考研：高等数学导图思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

函数、极限、连续

函数

四大性质的判定

 单调性

定义

例：【单调增加】在区间上有定义，对于任意两点,恒有

与导数的联系

注意：“若+某条件”指条件成立，后面才成立

0,则存在\delta>0,（若f^{'}{(x_0)}<0同样适用）">[由导数的定义形式可推得]

例题

C

错误思路：将保号性混淆进来，认为 0">，则也大于0

纠正：保号性是极限的性质，即使要根据导数定义中的极限推x=0的领域内 导数极限同样大于0,前提是f(x)在x=0的领域内处处导数存在(不一定要导函数连续) ，不然都不存在怎么去大于0，而题目显然无法推出这个条件。

奇偶性

对奇函数，注意：在x=0处有定义，且f(0)=0

与导数和变上限积分的联系

与复合函数的关系

定义域不关于原点对称，则非奇非偶

定义域关于原点对称

内外函数任一为偶，则复合函数为偶函数

内外函数全为奇，则复合函数为奇函数

周期性

定义

存在T>0,恒有f(x+T)=f(x),T为最小正周期

与导数的联系

与复合函数的关系

内函数是周期函数且周期为T，则复合函数必为周期函数，T是周期但不一定是最小正周期

内函数不是周期函数，则复合函数一般不是周期函数

有界性

定义

0,\forall x\in I,|f(x)|\leq M">

与连续、导数的联系

有界与f(x)有界的关系有且仅有上图最后一行的理论

与周期函数的联系

连续周期函数必有界

极限

数列极限

定义

性质

局部有界性

可与定义的第二张图片对应

保号性

记忆：由极限A≥0->f(x)≥0，不成立，因为f(x)可以从正负两个方向趋向0，推得 结论(1)；再反推结论(2)

常用于：极值点、凹凸性的判定

存在准则

夹逼准则

单调有界准则

使用条件：不求出具体极限，只要求证明数列收敛

数列、函数极限均有

保号性

看到极限与0的大小关系，就要能想到保号性

记忆技巧：只需知道这个不行，其余反推

0可推f(x)\geq 0;f(x)>0可推A\geq 0">，(因为右边只是加了或等于0，当然可以推)

使用情况： 1、题目给了极限值且值不为0，要判定函数的正负； 2、要判定极限值的正负，则可通过判定f(x)...

数列或函数极限与绝对值的关系

只知A大于或小于0,也可以说明极限存在

无穷小、无穷大

无穷小的性质(三条)

有穷和、有穷积、无穷小与有界量之积

无穷大的比较(五种函数)

无穷大的性质(三条)

有限无穷大的积、无穷有界之和、(?)无穷与非0有界之积

求极限

极限不存在的情况(注意其中包含的特殊函数)

极限不存在的三种： 1、极限为无穷； 2、左右极限不相等，如分段函数； 3、没有确定的函数值，如sinx，x从0到无穷

基本方法

有理运算法则

非零因子先求

两个函数相除取极限，其一极限趋0，可推条件

两个函数极限相加减相乘的存在性 (定理同样适用于连续性、可导性、(待验证)无穷级数敛散性)

存在不存在=不存在

规律应用： 若两个极限相加存在，则可先求其中一个极限是否存在， 若存在，则另一个极限必存在；若不存在，则另一个极限必不存在 如果是第二种情况，则不能拆分求极限去求相加后的极限了

补充:(注意不存在≠无穷大，存在则A≠0或=0)

幂指运算法则补充：

基本极限+等价无穷小代换+洛必达

加减代换有原则

洛必达使用的三个前提

使用洛必达需化出的两个最终形式

泰勒公式

使用条件： <ul><li>不同类型的函数相加减相除；</li><li>其他方法用不了，但式子可简化为只含一种函数类型的式子；</li><li>确定无穷小的阶数，一般是基于A-B式。</li></ul>

展开原则

可以在内部展开

,

奇、偶函数的特殊展开

例题

1(上下同阶)

2(加减幂次最低)

3(泰勒公式代入的特殊情况)

原则是：以上为例，要展开到，而代入ln(1+x)的泰勒后，由于2x的存在，导致在第二项中也有，因此第二项中的也要加上，所以展开到了第二项

单调有界准则求极限

例题

其实0">也可以说有下界，但没有充分利用 题目条件判定范围，这里容易设坑和丢分

步骤

1、利用单调有界证极限存在

2、令极限为a，代入题中等式

中值定理求极限

相同形式的函数相减

拉格朗日：

积分做因子或分母，用洛必达不方便

（2）需要g(x)恒大于0或恒小于0

求n项和或积的数列极限

易错点：注意区分主体和变化部分

次量级用夹逼，同量级用定积分定义

一般的n项和数列(大题)

夹逼准则

使用条件

变化部分的最大值与主体相比较是次量级

定积分定义

使用条件

变化部分的最大值与主体相比较是同量级

计算方法

提可爱因子

级数(若夹逼、定积分都不管用)

n项数列极限+幂指

n项连乘的数列极限(例题见高辅p34)

解题框架

基本极限形式求极限

补充：

n项和或积的数列求极限

易错点：注意区分主体和变化部分

次量级用夹逼，同量级用定积分定义

一般的n项和数列(大题)

夹逼准则

使用条件

变化部分的最大值与主体相比较是次量级

定积分定义

使用条件

变化部分的最大值与主体相比较是同量级

计算方法

提可爱因子

级数(若夹逼、定积分都不管用)

n项数列极限+幂指

n项连乘的数列极限(例题见高辅p34)

递推关系定义的数列求极限

单调性判定的一般方法：

已知的具体式子

解题逻辑：

例题

不知道的具体式子，只知道之间的 关系等其他信息

递推技巧： (以下无法推测递增递减，则很可能数列不符合递增或递减；而推测A时可能有误， 可以多试两个，否则很可能极限不存在) <ul><li>先确定可能是递增(递减)，然后假设x_n-1" contenteditable="false">, 根据已有条件推得</li></ul>x_n" contenteditable="false"> <ul><li>再由等或已知条件推算极限可能为A，然后假设, 根据 已有条件推得</li></ul>

例题：660P43T122

其他情况： 判定上界可以考虑不等式，例：660P45T128

已知极限确定参数或求另一个函数极限

例题:

无穷小量阶的比较

比较两个无穷小阶实际上就是求0/0极限

基本方法

例题(5种实操方法)

补充结论

易忘易错方法

有理化(用于简化极限)

示例

巧用换元法，用于简化计算

非零因子先提(要时刻注意，一旦发现，马上提出)

示例

非分子分母，相乘的式子也能等价代换

对∞/∞要记得分子分母同除以分子和分母各项中的最高阶无穷大

示例

分子有多个项的拆分方法

（□）—>（□+1-1）, □ 趋于1

1-1的结构提出其中一个作为因子可消去， 留下含1的结构可作如的无穷小代换

时从根号中提x或分子分母同除以x

要用（-x）：因为实际上要除的是，相当于|x|，而x为负，所以为-x

无穷小代换中x正负的替换：

易错点

对幂指函数加e，最后不要漏掉e

容易混淆的两个公式

拉格朗日使用的注意事项： <ul><li>其中 f(...)本身这个结构不能含有x，如可以使用拉格朗，但</li></ul>不能用拉格朗日； <ul><li>当发现的时候不能用拉格朗日。</li></ul>

选填技巧

求极限：若为填空题或选择题选择题选项中没有不存在，则可得到默认条件为该极限存在

连续

函数连续的充要条件

连续函数的局部保号性

f(x)在处连续，则f(x)在的领域内关于局部保号

闭区间连续函数的性质(后两个常用)

讨论间断点及其分类

间断点

定义

f(x)在某去心领域有定义，但在处不连续

类型

可去间断点、跳跃间断点、第二类间断点(左右极限至少一个不存在)

步骤1：初步判定间断点

易错点

注意：第二个示例间断点还有 x = -1

可去间断点：f (x)在x₀处得到左、右极限均存在且相等，且满足f (x)在x₀处 无定义，或在x₀处有定义但不等于函数f (x)在x₀的左右极限

步骤2：求间断点的左右极限，判定间断点类型

对具体函数

例题

对抽象函数(极限n趋于无穷型类)

步骤

1、若为分式，先判分母不为0，得首个间断点

2、先写出由x取值范围决定的n->∞的f(x)的分段表达式

3、再根据分段函数找间断点，尤其注意分段点

例题

连续函数之间加减乘还是是连续函数，相除：去掉分母为0的点其他点连续

复合函数f(g(x))的极限、连续及其间断点

f(u)在(-∞,+∞)上连续，g(x)在(-∞,+∞)上连续—>复合函数f(g(x))在(-∞,+∞)上连续

注意f(g(x))的自变量是x，判定极限、连续或间断点都是用x取点判定

介值、最值、零点定理的证明题

一元函数微分学

导数与微分

导数的定义

需要区分开的定义：

例题

导数定义求极限

导数定义求导数

分段函数在分段点的导数要用定义求

导数定义的应用

（1）导数定义判定在某点是否可导

细节点+易错点

无论x取正取负，恒为0，为最高阶无穷小

，若作为只能证右导数存在

例题：

（2）在某点连续但不可导的情况 +f(x)与|f(x)|的可导关系

f(x)在某点连续但不可导一般是指f(x)在该点存在折角(可以去掉其他思路)

折角出现的情况：

第1种情况如果,也可使

详见全书p46

（3）在某点的可导函数与可导不连续函数的乘积

可用方法

例题：(用的定义方法)

【(2)(3)的结合应用】例题：

（4）的存在性与连续性(易混淆)

微分的定义

其中

连续、可导与可微之间的关系

求导方法(6种)

复合函数求导

方法：

例题：

隐函数求导

方法1：

方法2：二元方程为F(x,y)=0，则

示例：

反函数求导

例题

参数方程求导

方法1：条件足够，则直接带入公式

方法二：先求一阶导，再由一阶导和二阶导的关系求二阶导

对数求导法

使用条件

幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等形式的函数求导

方法

加ln后求导，再进行拆分

易错点

任一项加ln之后都要加绝对值，除非已知该项恒大于0

高阶导数（看到高阶导数如求，就要想到泰勒！）

方法：

例题

补充真题例题：

细节点+易错点

奇(偶)函数在原点的偶(奇)阶导数均为0，如

两个曲线相切的条件

1、在切点导数值相等

2、在切点函数值相等

导数应用

微分中值定理(四个)

其中罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理建立了的联系

泰勒定理(拉格朗日余项)建立了的联系

极值、凹凸性、拐点、曲率

极值点

定义

易错点

极值是某点的函数值与附近点相比值最大，而在规定的区间内，最大最小值分别只有一个或不存在，极值可以有多个

驻点不一定是极值点

注意:极大值不一定比极小值大，两者无比较关系

极值点

若f(x)在可导且取得极值，必要条件是

充分条件

注意：对于第一充分条件，可以不存在， 只要f(x)在连续，可以直接使用第一充分条件判定极值点

拐点

用定义(凹凸性)判定

若f(x)在点处二阶可导且取得拐点，必要条件是

充分条件

只要f(x)在连续，可以直接使用第一充分条件判定拐点 (可利用此方法快速解题)

例题

答案：

方法一是最终根据第三充分条件判定

在某点上，极值点和拐点不能共存

极值点和拐点补充

求极值点和拐点最后都要列出具体的点， 如果求极值则要写在某点取得极值以及极值等于多少

如果是偶函数或奇函数，可以只求一半，另一半根据奇偶函数的性质推断出来

两者联系：若f(x)在x=x_0不可导，则在该点可同时取得极值点和拐点； 若可导，则是拐点则不可能为极值点(不可共存？)

凹凸性

用定义判定

用判定

补充：在选择中遇到以上考点还可以使用作图法，画出函数大致走向

曲率

例题：

极值点和拐点：(以下备注的C项排除方法有疑)

注意：点也能取得极值 理由：在判定极值点的第三充分条件中可以看出，不一定就是二阶导数， 前面都为0直到出现偶数阶导数不为0也可以推断为极值点

有二阶连续导数：一阶导数二阶导数都存在，且其函数连续

最值

由于除去端点，最大值一定是极值点

因此求连续函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤为

渐近线

水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线

常用技巧

由于斜渐近线的特点是x->a时，f(x)=∞，则寻找斜渐近线可以找f(x)的间断点

对于找水平或斜渐近线，先看斜渐近线，如果求斜渐近线的第一步发现结果为0或∞， 若为∞则无斜渐近线和水平渐近线，若为0则可能有水平渐近线，之后再看水平渐近线

易忘+易错点

一定要注意区分x趋向+∞和-∞不一样的情况

对曲线求渐近线，由于是求极限，对于如|x|，类一定要注意是否需要分开讨论 （注意：|x|类可能隐藏在内，如)

如果曲线函数是奇偶函数，可以只求一侧，另一侧套用

讨论方程实根个数

一般方法

罗尔定理推论记忆：比如二元一次方程， 二阶导不为0，三阶导必为0，而它最多有两个实根

找实根可以转化为找零点问题，式子全部左移即可

证明至少有n个实根

1、若题目没有给比较复杂的函数式，则一般是用零点定理，找正负性相反的点

2、若题目给了函数式，且直接用零点定理不好做，则往往构造函数的原函数，找出原函数中函数值相等的点，用罗尔定理

用罗尔定理时： 证至少一个实根就找区间内两个函数值相等的点(一般看端点) 证至少两个实根就找区间内三个函数值相等的点，然后分两个区间使用定理

证明有且仅有n个实根

1、证明至少有n个实根(n个零点)

2、可由罗尔定理推论或其他方法证明最多有n个实根

带参数的方程根问题

法一

将参数分离出来，如下：

例题见高辅p77【例5】

法二

例题

答案：

易漏点：k≤1的情况

注意

可以通过观察法灵活代入一些值，找到零点或可能存在零点的区间0且f(b)<0">

不等式的证明

方法

明确要证什么，然后往那个方向凑

具体方法：

例题

易忘点

微分中值定理有关的证明

三大中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式）

方法

（1）证明一个中值点构成等式

常用辅助函数

（2）证明两个中值点(难点是第二条中分点的选取)

（3）证明一个中值点构成不等式(常用泰勒公式处理)

例题

方法（1）：

方法（2）：

方法（3）：

综合题

f(x)、f(x)'、f(x)''、的图形题

单调性

一元函数积分学

不定积分(函数簇)

原函数的存在性

连续函数一定有原函数，而原函数必可导且连续

补充：分段函数的原函数问题

三种积分方法(主要考)

凑微分法

第二类换元法(用t替换)

常用于非分子的根号式

分部积分法(常用于两类不同函数相乘)

选择技巧：求导之后难简化或者会更复杂的部分凑进微分号

例外：

小总结：

第一行末尾改成

三类常见可积函数积分

不定积分杂例(如有必要，再补充)

细节点+易错点

看到根号，要优先想到如何去根号

比较巧妙的积分结构

少了个负号

定积分(数值)及其应用

性质

易错点：求几何面积有正有负，且正负相加需相抵；但求围成的面积、表面积之类则均为正

f(x)定积分的存在性与性质

存在性

注意：以下都是在有界闭区间内

必要条件

充分条件

(4) f(x)在[a,b]上单调

性质

不等式

常应用于（1）积分不等式、（2）定积分有关的极限问题（如<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\begin{matrix} \ lim_{n\to \infty}\begin{matrix} \int_{0}^{1} \frac{x^n}{\sqrt{1+x^{2}}}\, \mathrm{d}x \end{matrix} \end{matrix}">，放缩后一般用夹逼）

（2）例题

积分中值定理

定积分计算方法

牛顿—莱布尼兹公式

换元积分法

分部积分法

利用奇偶性、周期性

利用现有公式

三角函数相关公式（目前三个）

具备几何意义的公式：

区间再现公式

常用在被积函数原函数不易求出的定积分的计算

变式：

例题：

变上限积分（函数）

连续性

可导性

奇偶性

处理变上限积分的四种方法

等价代换

洛必达法则

等价无穷小代换

积分中值定理

例题

比较定积分大小

方法

变量代换

积分中值定理

变上限积分

柯西积分不等式：

不等式证明

感想：试着根据自己感到有所阻碍的地方，去简化题目，或转换角度，让题目变成自己适应的样子

关键点

定积分的应用【高辅P128】

几何应用

平面图形的面积

空间体的体积(旋转体体积)

曲线弧长

旋转体侧面积

物理应用

变力沿直线做功

液体的压力

细节点+易错点

题目出现时，要想到可能会使用到已有的不等式

等式求导时，记得两边都要求导(特别是一边是积分，一边是函数时)

在求积分过程中，随时观察被积函数是否具备奇偶性、周期性等，快速简化过程

偶×偶=偶，奇×奇=偶，偶×奇=奇

注意：它们是偶函数，不要看到奇次方就觉得是奇函数！

比较巧妙的积分结构

题目给什么条件，就尽量往能用那个条件的方向上凑

不定积分和定积分易混淆概念

问f(x)存在原函数或者在某区间内存在原函数：属于不定积分范畴，用原函数的存在性原理(两条)判定

问在指定区间上是否存在定积分：属于定积分范畴，用定积分的存在性原理(1必要3充分)判定

涉及到类型，则一般考察变上限积分的连续型和可导性等与原函数之间的关系

反常积分

两种反常积分

判别敛散性/已知敛散性，确定系数

对于两种反常积分，要注意：存在两个方向上的无穷区间或瑕点位于积分中间的，一般要将该反常 积分拆开，拆开后为C=A+B，A、B均收敛，则C收敛；A、B任一发散，则C发散

这要与两个不同反常积分 相加减的情况相区分

(1)先看能不能积分计算直接得出敛散性

(2)常用敛散性判定方法

比较法口诀：“大收—>小收”“小散—>大散”，≥或≤永远在发散处

小总结

例题

反常积分的计算

高辅p127

细节点+易错点

比较敛散性时要有意识地利用求极限里的知识点

对进行如类型的反常积分是可以算出来的

常微分方程

一阶微分方程求解方法

基础方法

可分离变量的方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程求解公式

求解中遇到写时不用加绝对值

进阶方法(基础方法解决不了)

作dx/dy算，得到x=g(x)形式的方程解

换元法

稍难的题要学会用进阶方法+基础方法叠加使用

(很少考)伯努利方程和全微分方程

可降阶的高阶方程

注意：n阶的微分方程的通解含有n个常数C

线性微分方程解的结构与性质

以下只是二阶，但其实一阶以及三阶以上也有齐次和非齐次之分

齐次与非齐次解的关系(对于n阶线性微分方程均适用)

1、齐次特解的线性组合仍是齐次特解

比如某齐次方程求出来的通解是，则就是齐次特解

对于n阶齐次微分方程，一般有n个线性无关的特解(基础解系)，对这n个特解用C1、C2线性组合，即为齐次通解

2、

3、两个非齐次特解直接相减(不带系数)后得到齐次特解

4、齐次特解/无+非齐次特解=非齐次特解

5、齐次通解+非齐次特解=非齐次通解

常系数齐次线性微分方程的解

扩展到更高阶，则通过二阶的形式自由组合

常系数非齐次线性微分方程的解

易错点：一定要看清楚题目说方程时有没有加上常系数，没加的话系数就 不一定是常数，并且不能用常系数的解结构

欧拉方程

补充题型

题目给出两个常系数微分方程：齐次，非齐次

微分方程的应用

题型

1、

易错点

多元微分学

重极限

定义

求重极限(一般x->0,y->0)常用方法

证明重极限不存在

令y=f(k,x)，一般取线性关系如y = kx或简单形式，代入极限，如果极限结果与k有关，而k可取任意值， 说明不同路径趋于该点，极限值不同，不符合极限的定义，则重极限不存在

连续、偏导数和全微分

连续

定义：

偏导数

定义

高阶偏导数的形式

定理

简单讲：只要两个二阶混合偏导数连续，则它们两个就相等

全微分

定义

可微即\begin{matrix} \ lim_{x,y\to 0}\frac{△z-dz}{o(\rho)} \end{matrix}=0">

而

由此可得可微的等价形式有

补充：若A、B均=0<—>则dz0

可微性的判定

必要条件不满足，则必不可微

计算

偏导数连续、可微、偏导数存在、函数连续之间的关系

偏导数与全微分的计算

方法

复合函数求导(逐层偏导)

若z=f(u),u = g(x,y),求z对x,y的二阶偏导数时，期间同样要对g(x,y)求两次导

全微分形式不变性(偏导做系数，微分为主体)

隐函数求导

由一个方程所确定的隐函数

由方程组确定的隐函数

小总结

极值与最值（大题）

极值

必要条件

充分条件

求极值的步骤(无条件极值)

这里的驻点：即在该点领域有二阶连续偏导，且在该点关于x,y的一阶偏导等于0或不存在

最大最小值

条件极值与拉格朗日乘数法(用于处理条件边界)

应用

（1）建立目标函数

（2）求导数找最值

（3）复杂的可简化(如取ln)

求有界区域上的最值步骤

1、由极值的必要条件找出内部可能的极值点

2、求出边界上的最大最小值(条件复杂则要用到拉格朗日乘数法)

3、代入进行比较

二重、三重积分

二重积分

二重积分的几何意义

二重积分是一个数，当它的值大于0时，可以表示以二维平面上积分域D为底，以曲面 z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积

二重积分中值定理

二重积分的计算方法

利用直角坐标计算(先y后x、先x后y)

利用极坐标计算

注意：要记得乘一个r，且令x=rcos，y=rsin

适合用极坐标的二重积分特征：

补充：若是对直线转极坐标，比如x+y=1,可令x=rcos,y=rsin,可得r=1/()

直角坐标与极坐标的转换

穿入穿出法

直角坐标：

极坐标：

示例

利用对称性和奇偶性计算

若积分区域移动后可以产生对称性，则可以使用平移法

平移法示例：（实则是换元法，最后把变量用x、y表示而已）

利用变量对称性计算

1、积分值与变量记号无关，因此同时将被积函数和积分域中的x和y都对调，积分值不变

2、若积分域D关于直线 y =x对称，即，则计算时只需对调被积函数中的x和y，积分值不变

累次积分交换次序

1、若积分域或被积函数更适合某一坐标，则先进行直角坐标极坐标

2、在当前形式下某一个变量不好积分，则可及交换次序，先积好积的

3、形式，f(x)或f(y)未给出具体函数或积不出，则交换次序

注意：二重积分转累次积分要求转化后的累次积分上限大于下限，但累次积分本身无此要求

<div>分区域积分</div>

若积分中含有绝对值或者积分域分割后更好积分，则可分区域进行积分

二重积分比较大小

方法：先找到积分域或被积函数相同的积分，进行比较...

二重积分不等式的证明

证明定积分不等式

可以用二重积分证明的条件：出现两个定积分的乘积

步骤：1、化为二重积分(两个定积分符号相同，则将其一改为不同的积分符号，后合并积分域和被积函数)

2、积分域关于y=x对称，则可化为

三重积分

三重积分的几何意义

理解：积分域是三维的空间区域，被积函数表示密度，求出来是该空间区域的质量（？）

三重积分的计算方法

坐标变量替换

直角坐标

1、先一后二：先用x,y表示z的积分上下限，对f(x,y,z)进行z的积分，再进行f(x,y)的二重积分

2、先二后一:先以为底(即用z表示x,y的积分限)，对f(x,y,z)进行二重积分，再对z进行定积分

先二后一中的“先二”计算示例：

适用情况：1、(截面)的面积用z表示，比较好算；2、被积函数里只有z

重要技巧：针对积分区域，先一后二时把式子中的x、y看作常数写z的积分上下限；先二后一时把z看作常数

柱坐标

使用条件：

1、积分区域为以 z 轴为中心轴的柱体或椎体

2、被积函数f(x,y,z)能写成，即的形式

记得转化时乘一个 r（关于r的积分限怎么写尚有疑问，后补充）

变量含义

球坐标

使用条件：

1、被积函数能写成的形式，即

2、积分区域：球面围成球体(半个或1/4均可)、两个球面所夹球壳、球面加锥面形成的曲顶椎体、偏心球体

变量的含义及其范围取值方式

子主题

小结：

利用奇偶性

积分域关于xOy平面对称，即式子中z相关的项只有，例如

上式例子的形心坐标为（a,b,0）

利用对称性

积分域关于x=y=z对称，即轮换对称性，对于积分域的表示式，任意交换x、y、z，式子不变

交换积分顺序？

注意：

二重、三重积分不可以将题目已知积分区域式(如x+y+z=1)直接代入被积函数 中简化，只有线面积分可以

原因：因为线面积分的被积函数本来就是在曲线或平面上的，代表的是其曲线或平面的密度， 而二重、三重积分一般给定某曲线或曲面的式子，要求根据其与...轴...直线围成的区域积分， 这里的积分点包含了区域内的点，因此不可以代入化简

无穷级数

级数的概念和性质

概念

性质

1、收敛+发散=发散

2、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性.

3、【可将加括号看做在原级数中提取了任意偶数个项，不等于原级数且为原级数的一部分】 原级数收敛加括号必收敛(大收推小收),加括号发散原级数必发散(小散推大散)，反之均不然

4、

常数项级数

敛散性判定的方法

正项级数(0">)

比较判别法

通过“大收推小收，小散推大散”找到比较级数，【一般直接根据比较级数大小】 即证收敛则找比它大的收敛级数；证发散则找比它小的发散级数

比较法极限形式

除了第一个，另外两个本质上和比较判别法差不多

常用的比较级数：

比值法

根值法

积分判别法

交错级数

莱布尼茨准则

(1)(2)只是充分条件，且需同时满足

任意项级数(为任意项实数)

常用结论：

解题思路

1、(只限于正项级数)出现常用比值或根值法；出现常用比值法

2、

幂级数

定理与性质

定理

阿贝尔定理：

性质

1、有理运算(常用于对目标级数拆分后求收敛半径)

2、分析性质(虽然使用了小猪佩奇后用得比较少，但是属于一般方法，还是要了解)

收敛半径、收敛域

定义

对幂级数，如果存在一个正数 R，当 |x|<R时绝对收敛，当 |x|>R时 发散，则 R为幂级数的收敛半径，收敛区间为(-R,R)，收敛域则为该 收敛区间 + 对端点 x=R的收敛性判定

求收敛半径的方法

其中我补充的方法好像适用性更广(写错了后面一个没有根号n)

求收敛域

先求得收敛半径后，只需将端点代入原级数，讨论敛散性，将结果加到收敛区间

小技巧

对于类型的级数，可以令，得到，对于该形式的级数， 其收敛区间关于0点对称，更方便讨论收敛半径

补充

选择题常见思路：

∞}a_n=0">

1">

求和函数

注意：1、只要涉及到和函数，就要先求收敛域

只有在收敛域内，和函数才与相应级数相等，换言之， 在幂级数中，收敛域就是和函数的定义域

展开为幂级数

注意：展开为幂级数后，要加上级数的收敛域，若端点收敛但在原函数中取不到， 则仍为开区间；若是在指定点展开为幂级数，则不需要讨论端点的敛散性

傅里叶级数

收敛定理

展开为傅里叶级数

补充例题

向量代数与空间解析几何、多元微分的几何应用

向量代数

数量积

向量积

注意：1、向量积a×b是用含i,j,k的行列式算的；并且计算时要遵从行列式计算的原则，不要忘记

2、若a是向量，，若a是值，则|a|为取绝对值

混合积

(abc)=(a×b)·c

空间平面和直线

平面方程

a,b,c分别为平面在x,y,z方向上的截距

直线方程

（l,m,n）为直线的方向向量

平面与点、直线与点的位置关系

第二个公式分子加的是绝对值

曲面与空间曲线

曲面曲线方程

常见曲面

旋转面

注意：是平面曲线围绕平面直线旋转，一般这个平面直线是指x,y,z轴， 如在xOy平面上只能绕x或y轴转

空间曲线绕某轴旋转，求旋转曲面方程(以下直线用参数方程表示亦是同样做法)

柱面

该柱面是平行于z轴无限上下扩展的，所以z是任意值

二次曲面

a,b,c是带平方的