维向量必线性相关

（5）<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s}线性无关，\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta线性相关，则\beta可由\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s}唯一线性表出">

与后面方程组的解相联系

（6）多数向量可由少数向量表出，则多数向量一定线性相关；因此若少数向量线性无关，则可以表出它的向量组个数必定比它大

（7）<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s}可由\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{s}线性表出，则r(\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s})≤r(\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{s})">

补充(提取于书，可琢磨)

若部分组a+部分组b=整体组c，若c的秩等于a的秩，且b的向量个数大于a的向量个数，则向量组b线性相关

向量组的秩

AB=0

若B为矩阵且与A同为n阶矩阵，则B的列向量是齐次方程组Ax=0的解，且

若B为m个n维向量构成的向量组（m>=n?），则B中的极大线性无关组数量最多为n-r(A)，向量组B的秩

，可用于估计A或B的秩

r(AB)min{r(A),r(B)}

向量空间

过渡矩阵p81

线性相关性和线性表出的证明题基本方法

线性无关

证明思路

恒等变形

（1）通过题目已知的为0项乘入带证明的式子，递推证明每一项的k都必须为0

（2）若无可乘入的式子，则可通过代入已知条件构造新式子，从而进行式子间的加减抵消

秩

反证法

假设要求证明的向量线性相关，通过已知条件代入整理式子，得出与题目中已知的线性关系相矛盾，从而证得

线性相关（一般都是证无关，暂略）

向量组表出单个向量的证明(多对一)

证能表出通过恒等变形证明 存在；证不能表出则证不存在【一般配合反证法】

向量组之间线性表出的证明(多对多)

判定秩

定理(7):<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s}可由\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{s}线性表出，则r(\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s})\leq r(\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{s})">

或反之：r(\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{s})">

部分组与整体组

计算技巧

线性无关、线性表出与方程组的关系

补充1

已知向量组A可线性表出向量组B，则有AC=B,C的列向量为该方程的解， 且C的每一个列向量为A的全部列向量对B中每一个向量的表出系数

例题：为什么可以(A,B)这样算？A=C^{-1},B=C^{-1}X，则B=AX">

向量组线性表示和矩阵方程以及等价的关系

向量的模

单位列/行向量即模为1的向量

向量与基

例如已知向量，向量B在基底()上有B=

若更换基底为()，则向量

若在两个基底下坐标相同，则有

注意：不要把坐标和向量相混淆，只有把一个向量放在一个基底上，它才有坐标，向量的维度显示为基底的维度

列向量之间的关系应用

对任意非零列向量对任意，都有

为对称矩阵，并且对称矩阵与对称矩阵的线性相加仍是对称矩阵；但是不是对称矩阵

tr(A) =，，常用形式：

应用实例：

过渡矩阵

右乘列变换，若两个基均为基底，则C为可逆阵

易错点：不要搞错顺序，由基A到基B的过渡矩阵为C，则为B = AC(是右乘！)

由可由(E" contenteditable="false">|)  求A的逆矩阵 ——> AP = B可由(A|B)通过初等行变换得到(E|P) , 从而求得过渡矩阵p

正交与线性无关的关系

全章知识结构图

线性方程组（大题）

求Ax=0的基础解系

求Ax=b的解，基础解系+特解

有解判定、解的结构、性质

公共解、同解

方程组的应用(可交换的矩阵，给定矩阵的组合式求具体矩阵)

高频

含参数方程组

线性表示转化为方程组

矩阵方程转化为方程组

判别线性方程组的解（小题）

非齐次方程组的有解判定

补充： （1）可将以上结论扩展至AX=B，A为m×n阶矩阵，B为m×k阶矩阵，, b为m阶列向量， 也符合以上解的结构，增广矩阵改为(A,B) （2）每个是对应于的解, 之后组合成矩阵，矩阵X即方程的解

非齐次方程组的解的结构

求基础解系，自由变量代入{1,0,0...}{0,1,0...}; 求非齐特解，则代入{0,0,0...}；两者相加

注意：如求的通解，是求非齐次通解，此通解必须要用齐次通解+非齐次特解来表示！ 例如以下由向量形式求解：

齐次方程组的有解判定

齐次方程组的求解方法

1、化行最简

2、化出单位阵

3、化阶梯型，直接求解(找到不为0的最高阶余子式，确定自由变量)

线性方程组解的结构拓展

(高数的微分方程也适用)

齐次解与矩阵向量、秩的关系

已知Ax=0,基础解系的解个数=n-r(A)

若AB=0，则B的列向量是齐次方程组Ax=0的解，则r(B)n-r(A)

公共解和同解的求法

求公共解：

求同解：两个方程组有相同的基础解系则同解，一般将得到两个方程组的行最简矩阵，对比即可

细节点和易错点

只要题目给出[......]是方程组...的...基础解系，[.......]只要给的是向量， 所给向量就是方程组的所有线性无关的解向量

特征值与特征向量

特征值、特征向量

相似、相似对角化

求相似时的可逆矩阵

求参数

用相似求

实对称矩阵

高频

相似形（大题）

n阶方阵

实对称矩阵

已知两个矩阵相似，确定参数

判别两个矩阵等价、相似、合同

相似、相似对角化、实对称矩阵

相似：设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得，则

注意

（1）由于特征值是由求得，因此对于同一个A，特征值是不变的；而每一个特征值都有对应的特征向量k(k不为0)，由于特征向量可以任意乘以非零系数，且调换顺序，因此才导致可逆矩阵p可以有多种

（2）若可对角化，则对角阵也会有多种排列形式，但是是始终不变的，它只会跟着的排列调换顺序

（3）A与B相似，则A与B的特征值相同；若A或B可对角化，则A、B相似于由特征值组成的对 角阵，但由于p可以不同，其对角阵中特征值的位置会不同

相似对角化：即 B可以是对角矩阵，且该对角矩阵的对角线元素恰对应A的特征值，而P的i列向量对应为的基础解系，即与特征值对应的特征向量(若更换p的列向量位置，对角阵中的位置也会改变)

实对称矩阵：必可相似对角化，可逆矩阵P还为正交矩阵，因此P的列向量还需正交化+单位化

证明或判断两个矩阵相似/两个矩阵相似

定义：已知A与B相似，有，可用于矩阵相似性的拓展

【先用，有一项不符合则不相似】相似的必要条件(常用)

|A|=|B|

r(A)=r(B)

特征值相同

(矩阵是实对称矩阵或有n个不同的特征值——>可对角化)

必要条件符合后： 1、若A、B均可相似对角化且特征值相同，则直接可判定相似； 2、若A、B其一可看出相似对角化(为对称矩阵)，只需判定另一个矩阵是否可相似对角化； 【n个线性无关的特征向量->判定可相似对角化：由于不同特征值的特征向量必线性无关， 只需判断k重特征值是否对应k个线性无关的特征向量(这里一般判定）】 3、若A、B均不可相似对角化，则只需比较同一特征值的特征向量个数是否相同(一般看重根)。

矩阵与特征值的关系*

补充：

矩阵A可逆<—>A的特征值都不为0（如果A的特征值里有0，则它不可逆，矩阵向量线性相关）

若r(A) = 1,且tr(A) = m，且A可相似对角化，则A相似的对角阵可为

Schmidt正交化方法

由于不同特征值的特征向量线性无关，因此一般只需要正交化重根的特征向量；但最后都要单位化

矩阵中相似性质的拓展

补充：

A、B为可逆矩阵，且A与B相似——>（1）;（2）;（3）

A、B为实对称矩阵，且A与B相似——>

矩阵特征值和特征向量的拓展

3阶矩阵秩为1时，特征值的快速求法