微积分II期末复习
2022-01-23 16:30:26 0 举报AI智能生成
微积分II期末复习~知识点回顾和总结，可演示
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大纲/内容
第八章 <b>向量</b>代数与<b>空间</b>解析几何
8.1 向量及其线性运算
8.2 数量积 向量积 混合积
8.3 平面及其方程
8.4 空间直线及其方程
8.5 曲面及其方程
8.6 空间曲线及其方程
第九章 多元函数<b>微分</b>法及<b>应用</b>
9.1 多元函数的基本概念
9.2 偏导数
9.3 全微分
9.4 多元复合函数的求导法则
9.5 隐函数的求导公式
9.6 多元函数微分学的几何应用
9.7 方向导数与梯度
9.8 多元函数的极值及其求法
第十章 重积分
10.1 二重积分的概念与性质
10.2 二重积分的计算法
10.3 三重积分
10.4 重积分的应用
10.5 含参变量的积分
<b><font color="#0076b3">书从厚读到薄，从薄到厚</font></b>
<ul><li><font color="#0076b3">第八章的关键字：向量 空间<br></font></li></ul><font color="#0076b3">（坐标法）<br style=""></font><ul><li><font color="#0076b3">可以用代数来研究几何问题<br>（很大程度上也决定了先讲性质，<br>再讲如何坐标表示和计算）<br></font></li><li><font color="#0076b3">先引入向量 再通过坐标法联系，<br>再介绍空间几何的相关知识。</font><br></li></ul>
<font color="#0076b3">后四节：空间解析几何，线&面<br></font><ul><li><font color="#0076b3">一般到特殊<br>平面直线到曲面线</font></li><li><font color="#0076b3">两个面交出线，从面到线<br></font></li><li><font color="#0076b3">如何表示？<br></font></li><li><font color="#0076b3">位置关系（线线、线面、面面）<br>夹角 + 距离 + 投影</font></li></ul>
8.1 向量及其线性运算
向量的概念
有大小有方向<br>（向量相等；零向量平行；负向量；共线；共面）
向量的线性运算
空间直角坐标系
右手法则，通过向量的运算建立<br>向量的坐标表示<br><font color="#0076b3">向量的坐标表示简化了我们之后的运算</font>
利用坐标作向量的线性运算
向量的模、方向角、投影
方向角和方向余弦<br>在轴上的投影<br><font color="#0076b3">之后也反复出现。</font>
8.2 数量积 向量积 混合积
<b>数量</b>积
力做的功<br>可用来求投影，<b>夹角</b>（cosθ）
<b>向量</b>积
力矩<br>求出来是个向量<br>大小，方向（右手法则）<br><b>无交换律</b><br>
应用：<b>证平行</b>，计算<b>三角形面积</b>
混合积
无交换律
绝对值表示以a,b,c向量为棱的平行六面体的<b>体积</b><br>-> <b>共面的证明</b>
坐标计算
性质，坐标法（行列式）
8.3 平面及其方程
曲面方程与空间曲线方程的概念
平面的表示方法
点法式
截距式
<b style=""><font color="#f15a23">一般式</font></b>
<font color="#c41230">不化成这个不给分！</font>
三点式（行列式）
两平面的夹角
法向量计算，<font color="#c41230">锐角/直角</font>
点到平面的距离公式
8.4 空间直线及其方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程与参数方程
两直线的夹角
cos，<font color="#c41230">锐角/直角</font>
直线与平面的夹角
<font color="#c41230">锐角/直角、sin</font>
8.5 曲面及其方程
曲面研究的基本问题
旋转曲面
如何生成，+-号
柱面
准线母线
二次曲面
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
截痕法，伸缩替代
8.6 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
连列消去x/y/z<br>一定要写上那个坐标面的方程<br>因为是曲线，一般式要由两个面相交而成。
10.1 二重积分的概念与性质
<font color="#000000">二重积分的概念</font>
被积函数、面积元素、积分变量、积分区域
<font color="#0076b3">每个对计算都有很大影响</font>
二重积分的性质
面积是在区域上对1的积分
大小一致性的延伸
二重积分的中值定理
二重积分存在定理（书上略）
有界闭区域上连续
除去有限个点获有限条光滑曲线外都连续
10.2 二重积分的计算法
直角坐标系
积分次序选择的问题，X型还是Y型<br>尽量单一的上下限函数
极坐标
极坐标的面积元素（画图）
<font color="#0076b3">遇到x^2,y^2一般都要化成极坐标</font>
二重积分的换元法
面积元素（叉积、绝对值）
雅戈比行列式
<font color="#0076b3">换元后上下限的转换<br>边界点、是否遍历原区域</font>
10.3 三重积分
三重积分的概念
面积元素变为<b>体积元素</b>，空间闭区域
三重积分的计算
直角坐标
投影法，先一后二（f对z积分后可由x, y表示）
截面法，先二后一（x, y的截面积分后可由z表示）
三次积分法
柱坐标
ρdρdθdz
球坐标
r²sinφdrdφdθ
<font color="#0076b3">*用图像法来进行记忆，注意各坐标系转换后的变量取值范围<br>积分形式多由坐标面围成，积分函数形式简洁变量可分离</font>
10.4 重积分的应用
*立体体积
*曲面的面积
*质心
往往用到对称性（关于x=y，<br>或者关于轴，简化）
转动惯量
引力
10.5 含参变量的积分（没讲）
9.1 多元函数的基本概念
平面点集
聚点，领域
多元函数的概念
n>=2
多元函数的极限
是否存在？如何计算。<br>任何方式趋近P0，f都无限接近于A<br>区分二重极限和累次极限
多元函数的<b>连续性</b>
定义
性质
最大值与最小值定理，有界性
介值定理
一致连续性定理
9.2 偏导数
<b>偏导数</b>的定义及其<b>计算法</b>
把另一个自变量固定，一个看做变量
几何意义？<br>在M0处的切线对x轴的斜率
多元函数各偏导存在只保证在点P沿着平行于坐标轴的方向趋近P0时，f(P)->f(P0)<br>但不能保证任意方向都趋近
偏导符号不可以约分
<b>高阶偏导数</b>
可用来检验偏导是否正确，多元函数的偏导与求导顺序无关。
9.3 全微分
全微分的定义
条件：必要条件（偏导存在）；充分条件（偏导连续）<br>可微推出可导，但是可导不可以，偏导连续才可以。
如何用定义<b>判断可微</b>？
是不是ρ的高阶无穷小
全微分在近似计算中的应用
9.4 多元复合函数的求导法则（PPT）
链式法则
定理，哪个要求可导，哪个要求偏导连续
分段用乘，分叉用加，<br>单路全导，叉路偏导。
不要被偏导迷惑，<b>注意利用已有公式</b>。
书P82
全微分函数形式不变
期中考试的例子，等式的左右两边应当是什么？<br><i><font color="#c41230">举个栗子，写板书。</font></i>
9.5 隐函数的求导公式
存在定理
求导方法
复合函数求导
微分形式不变性（方程组：克莱姆法则）
代公式
9.6 多元函数微分学的<b>几何</b>应用
一元向量值<br>函数及其导数
参数方程
几何意义：指向与t增长的方向一致<br>物理意义：速度向量，加速度向量
空间<b>曲线</b>的<br>切线与法平面
曲线为参数方程的情况
曲线为一般式的情况<br>->化为参数方程（x为参数，回到隐函数求导）<br>（保证比例即可）
<b>曲面</b>的<br>切平面与法线
曲面上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上，<br>此平面成为曲面在该点的切平面。
法线的方向余弦
9.7 方向导数与梯度
方向导数
偏导数反映的是沿坐标轴方向的变化率，但这是不够的。<br>沿着某些方向的变化率？->函数沿任一指定方向的变化率
定理：f 在P可微分，则任一方向的方向导数存在
梯度在任一方向的投影长度，<b>数量积（方向余弦）</b>
梯度
公式计算
几何意义：垂直于等值线、等高线<br>f 变化率最大的方向，模：f 的最大变化率之值
9.8 多元函数的极值及其求法
极值、最大值与最小值
必要条件：驻点<br>
充分条件（二元泰勒函数）： <br><i><font color="#c41230">写板书。</font></i>
最值：驻点，边界点，是否符合实际意义<br>（约束条件）（<b>不用判断极值</b>）
条件极值 拉格朗日乘数法（应用题）
<ul><li><font color="#0076b3">前5节为基本概念与求解的介绍<br></font></li><li><font color="#0076b3">后3节为应用的介绍<br></font></li><li><font color="#0076b3">注重与一元的类比，区别异同。</font><br></li></ul>
<font color="#0076b3">微积分，微分讲完就要讲积分。<br>第十章主要是考察重积分的<b>计算与应用</b><br>涉及到了二重和三重积分。<br>不会考察太多概念的问题，主要就是要<b>会算，会用</b>。<br><b>关键词：积分区域、积分函数、如何积分</b><br>先讲方法，再说应用。</font>
*重积分计算技巧<br>（终极目标是“偷懒”，<br>做题总结）
对称性化简（三角函数）
积分区域的对称性+积分函数的奇偶性化简(奇偶次方）<br><br>
大化小、常代变、近似和、取极限
下笔前考虑好可能性，学会偷懒
交换积分次序，但同时要画好图，上下限函数不可以弄错
坐标系转换
10.2 PPT
第十章习题 PPT
<font color="#0076b3">计算方法主要是化为两次单积分<br>最重要的是计算出二重积分<br>坐标系只是简化手段<br>经验的积累在于做题</font>
<font color="#0076b3">三重积分在二重积分上升维<br>方法大多类似</font>
10.4 PPT
<font color="#0076b3">掌握了方法以后应用只是公式的区别<br>分为几何应用、物理应用</font>
<font color="#c41230">惊喜地发现老师的期中考试好多是总习题里面的...</font>
<font color="#0076b3">线性运算无法满足我们的需要，<br>实际生活的需要要求了更多运用</font>
<font color="#0076b3">了解性质之后怎么计算？</font>
<font color="#0076b3">线、平面；如何表示，<br>如何生成，位置关系</font>
<font color="#0076b3">两个平面交出一个直线<br>难点在于如何找方向向量</font>
<font color="#0076b3">概念、性质、计算、应用</font>
典型例题
过直线
平面束方程<br>期中考试试题（平面1+λ*平面2，）<br>检查的小技巧：逻辑思考-除了直角外应当有两个面与一个面成同样夹角<br>老师可能不会考了...
求平面<br>（假设形式的简便性）
截距式，确定了一条线。
法向量+一个点；三个点（三点式）；<b>假设代入（找条件）！【要把所有条件都用到】</b>
相交意味着什么？
<ul><li>求直线方程：需要一个点，一个方向向量（实际上只要知道比例关系）。<br></li><li>已有了一个点和一个方程，还需要一个条件。如何转换相交？<br></li></ul>
投影问题
直线在面上的投影（太阳光）
<font color="#0076b3">期中考试考的不多，期末顶多也就考一道大题。<br>因为这章知识都比较基础，可以放在之后章节中联合考察。</font>
可能的考点
计算
极限
等价无穷小替代
偏导
先代后求；先求后代；用<b>定义（原点）</b>
复合函数求导
隐函数求导
可微
定义，判断
应用
几何
曲线的切向量、法平面；曲面的切平面、法向量
物理
方向导数、梯度
极值
极值、最值和条件极值
一切从定义出发，带着批判的眼光看问题。
<font color="#0076b3">讲完计算就应该讲应用了</font>
书P166
<br>
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