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凸集分离定理

2018-11-27 19:51:48   1  举报

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最优化-凸集分离定理

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大纲/内容

Farkas定理

证明要掌握！

<=证明复杂，需要使用定理2，构建存在x就是定理中的p

Gordan定理

证明要掌握!

<= 法1:证等价命题，左无解，右存在 2集合分离定理

凸函数

掌握证明函数是凸函数

凸函数的定义

凸函数的性质

性质3 凸函数和凸集建立关系。凸函数，对于实数c，f(x)<c的集合是凸集

性质4，凸集空间，凸函数中若为局部极小点的点是全局极小点

凸函数的判别

一阶充要条件 =>证明凸函数的定义入手 <=构建y

二阶充要条件 hessian矩阵半正定 =>在x- +cx处用1阶充要条件并二阶泰勒展开  <= 技巧1如何利用半正定条件，技巧2 x=(x-)+x-(x-)

f可微凸函数，满足条件是全局极小点，通过一阶充要条件证明。这里和性质4，全局极小点对比

凸规划

定理1

闭凸集上，在几个外存在一点y，在集合内可以找到一点x-，使其为距离最小点等价向量乘积≥0

定理2

点和凸集分离定理，条件闭凸集

定理3

推论4

定理5

2个集合的分离定理，凸集无闭性要求，2个集合相交为空，在这个条件下，可以分离，但是不彻底，可能是挨着的情况

定理6

2个非空闭凸集，其中1个S1有界（既是紧集），则可以完全分离，之间相差

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