考研高等数学
2021-07-03 11:59:46 827 举报AI智能生成
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考研高等数学是研究生入学考试中的一项重要科目，主要考察考生对高等数学基本概念、理论和计算方法的掌握程度。该科目包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，涉及面广、难度大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的逻辑思维能力。在备考过程中，考生需要通过刷题、做模拟试卷等方式不断提高自己的解题能力和应试技巧。同时，还需要注重理解数学概念的内涵和应用背景，培养抽象思维和创新能力。总之，考研高等数学是一项需要长期积累和不断努力的任务，只有通过不断的学习和实践才能取得好成绩。
作者其他创作
大纲/内容
2022 考研高等数学(数一)
直线运动速度
切线问题
引例
定义式【极限形式: 必须是 动点 - 定点/自变量 】
导数与微分
极限 lim表示 与 无穷小表示法
书写规范span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
单侧导数
某点导数 存在 充要条件
定义
四则运算
公式
证明 1
y 是关于 x 的 f 映射
x 是关于 y 的 f^(-1) 逆映射
微商形式相等
证明 2
反函数导数
微商法则
微分形式不变性
链式求导法则
复合函数求导
隐函数求导公式
两端直接求导【暴力】
对数求导法
隐函数求导
一阶导数
二阶导数
参数方程求导
可到原函数的导数，奇偶性与原函数相反span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续函数的原函数不一定与其奇偶相反
奇偶性
周期性
性质
求导法则
三角与反三角
利用反函数记忆span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
对数与指数
其他常用
求导公式
二阶导数
n阶导数
n阶求导四则
与泰勒公式联系
常见函数的n阶导数
归纳法
函数奇偶性
泰勒展式
计算
高阶导数
相关变化率
导数与可微
微分不变性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
x 在外部就拆开，在函数内部就换元
变上限求导
中值定理
极限保号性】推导来源导数定义
函数在某点可导，但导函数不一定连续【导数 ≠ 导函数】
0\\\\ 2) 在x=0处可导\\iff \\alpha1; \\\\3) 在x=0处 f'(x)连续\\iff \\alpha 2\" contenteditable=\"false\"
可导与连续性
连续与有界性
导函数与连续
导数与原函数奇偶
导函数的两个特性
绝对值
定义
导函数右极限span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
右导数
导函数连续
右导数 ≠ 导函数的右极限
导数极限定理
导函数与原函数有界性
导函数与函数凹凸性
利用导数定义求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判定可导性
题型
一元函数导数
偏导与可微
书写
混合偏导数
高阶偏导数
拉普拉斯方程
存在定理1
存在定理2
存在定理3/方程组情形
具体点求偏导值
多元函数偏导
导数/偏导
可微即可导，可导即可微【\"微商\"】
充分必要条件
微分公式与运算法则
变换自变量，微分形式不会改变
弧微分
公式
一般方程
利用参数方程求导法
参数方程
曲率
曲率半径
圆的曲率
曲率圆
弧长与曲率
代数理解【解方程】
几何理解【函数交点】
根
零点定理
罗尔定理
存在性
单调性
罗尔定理推论
个数
实根个数
参数范围
含参方程
分离参数
方程根的存在性及个数
一元函数微分
偏增量
全增量
相关概念
除此之外，连续 -> 极限存在
微分与偏导关系
充要条件
如果可微分则偏导必定\"存在\"
可微，则span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
实例
必要条件
偏导\"连续\"则该点可微
充分条件
充分/必要条件
一元与多元复合
多元与多元复合
其他情形
记号
链式求导法
全微分形式不变性
求偏导数
多元函数全微分
微分/全微分
和式极限表达式
微积分公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
概念与定义
介值定理
定积分中值定理
积分上下限相等为0
上下限相反，值取反
积分变量无关性
补充
可积必有界span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
闭区间连续函数必然可积span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
闭区间单调函数必然可积span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
定积分存在定理(可积性判断)
【连接原函数与导数的桥梁】
分部积分
条件
三角
指数/对数
倒数
题型总结
换元法
【奇偶】点火公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
三角函数
周期函数
区间再现
结论公式
对称性
利用性质
常见定积分
计算方法
可积必有原函数
统一性
基本公式
【一元】复合变上限求导
【多元】变上限求导span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
常见换元法
积分中值定理
变上限积分等价代换span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
可导性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
偶函数奇偶性只在[0，x]区间上体现
结论
变上限积分函数
比较判别法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
λ ≠ 0
λ = 0span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
λ = +∞span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
比较法的极限形式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
同一函数正负无穷区间的极限，必须两项同时收敛时和才收敛
不同函数的反常积分的发散的和，不能够确定【例如:f(x)+g(x)=0】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
敛散判别
无穷限反常积分【三类】
瑕点
比较判别法
无界函数反常积分
常见反常积分
反常积分
平面图形面积
一元定积分
沿直线 旋转span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
通用公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二重积分·
旋转体体积
d弧长
旋转体侧面积
曲线弧长
几何运用
变力沿直线做工
库仑力【距离平方成反比】
水压【压强与深度成正比】
引力【距离平方成反比】
物理运用
应用
\\int_0^\\frac{\\pi}{2} f(\\frac{\\pi}{2}) dx=\\int_0^\\frac{\\pi}{2} \\frac{2}{\\pi} dx=1\" contenteditable=\"false\"
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\int_0^\\frac{\\pi}{4} \\frac{\\tan x}{x} dx
定积分比大小
未知变上限求原函数【同时求导】
未知不定积分求原函数【同时积分】
考场题型
一元函数定积分
曲顶柱体的体积
薄片的质量
几何意义
点线面计算逻辑
先 y 后 xspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
先 x 后 yspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
积分顺序
正方形面积
面积元素
直角坐标
常见极坐标计算被积函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
扇环面积
适合极坐标积分域
极坐标
坐标系
二重积分中值定理
积分域关于 x = a 对称【奇偶平移】
积分域 D 关于 y 轴对称span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
积分域 D 关于 x 轴对称span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
积分变量记号无关span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
沿直线 y=x 对称：变量对调积分制不变span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
交换相等
同积分区域可线性运算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
不等式性质span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
基本运算
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
二重可拆积分
运算性质
画域
重新定限
步骤
极坐标系重积分
极坐标系表示
偏心圆
极坐标→直角坐标
图形
极坐标：直角坐标：
直角坐标 极坐标
常见题型
累次积分交换次序
累次积分上限函数求导
参数方程 积分
全平面 抽象函数
不等式
平移法
轮换对称性
利用区间对称型
去绝对值
二重积分计算
二重变上限积分
二重积分
三维物体的质量
由此可见n维，即化为n个单次积分
核心：化为三个单次积分
在二重积分的薄片【面】基础上，增加对z轴积分【体】
积分域的选择和积分顺序与二重积分原理一致
点线面体计算法
立方体
体积元素
球体
三化二/先二后一
分别对应 以 z 轴为轴的圆柱面[半径]，过z轴半平面[从 x 到 y 的旋转角度]，与 xOy 平面平行平面[高度]
取值范围span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
右手为正
坐标元素span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
直角坐标参数方程
常见被积函数形式
扇环体
柱面坐标
计算时注意利用相似三角形求 r3 长度
由上图可得span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
图解
球面坐标系
三重积分
曲面面积
质心
转动惯量
引力
应用 [元素法的使用推广]
含参变量的积分
直角坐标（先二后一）
柱坐标
球坐标
坐标系计算
多元函数重积分
图形
参数方程
星形线
摆线
常见图形
定积分/重积分
自由向量
负向量
零向量
归一化处理
角平分线向量
范围span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量夹角
模长为1
模长为0零向量，方向任意
向量的大小【模】
概念
充要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量共线/平行
三向量共面混合积为0
向量共面
大小相等方向相同
向量相等
向量间关系
向量
向量组的线性相关
线性相关
线性无关
线性组合
向量表示
向量组等价
向量组表示
线性表示(出)
线性代数
共线时相等
相反时相等
三角形不等式
交换律
结合律
向量加减
分配律
向量数乘
线性运算
三个两两垂直的单位向量
右手规则
建立规则
卦限
坐标轴
坐标分解式
求解线性方程组
求证等腰三角形
求出空间两点距离
向量转换span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
模长公式
性质【恒等式】
向量表示span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方向角
轴上的投影
方向角与方向余弦
空间直角坐标系
代数表示
分配率
运算规律
b向量在a向量方向投影的模长与a向量模长的乘积
几何表示
求模长
求夹角
b向量在a向量的分量为0【反之同理】span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
判断垂直
几何应用
数量积/点乘->内积
交换异号
对应向量行列式运算
向量积乘积结果仍为向量
模长
判断向量平行
右手法则span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
叉乘向量方向
向量积/叉乘->外积
轮换对称性
调换变号
平行六面体体积
三向量共面
混合积
向量运算
向量代数
已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程
相关问题
球面
L绕y轴旋转span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
L绕z轴旋转span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
绕坐标轴旋转
yOz平面曲线
母线平行于z轴span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
柱面
圆锥面
椭球面
球面
旋转抛物面
旋转双叶双曲面【了解】
旋转单叶双曲面【了解】
马鞍面
二次曲面【常考】
旋转曲面
母线
准线
构成
椭圆曲面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面[马鞍面]
二次曲面
常见曲面形状
曲面方程
相关问题形式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
点法式方程[点+法向量]
方程
形式
与点法式联系
齐次方程零解
值与特性特点联系
相关问题形式
截距式方程
对称式方程平面束
一般方程平面束span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
平面束方程
三点式
平面方程
空间曲面方程
利用方程曲面的法向量叉积求出其切线法向量
参数方程直接求出三个变量的导数
切线方向
曲线方程
方向向量
一般方程[两个平面一般方程]
基本形式
方向向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方向余弦
对称式方程[点向式]
基本形式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
直线方程
在xOy面上投影span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
空间曲线投影
空间曲线方程
夹角余弦[两法向量夹角]
平面与平面夹角
平行【法向量对应成比例】
垂直【法向量数量积为0】
平面关系
夹角余弦[两方向向量夹角]
直线与直线夹角
夹角余弦[方向向量与法向量夹角]
直线与平面夹角
空间夹角
点到直线span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二维空间
三维空间
点到平面span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
平行平面
两直线之间span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
距离公式
定义span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二元函数方向导数计算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
三元函数方向导数计算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方向余弦span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方向导数
梯度
等式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
θ=pi方向与梯度方向相反，函数减少最快，达到最小值
θ=pi/2方向与梯度方向正交时，函数变化率为0
关系
方向导数与梯度
空间解析几何
参数方程span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
空间曲线参数方程及其向量形式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一元向量值函数
导向量
向量复合求导法则
法向量
曲切平面[法线]
与切线垂直的直线
曲线法线
参数方程切向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一般方程切向量
切线向量
法平面方程
曲线切线[法平面]
多元微分学及运用
平面单连通区域不含\"洞\"的区域
复连通区域含\"洞\"的区域
封闭曲线弧长积分span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
平面曲线span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
空间曲线span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
类型
可拆性
可加性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
绝对值不等式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
不等式
积分路径无关span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
积分曲线 L 关于 y 轴对称span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
奇偶对称性
平面曲线参数方程span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
空间曲线参数方程span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
平面极坐标系span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
极坐标系
弧长曲线积分 (第一类)
积分路径方向相关
直接法
补线使用格林公式
格林公式
闭曲线积分为0
与路径无关
，L为D中任一分段光滑闭曲线
两偏导相等span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
原函数微分span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
判定
该换路径计算
利用原函数计算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
路径无关线积分
平面曲线
斯托克斯公式
空间曲线
坐标曲线积分 (第二类)
平面曲线
空间曲线
两类曲线积分联系
曲线积分
性质【与积分曲面方向无关】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
化简条件
计算步骤
面积曲面积分
性质【与积分曲面方向有关】
直接法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
高斯公式
真题
坐标曲面积分
两类面积分的联系
充要条件
沿任意闭曲面积分为零
曲面积分
平面域 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
空间体 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
曲线段 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
曲面片 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
质量
形心
力：
功：
变力作功
通量：
通量/流量
多元积分应用
散度
旋度
场论初步
多元积分学及运用
和差化积
积化和差
基本公式
和差公式
万能公式
半角公式
二倍角公式
正割(sec)与正切(tan)
积分使用
欧拉恒等公式
三角恒等式
辅助角公式
正余弦转换
反三角函数图像
正割/余割/余切函数
弧长=弧度 x 半径
弧与弧度
调几算方
算数 >= 几何
完全平方·
高数常用不等式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"x/(1+x)\\ln (x+1)0]\" contenteditable=\"false\"
等差数列 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
等比数列span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
SP：当数列从 1下标开始时span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
数列求和
二项式定理
多项式
除与被除
面积： = 1/2 [半径 弧长]
弧长 = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=α (圆心角弧度数)× r（半径）
扇形
表面积
体积
表面积 = 侧面+底面
体积 = 底面积 高
锥体
面积 S=πr²
周长 C=2πr
圆
面积
周长
标准方程
焦点span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
椭圆
几何图形
重心
各种“心”
虚数
前置知识
自变量增量趋于0，函数值增量趋于0
记作
左右极限存在且等于该点的值
一般证明
在该区间上的每一个点都连续的函数
单侧导数存在 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\implies\" contenteditable=\"false\
连续函数
复合函数连续性
定理
连续与有界性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续与左右极限span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续与绝对值
连续与可导性
连续与可积性
连续性
左右极限存在，且 为 间断点
可去间断点
跳跃间断点
类别
第一类间断点
无穷间断点
振荡间断点
其他
第二类间断点
易错问题
间断点
区间内有界span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
收敛【数列中讨论】
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"|\\arctan x|
特殊函数
有界性/收敛
最大最小值定理
介值定理
一致连续性
闭区间性质
条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
结论span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
经典错误
平均值比较法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"凹：f(\\frac{x_1+x_2}{2})
\\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\" contenteditable=\"false\"
几何判断
导数判断
凹凸性
幂函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
三角
抽象函数
偶函数
三角span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
对数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
指数
奇函数
奇函数：原点对称
偶函数：y轴对称
几何性质
【可导】原函数的导数，奇偶性与原函数相反span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续【可积】函数的原函数不一定与其奇偶相反
证明
【可积】周期函数积分为0时，其原函数也为周期函数
其他性质
步骤span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
【两侧判定法】
第一充分条件
【三阶导数判断法】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
第二充分条件
n为偶数不是拐点
n为奇数拐点
第三充分条件
拐点
驻点
函数性态
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"f(x)在x_0某邻域有定义，对于去心邻域内任一x，有f(x)f(x_0)\\\\则称f(x_0)是函数的一个极值\" contenteditable=\"false\"
求出全部驻点与不可导点，观察这些点左右邻近的情况从而判断极值情况
一阶导存在且左右异号【两侧判断法】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二阶导数存在且不等于0【二阶正负判断法】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
n为偶数f(x)在x0有极值，其中n阶导>0极小值，n阶导<0极大值
n为奇数无极值
极值
求出 驻点 和 不可导点 以及 端点处的函数值
取这些函数值的极大值或者极小值
一元连续函数区间内部的唯一极值点，为该区间的最值点
最值
极值与最值
水平渐近线
垂直渐近线
构造法【常用泰勒公式】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
极限法
斜渐近线
渐近线
函数图形描绘
零点
极值点
单调区间
点/区间书写格式
符号函数
取整函数
复合函数
y=f(x)在定义域上是否为单调函数
如果是单调函数逆运算求出x=g(y)
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"x=\\tan y;y=\\arctan x;[-\\inftyx+\\infty;-\\pi/2y
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"x=\\cot y;y=arccot x;[-\\inftyx+\\infty;0y
反三角函数
常见反函数
关于x=y对称
反函数
初等函数
常见函数类型
定义域
拉格朗日中值定理
泰勒公式
基本不等式
函数不等式证明
一元函数
邻域
内点
外点
边界点
聚点
点与点集关系
平面点集
n元函数定义
有界性与最值定理
一致连续性定理
定理1
0【A0极小值】\" contenteditable=\"false\"
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"AC-B^2
同济版高数下p125
证明
几何法
保号性判断法
判断方法
原函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
约束条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
构造函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
列出所有偏导方程
解方程
求解步骤
拉格朗日乘法
特征
极坐标求解
条件极值求解
极值/极值点
最值点
多元函数
函数
函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
数列极限
分段函数
指数
arctan
常见分左右极限讨论
函数极限
海涅定理
极限存在证明
局部有界性
保号性
极限值与无穷小关系
极限与绝对值
极限性质
无穷小有限和积
无穷小 x 有界函数 = 无穷小0}x\\sin x=0\" contenteditable=\"false\"
高阶
同阶
等价
k阶
阶大小关系
直接比较法【极限比较法】
泰勒展开
求导定阶【微分阶】
积分等价
结论法
阶的比较
积分上限函数的阶
无穷小/无穷大
注：这里的 1 必须是常数而不是极限值span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
取对数法
不定式
1）加间极限必须存在2）商的分母值不能为03）幂次必须为正整数
限制条件
常见错误
极限有理运算
夹逼原理
幂等价
指/对数
三角等价
0)\" contenteditable=\"false\"
数列
常用公式
积分的阶
x 趋近于 0
\\infty} e-(1+\\frac{1}{n})^n\\sim \\frac{e}{2n}\" contenteditable=\"false\"
等价无穷小
费马引理span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
前提
结果
拉格朗日中值定理[微中]
柯西中值定理
常见处理式
着重讨论 0/0 未定式情况，而 ∞/∞ 则可以通过分子分母同时倒数来转化为 0/0 型
推导来源
洛必达法则
是否对于任意形式都满足泰勒公式
泰勒公式与泰勒级数、泰勒展开式之间的关系
使用思考
常用公式[麦克劳林展式]
系数 an 与 f(x)的n阶导关系span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
【变形式子】
基本形式
课外内容
极限定义式
导数定义
有理化
外框
六大求极限方法
乘积形式/指对数
洛必达
导数简单/积分上限函数
泰勒【部分展开】
高阶式子/加减不能等价代换/复杂三角函数
求导定义
导数形式
幂等价式
三角函数化简
带有根号形式的分式
幂指恒等式
不定式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
幂指函数
求极限思路
确定极限式参数
其他题型
夹逼定理求解
难题总结
一元函数极限
存在证明
夹逼定理
反证法
常见求极限方法
极限判断
多元函数极限
单调有界准则
定积分定义
变化部分span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
n项和数列极限
根号n次幂次项和
取对数化为n项和
例题
n项连乘
递推关系定义数列
数列span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
a为数列极限=数列收敛于a
数列收敛，则极限唯一【唯一性】
数列收敛，则一定有界【有界性】
【保号性】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
【子序列关系】如果数列收敛，则其任一子数列也收敛，且极限也为 a
收敛性质
极限/重极限
级数
级数与部分数列和 Sn 同收敛发散\\infty} s_n=s=\\sum_{i=1}^\\infty u_i=\\lim_{n-\\infty}\\sum_{i=1}^n u_i\" contenteditable=\"false\"
收敛/发散
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"|q|
等比(几何)级数
调和级数
p 级数
常见级数
性质一：级数每项乘以不为0的常数，收敛性不改变\\infty} \\sum ku_i=k\\lim_{n-\\infty} \\sum u_i=k\\lim_{n-\\infty} S_n\" contenteditable=\"false\"
性质二：收敛级数加减仍收敛；两个收敛级数可以逐项相加或相减
性质三：级数中修改有限项，不会改变级数收敛性【即真正决定敛散性的不是有限项】
性质四：如果原级数收敛，则加括号仍收敛【逆否：如果加括号后级数发散，则原级数发散】
注：必要而非充分，例如 调和级数
性质五 (必要条件)若级数收敛，则其一般项 un 趋于零
收敛数列必有界
基本性质
柯西审敛原理 (充要条件)span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
(充要条件) 部分和数列 Sn 有界
推论span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
比较审敛法
v 收敛 -> u 收敛【k倍】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\lim u_n/v_n=l (0\\leq l
v 发散 -> u 发散【发散->发散】0)\" contenteditable=\"false\"
等比级数
常见比较级数
比较审敛法【极限形式】
比值审敛法【达朗贝尔判别法】
根值审敛法【柯西判别法】
级数发散0(或+\\infty) 级数发散\\\\\\lim u_n/\\frac{1}{n}，与调和级数比较，发散-发散\" contenteditable=\"false\"
级数收敛span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
极限审敛法
积分审敛法
正向级数
各项正负交错
交错级数收敛 充分条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
莱布尼兹定理
交错级数
绝对收敛（充分条件）对于级数 un 各项绝对值所构成的正向级数 |un| 收敛则称为绝对收敛
条件收敛如果原级数收敛而其绝对值所构成的正向级数发散，则称为条件收敛【部分交错级数】
如果级数绝对收敛，则级数必然收敛
相关定理
绝对收敛级数具有可交换性
绝对收敛级数的乘法
绝对收敛性质
绝对收敛+条件收敛=条件收敛
绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛
条件收敛+条件收敛=两种都有可能
加减收敛性
绝对收敛/条件收敛
常数项级数审敛法
敛散性判断
表达式
无穷级数
收敛点/发散点
收敛域/发散域 [极限收敛点的全体]
前置概念
推论
阿贝尔定理
对于只有偶次或几次项幂级数
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n当 x=x_0(x\eq 0)收敛，当|x|
|x_0|时，发散\" contenteditable=\"false\"
推论得出收敛半径对称
求解方法
幂级数收敛半径
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域上连续
性质2 幂级数和函数s(x)在其收敛域上可积，并有逐项积分公式
性质3 幂级数和函s(x)在其收敛区间可导，且有逐项求导公式
推论：幂级数和函数s(x)在其收敛区间具有任意阶导数
幂级数运算
形如下面的幂级数叫做 函数f(x) 在 x0 处的幂级数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
x0 = 0处为麦克劳林级数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
泰勒级数/麦克劳林级数
展开式【等式】叫做 函数f(x) 在 x0 处的泰勒展开式 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
泰勒展开式/麦克劳林展开式
判断余项是否为0
直接展开法【步骤】
利用已知幂级数进行【四则、逐项求导、逐项积分】及变量代换方法
间接展开法
展开方法
泰勒级数/公式/展开式
函数展开为幂级数
微分方程的幂级数解法
运用【几何分布期望计算】
1/(1+x) (-1<x<1)
sin x (负无穷，正无穷)
cos x （负无穷，正无穷）
ln x (-1<x<=1)
arctan x
正负交替
1/(1-x) (-1<x<1)
运用【泊松分布期望计算】
(负无穷，正无穷)
(-1<x<1)
系数恒正
常用展开式
幂级数
周期函数
收敛定理[狄利克雷]
收敛定理
函数展开为傅里叶级数
常考题型
傅里叶级数
f(x)不一定连续
f(x)不一定是初等函数
F(x)不一定是初等函数
由原函数定义，F'(x)=f(x)，因而F(x)连续
存在原函数的导数性质
原函数
不定积分定义
幂函数
指数函数
注意 x 所代表的函数性
平方和/差
大在下，小在上【个人结论，很好用】
sin x+cos x 分式配凑
分式 -> 对数
积分表
积分中值定理
抵消原理
高中口诀：反对幂指三
常见情形
根式
分式
常见配凑形式
第一类换元法(配凑法)
三种常见变量代换
第二类换元法(反函数法)
主要积分法
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P(x)
真分式
Q(x)(x次数)\" contenteditable=\"false\"
假分式
有理分式
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\frac{P_1(x)}{(x-a)^k}；\\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q)^l}(p^2-4q
最简形式
三角函数万能公式法(不推荐使用)
化乘除为加减
对数化简
化简方法
常见多项式配凑
化简
有理函数积分
三角有理式
根式代换/无理式换元
简单无理函数
常见可积函数
拆项 裂项
同乘 同除
升幂 降幂
三角恒等变换
积分重现 抵消
一般技巧
连续必有原函数
不定积分存在定理(可积性判断)
一元函数不定积分
不定积分
表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程
方程的阶
通解
特解
初值条件/初值问题
微分方程积分曲线
积分因子法
一阶span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一般形式
换元
可分离变量微分方程
令 y=ux
求解
非齐次化为齐次
可化为齐次方程形式
齐次方程
可分类变量还原
通解公式
齐次
常数变易法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
非齐次
反解
一阶线性微分方程
形如
解法
伯努利方程
偏积分
凑微分
线积分
全微分方程
直接可积型
解法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
半隐span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
全隐span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
可降阶高阶微分方程
常系数齐次线性微分方程
特征方程
0】\" contenteditable=\"false\"
无解，两个共轭复根
三种根情况
齐次方程解=非齐次方程两个特解的差
非齐次方程通解形式=齐次方程两个线性无关特解+非齐次特解
解结构
常数变易法
高阶线性微分方程
令x=span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"e^t\" contenteditable=\"false\
2021，(二)，13
欧拉方程
解的叠加原理
解的结构
常微分方程
微分方程
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