勾股定理逆定理及证明方法

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理的逆定理

已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。求证∠ACB=90°

证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。

∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)

∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c

而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c

∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB

∵∠A=∠A

∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)

∴∠AHC=∠CHB

∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°

∴∠AHC=∠CHB=90°

∴∠ACB=∠AHC=90°

勾股定理逆定理的证明方法

勾股定理逆定理及证明方法