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高等数学

2021-10-18 14:24:20   35  举报

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高等数学

数学

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大纲/内容

空间解析几何与向量代数

空间直角坐标系

空间直角坐标系的建立

三条坐标轴：Ox、Oy、Oz；依次称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）

每两条坐标轴组成的称为坐标面。Oxy，Oyz，Oxz三个坐标面分为八个卦限

空间中两点间的距离公式

向量代数

向量的概念

既有大小又有方向的量称为向量

向量的长度为1称为单元向量；长度为 0的向量称为零向量，方向可看作任意的；

两个向量长度相等且方向相同，则这两个向量相等

不论长度大小，只要两个向量的方向相同或相反，则两个向量平行；零向量与任何向量都平行；

向量的加法

向量加法与减法的几何意义

运算律

交换律：α+β=β+α

结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）

向量与数的乘法

几何意义：当λ>0时，向量λα是α在其原方向上的长度延伸λ倍；当λ<0时，相反

运算律

结合律

数量加法分配律

向量加法分配律

平行向量：若向量α≠0，则向量β与向量α的充分必要条件是：存在λ，使得β=λα

单位化向量：若向量α≠0，记，则为a的单位化向量

向量的投影

投影定理：对任意非零向量α，有Prjuα=|α|cosφ，其中φ是数轴与α的夹角。规定零向量与任何向量都垂直。

投影的线性性质

Prju（α+β）= Prjuα+Prjuβ

Prju（α-β）= Prjuα-Prjuβ

向量的坐标

基本单位向量：在空间直角坐标系中，与x轴、y轴、z轴三个坐标轴同方向的单位向量分别是i，j，k，称为基本单位向量

相关定义：若向量α在x、y、z轴上的投影分别为a、b、c，则α=ai+bj+ck，称为向量α的分解式，有序数a、b、c称为向量α的坐标，记作α={a，b，c}=ai+bj+ck

向量线性运算的坐标表示

α+(-)β={a1+(-)b1, a2+(-)b2, a3+(-)b3}

λ{a1，a2，a3}={λa1，λa2，λa3}

|α| = √a1²+a2²+a3²

α//β ＜＝＞ a1/b1=a2/b2=a3/b3

向量的数量积与向量积

向量的数量积

概念：给定两个向量α和β，定义它们的数量积为α β = |α|·|β|·cosφ，其中φ是α与β的夹角

运算律

交换律：α  β =  β α

结合律：λ（α+ β）=λα + λβ，其中λ为数量

分配率：（α+ β）γ=αγ+ βγ

垂直条件：向量α与β垂直的充分必要条件是 α β = 0  （规定零向量和任何向量都垂直）

坐标表示：α β =a1b1+a2b2+a3b3

夹角：

向量的向量积

运算律

反交换律：αxβ = -(βxα)

结合律：λ（α x β ）=λα x β =λβ x α

分配率：γ x (α+β) = γ x α +γ x β; (α +β ) x γ = α x γ +β x γ

坐标表示

平行条件：α x β = 0

空间中的曲面和曲线

空间中的平面和直线

平面方程

平面的点法式方程

一般方程

例题

两个平面的夹角

直线方程

对称式方程

参数式方程

一般方程

两条直线的夹角

直线与平面的夹角

二次曲面

椭球面

椭圆抛物面

椭圆锥面

单叶双曲面

双叶双曲面

多元函数的微分学

多元函数

平面点集

二元函数

多元函数的复合函数

多元函数的极限

导数

偏导数与全微分

偏导数的概念

高级偏导数

全微分

复合（隐）函数的偏导

复合函数的偏导数

定理1

定理2

定理3

总结

隐函数的偏导数

偏导数的应用

多元函数的极值和最值

定理1

定理2

最值求解思路

条件极值

偏导数的几何应用

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面方程

例题

空间曲面的切平面与法线

空间曲面的切平面与法线方程

例题

方向导数

定理5

梯度

重积分

二重积分

二重积分的概念与性质

二重积分的定义

子主题

二重积分的基本性质

三重积分

重积分的应用

曲线积分与曲面积分

常微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程

无穷级数

截距式方程

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