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方十字考研数三电子教材

2019-12-23 10:13:55   27  举报

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考研数学三电子教材

考研

大学教育

模版推荐

作者其他创作

大纲/内容

总体架构

概念

概念1

定义：

如何理解？：

（链接到一个知乎问题上吧，也可以选择别的平台，最好自己注册 一个帐号进行询问）→

如何记忆？：

同上。如果无需记忆，则填写“无需记忆”

一道题：

应用该知识内容的最经典的一道题，也可以放在知乎上问。核心是有助于理解知识点，以及了解知识点如何应用于考题，不宜过难。 如果这个定义不考，可以在该处写“未曾考过”

性质：

性质1

 （性质1的具体内容）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

。。。

概念2

定义：

如何理解？：

（链接到一个知乎问题上吧，也可以选择别的平台，最好自己注册 一个帐号进行询问）→

如何记忆？：

同上。如果无需记忆，则填写“无需记忆”

一道题：

性质：

性质1

 （性质1的具体内容）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

。。。

定义：

如何理解？：

（链接到一个知乎问题上吧，也可以选择别的平台，最好自己注册 一个帐号进行询问）→

如何记忆？：

同上。如果无需记忆，则填写“无需记忆”

一道题：

性质：

性质1

 （性质1的具体内容）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

。。。

应试结论 （与“定义”“性质”互补）

结论1

 （结论1的具体内容）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

结论2

 （结论2的具体内容）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

。。。

孤立流程/思路

思路1

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

思路2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

。。。

题型/详细答案

题型分类关系

。。。

分类到最细 的具体题型

如何识别？

通用流程

一道题

演示下什么叫分类到最细致

。。。

渐近线

求渐近线的方程

求渐近线的条数

渐近线存在性判断

错题本

题目1

详细答案

知识链接

知识链接1

知识链接2

。。。

考点迁移

题目1.1

题目1.2

。。。

题目2

。。。

常用制作模块

概念模块

性质无名字

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

性质有名字

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

空白模块

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

题型模块

如何识别

通用流程

一道题

高数

函数与初等数学

概念

函数

定义：

性质：

单调性

理解？

记忆？

一道题？

有界性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

奇偶性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

周期性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

初等函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

反函数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

应试结论

上确界与下确界

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常见有界函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

考研所需初等函数与图像

指数函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

对数函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

tan（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

cot（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

sec（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

csc（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

arcsin（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

arccos（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

arctan（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

arccot（x）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

高数常用三角函数公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常用不等式

两个常出现的因式分解

如何理解

矩阵里也有使用

如何应用

如何记忆

（推广）多项式乘法

max，min等价于

孤立流程/思路

闭区间连续函数性质的使用思路

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何判断/证明函数有/无界

方法1：看区间的端点函数的极限是否存在              存在：有界              无穷大：无界

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

碰到幂指函数就要化成e的ln次幂形式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何求解反函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

错题本

极限与连续

概念

数列极限

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

有界性

一个数列有极限，必然有界

如何理解

在级数里有应用，可以将一个任意收敛的级数（的绝对值）扩大为一个常数M

如何记忆

一道题

an唯一

数列极限是一个数

局部保号性

如何理解

极限大于谁，函数就大于谁

如何应用

极限若存在，所有子列收敛于a

如何理解：所有子列收敛于a，则原数列收敛于a，所有子列意味着子列当中的所有元素的集合构成原数列

归结原则

函数极限

定义

（有限值）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

（无限值）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

唯一性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

局部有界性

如何理解？：

“局部”的意思是，并非无条件的有界，而是在收敛过程中有界，红线部分即为：收敛过程中

如何记忆？：

一道题：

局部保号性（脱帽法）

如何理解？：

（贴吧）脱帽法？

知乎：

超学：

如何记忆？：

一道题：

局部保号性（戴帽法）

如何理解？：

（贴吧）脱帽法？

知乎：

超学：

如何记忆？：

一道题：

左极限与右极限

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小量

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷大量

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

高阶，低阶，等价无穷小

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

等价无穷小性质

性质1

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质3

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质4

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质5

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

间断点

定义

如何理解？：

如何记忆？：

极限等函是连续，极限非函是间断。 左右存在第一类，等为可去不等跳。 有一不存第二类，只考无穷和震荡。

一道题：

分类

第一类间断点

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

分类

可去间断点

如何理解？：

存在极限值，即为可去间断点

如何记忆？：

一道题：

跳跃间断点

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

第二类间断点

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

分类

无穷间断点

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

震荡间断点

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

连续与左右连续

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

应试结论

某点极限的存在与该点定义是否存在无关

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

极限存在的充要条件

如何理解？：

左极限等于右极限，则极限存在

如何记忆？：

一道题：

极限的四则运算

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

极限的存在性定理

夹逼准则（肉夹馍定理）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

单调有界准则

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

两个重要极限

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

核心：满足“1+0的无穷次幂，且0与无穷次幂互为倒数”

如何记忆？：

一道题：

夹逼准则常用不等式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小量与无穷大量相关结论

无穷小量的运算性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小量的比较

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小量阶的运算性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小量与无穷大量之间的关系

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷大量与无界量的关系

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常用无穷大的快慢程度

如何理解？：

如何记忆？：

如何记忆常用无穷大的快慢程度？

指幂线对

一道题：

常用等价无穷小

lnx~x-1，x-1→0

如何理解？：

常用等价无穷小的适用范围（为什么有的时候不能使用等价无穷小）

如何记忆？：

一道题：

如何记忆

狗-sin狗=1/6狗3

狗加sin狗等于二狗

函数连续的充要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

连续性的四则运算法则

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

(1+0)^∞

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

泰勒定理（麦克劳林展开式）

不管是什么式子，不管这个式子是怎么来的（直接展开的，展开之后和其他式子相乘的），当中o（x^n）当中的n都与式子中次幂最高的项的次幂值相同

如何理解？：

上下同阶原则：展开到与分母一个阶即可

如何记忆？：

1++，e++，sincoln为减加。 eco有11起始，sinln开头就是x e砰sin砰cos砰，1+xa砰砰砰。 eln34567，sin奇cos偶1减乖（分母全是1） 1+xa7最傻逼，7654321，砰234567

一道题：

萝莉塔法则

如何理解？：

只能直接用于0/0型和无穷/无穷型

如何记忆？：

一道题：

函数在闭区间连续（最值，介值定理啥的）

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

（闭区间连续函数的）性质

最值定理

（注意点开理解看看，翻译成数学式子）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

有界定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

介值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

零点定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

推论

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

孤立流程/思路

泰勒公式展开原则

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

相除关系

加减关系

极限不存在的三种情况

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

判断分段点的连续性想到函数连续的充要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

介值定理的命题角度与使用流程

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

零点定理的命题角度与使用流程

构造辅助函数的核心：使等式最右侧结果恒等于0，以便于对辅助函数使用零点定理。

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

看到给出通项的数列极限，立即想到单调有界定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

夹逼定理的通用思路

老大说了算

如何理解

如何记忆

一道题

人多力量大

如何理解

如何记忆

一道题

其他方法

看到1^∞，要用到这个

往往此处的“0”要“下放”到分母位上

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

在x→0或x→无穷的极限中看到这些，要想到验证左右极限是否相等

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

看到极限之比为常数或者非0常数，要想到：

如何理解？：

1.分子分母都要是0 2.代入1求出来的值，萝莉塔求极限，等于题设，得出另一个值

如何记忆？：

一道题：

看到这种情况，该用泰勒定理了

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

根式有理化

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

抓大头

等价无穷小，次数最小者为“老大”

如何理解？：

等价无穷小，次数越小，趋近于0越慢，越大

如何记忆？：

一道题：

等价无穷大，次数最大者为“老大”

如何理解？：

等价无穷大，次数越大，越大

如何记忆？：

一道题：

分子次数低于分母次数，要用倒代换

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

等价无穷大（心中有数即可）

如何理解

x趋近于无穷大，sinx比x还要小

如何记忆

一道题

求间断点的步骤

无定义点必然间断，分段函数的分段点未必间断

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

未定式的定值法

0/0

根式有理化

通用流程

一道题

等价无穷小

通用流程

一道题

萝莉塔法则

通用流程

一道题

变量替换

通用流程

一道题

∞/∞

萝莉塔法则

通用流程

一道题

变量替换法化为0/0型

通用流程

一道题

∞-∞

通分

通用流程

一道题

根式有理化

通用流程

一道题

变量替换

通用流程

一道题

0.∞

通用流程

对数和反三角函数一般不下放

一道题

0^0,∞^0

通用流程

一道题

1^∞

通用流程

一道题

类未定式的计算

被减函数与减函数相同，且自变量差值为1

通用流程

一道题

其它

通用流程

一道题

数列的极限

子序列的极限与函数的极限等值

通用流程

先把n换成x的函数，然后把数列当作正常的极限式来求

一道题

求给出通项的数列的极限（单调有界必有极限）

通用流程

一道题

知识链接：数学归纳法

通项已知且易于连续化，用归结原则

知识链接

归结原则

如何理解

如何记忆

一道题

通用流程

一道题

通项已知但不易于连续化，用夹逼准则

通用流程

一道题

通项由递推式给出，用单调有界准则

通用流程

一道题

确定极限式中的常数

通用流程

1.题设的极限是存在的（0/0或无穷比无穷） 2.根据题设条件

一道题

判定函数连续或间断点

通用流程

1.找无定义点（1/0之类的） 2.找无穷点（注意分子为0的情况可能会有不同！） 3.找分段函数的分界点 4.就是看这个点左右极限是什么样子的 5.分界点有可能是连续点，需要左右极限等于该点的值

一道题

注意0点与Kπ点的不同！！！！！！！！！！！！！！！！！！

讨论f（x）在区间I上的有界性

如何识别？

通用流程

                                                                                                                                       （一定要是有限个函数的加减乘）

一道题

错题本

导数与微分

概念

导数

（两个，等价）定义

增量式与差值式

如何理解？：

导数是特殊的0/0型极限

如何记忆？：

一道题：

左右导数

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题？：

微分

定义

真实增量

线性增量

f（x）在x0处可微

性质

高阶导数

应试结论

导数存在的充分必要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

可导与连续的关系

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

函数可导的条件

如何理解？：

连续，左右导数存在且相等。

如何记忆？：

一道题：

基本导数表

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

导数的四则运算

如何理解？：

如何记忆？：

除法：分母来串门，分子“先导为敬”

一道题：

复合函数求导

如何理解？：

解包装法

如何记忆？：

一道题：

高阶导数常用公式

高阶导数和，积公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

微分的形式不变性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常用小公式

绝对值存在时唯一可用的公式

孤立流程/思路

反函数求导

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

隐函数求导

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

幂指函数求导

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

分段函数求导

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

导数不存在的三种情况

如何理解？：

第三种情况例如圆形的左右两点

如何记忆？：

一道题：

高阶函数求导

归纳法

分解法

莱布尼茨公式法

一道题

幂级数展开法

题型/详细答案

求复合函数的导数或微分

通用流程

一道题

求隐函数的导数或微分

通用流程

重点第一种

一道题

求幂指函数的导数或微分

通用流程

一道题

求连乘，乘方，开方，商形式的导数或微分

通用流程

一道题

求分段函数的导数或微分

通用流程

需特别注意分界点处导数一定要用导数的定义求。

一道题

求高阶导数

直接法

通用流程

一道题

间接法

分式有理式的高阶导数

通用流程

一道题

通用流程

一道题

利用函数的泰勒级数展开式，求函数在一点处的高阶导数

通用流程

一道题

利用递推公式求n阶导数

通用流程

一道题

利用莱布尼茨公式求高阶导数

通用流程

一道题

错题本

一元微分的应用

概念

单调性

定义（导数法定义）：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

极值

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

驻点

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

最值

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

凹凸性

定义：

如何理解？：

图形化理解

凹函数

凸函数

文字理解

如何记忆？：

一道题：

性质：

拐点

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

渐近线

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷小×有界量是无穷小，sin（1/x）有界量。

知识链接：无穷小（重点看性质）

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

有限和差积

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

有界x无穷小

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常数x无穷小

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

极限等于常数的充要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

分类：

水平渐近线

定义：

如何理解？：

自变量趋于无穷大，函数区域一个常数C的时候，y=C即为水平渐近线。求水平渐近线 就相当于求函数在自变量趋于无穷大时的极限值。

如何记忆？：

一道题：

性质：

铅直渐近线

定义：

如何理解？：

求铅直渐近线就是求函数的无穷间断点。

如何记忆？：

一道题：

性质：

斜渐近线

定义：

如何理解？：

求斜渐近线：先求x趋近于无穷大时f（x）/x的值，为a值。再求x趋近于无穷大时f（x）-ax的值，为b值。 则斜渐近线：y=ax+b

如何记忆？：

一道题：

性质：

应试结论

驻点与拐点，极值点的关系（不单独考，但最好了解一下，有助于理清概念）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

极值的必要条件

如何理解？：

极值点一定在驻点或不可导点之间寻找，但具体是哪一个，还需要使用两个极值点的充分条件进行判断

如何记忆？：

一道题：

极值点的第一充分条件（咋的都行）

如何理解？：

连续，驻点，左右导数反号则为极值点。

如何记忆？：

一道题：

极值点的第二充分条件（驻点加它就是极值点）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

最值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何判断凸凹性（小白兔（凸）大棉袄（凹）)

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

拐点存在的必要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

拐点的第一充分条件（咋的都行）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

拐点的第二充分条件(二阶导为0时加它就是拐点）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

在同一侧水平渐近线和斜渐近线不可能同时存在

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

孤立流程/思路

单调性相关习题的思路

运用拉格朗日中值定理证明单调性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何证明不等式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何讨论方程根的个数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

求极值的一般思路

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

知识链接：驻点

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

求最值的一般思路

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

求凹凸性和拐点的一般思路

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如果在x=-2这个点在定义域内二阶导不存在，且左右的二阶导一正一负，那么根据 拐点的第一充分条件，就可以判定此为拐点。

题型/详细答案

错题本

微分中值定理

概念

闭区间连续函数的性质

最值定理

（注意点开理解看看，翻译成数学式子）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

有界定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

介值定理

如何理解？：

使用思路： S1。证明某值a介于m与M之间 S2.即可根据介值定理得出结论，区间内存在c，使得f（c）=a

如何记忆？：

一道题：

零点定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

推论

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

费马定理

如何理解？：

极值点可导则必为驻点

如何记忆？：

一道题：

罗尔定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

知识链接：介值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

拉格朗日中值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

柯西中值定理

如何理解？：

核心要义是理解参数方程的斜率等于什么。

如何记忆？：

一道题：

泰勒定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

麦克劳林公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

应试结论

罗尔定理常用辅助函数

如何理解？：

罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？

因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？

如何记忆？：

一道题：

拉格朗日中值定理常用形式

如何理解？：

ξ可以表示为a加上一小段长度，而这一小段长度就用ab线段的长度的一部分来表示，这个部分就用θ（b-a）来表示

如何记忆？：

一道题：

拉格朗日中值定理的推论

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

孤立流程/思路

什么时候使用罗尔定理呀？

证明导函数或高阶导函数存在零点

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

求导函数或高阶导函数零点的个数

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

证明开区间内存在一点，使一阶导或二阶导为0

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

闭区间用介值定理，开区间用零点定理

罗尔定理的关键思路

构造辅助函数

为什么要构造辅助函数？

罗尔定理常用辅助函数

如何理解？：

罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？

如何记忆？：

一道题：

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

寻找区间

题目中有定积分，则使用积分中值定理

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

知识链接：积分中值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

使用零点定理

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

知识链接：零点定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

见到f（b）-f（a），想到用一次拉格朗日

见到f（a），f（c），f（b），想到用两次拉格朗日

如何求解证明含有中值的等式？

什么是含有中值的等式？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何构造辅助函数？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

使用柯西中值定理的时候，必须验证g（x）的导数不等于0（不容易验证的）

遇到函数值相加，想到介值定理

如题

题型/详细答案

如何识别

通用流程

一道题

如何识别

通用流程

还原法（利用例题感受还原法）

一道题

如何识别

通用流程

一道题

如何识别

通用流程

一道题

题型4.双中值

如何识别

通用流程

一道题

如何识别

通用流程

一道题

错题本

一元函数积分

概念

原函数

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

不定积分

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

性质1

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质3

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

定积分与积分变量的符号无关

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

积分限交换反号

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

fx=1时，定积分等于区间长度

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分线性运算性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

积分区间的可加性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分比较定理与推论

注：b>a

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

估值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

积分中值定理

如何理解？：

在考试中见到积分区间长度与前面系数为倒数，立刻使用积分中值定理

如何记忆？：

一道题：

推广式

如何理解

不取端点的值

如何记忆

一道题

（化简类性质）对称区间的定积分

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

（化简类性质）三角函数定积分性质

如何理解

如何记忆

一道题

点火公式

如何理解

如何记忆

一道题

如何理解

如何记忆

在关于三角函数的式子中积分上限π可以挪出来一个1/2，注意cosx的要求绝对值

一道题

如何理解？：

0到π，在x乘以关于sinx的函数中，x可以挪出来变成π/2，而这个1/2也可以挪到积分上限里

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

2π，可以直接把4挪出来。

如何记忆？：

一道题：

（化简类性质）周期函数的定积分

如何理解？：

只要保证上下限的差是周期即可

如何记忆？：

一道题：

（化简类性质）华里士公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无界函数的反常积分

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

这个是定义法。如果事先采用判别法判断函数收敛，则直接代入计算就可以

性质

无穷区间的反常积分

定义

如何理解？：

对于广义积分收敛性在线，奇偶性在后

如何记忆？：

一道题：

性质

γ函数

定义

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

应试结论

不定积分基本公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常用三角函数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

第一类换元积分法（凑微分法）

如何理解？：

请通过一道题来理解凑微分的感觉

如何记忆？：

一道题：

常见凑微分的形式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

第二类换元积分法（换元法）

如何理解？：

就是把自变量x换成关于t的函数y（t）

如何记忆？：

一道题：

分部积分法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

可积的充分条件

变上限函数求导一般公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分的牛莱公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分的换元积分法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

定积分的分部积分法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

无穷区间的反常积分常用公式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

判断无穷区间广义积分收敛发散

如何理解

c0是常数。 使用流程： S1。找到一个x^a，相乘为常数。 S2.看a的大小

如何记忆

一道题

判断无界区间广义积分收敛发散

如何理解

如何记忆

一道题

如何理解

如何记忆

一道题

孤立流程/思路

换元法思路

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

分部积分法一般思路

如何理解？：

如何记忆？：

分两部分udv，易积dv易导u。不可兼得优易积。

一道题：

分部积分法的推广公式（表格法）

最好直接查看“如何理解”

如何理解？：

如何记忆？：

u上v下，先导u至0，再积v填空。斜线下划线，先加交替来。

一道题：

利用定积分的定义求n项和式极限

如何理解？：

如何记忆？：

三个要素： 1.外面有一个1/n 2.函数自变量的分母是1/n 3.函数自变量的分子是1，2，3，4.。。。n

一道题：

变上限求导的三种情况

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

计算定积分时，看到绝对值，就要想着使用定积分的积分区间可加性

如题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

知识链接：积分区间的可加性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

不定积分

凑微分法

简单积分式

如何识别？

只含u的函数乘以u的导数（乘以u的导数的线性关系式）

通用流程

1.谁是u？2.谁是f（u）？3.把u的导数化作u放在d的后面。4.把u看作f的自变量解题。

au+b的情况：

积分式前乘以1/a，不用在乎b

一道题

复杂积分式

如何识别？

通用流程

分两部分，一杂一简，简为杂导，化简d杂（杂：式子看着复杂，不舒服，多为奇奇怪怪的项构成）

S1.将简单的部分求微分 S2.对比微分结果与复杂部分的关系。 S3.根据这一关系确定u，进入凑微分的过程。

一道题

第二换元法

三角代换

如何识别？

通用流程

如何理解？

如何记忆？

一减死（一捡起来就死了） 一加弹（看到一个一加手机，不喜欢，给弹开） 减一塞（捡起100块钱塞进裤兜里）

一道题

倒代换

如何识别？

分母的最高次幂-分子的最高次幂大于1（分母的最高次幂挺大的）

通用流程

设x=1/t

一道题

指数代换

如何识别？

主要部分由指数式构成

通用流程

一道题

分部积分法

多项式X指数，三角

如何识别？

通用流程

一道题

指数X三角

如何识别？

通用流程

一道题

多项式X对数，反三角

对，反次数等于1

如何识别？

通用流程

一道题

（1）

对，反次数高于1

如何识别？

通用流程

一道题

（2）

递推公式

如何识别？

In=。。。以及式子中包含n（直接是n，或则次幂较大）次幂的

通用流程

1.递推公式绝大多数采用分部公式，也存在不使用分部公式可解的情况 2.造分部 3.关注列式中包含In，I（n-1）等元素。 4.结果中可以包含In，I（n-1），I（n-2）。。。

一道题

部分分式的展开

假分式：分子>=分母

思路：用多项式除法将假分式拆为多项式+真分式

多项式除法

点开啊！

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

真分式：分子<分母

可直接积分

直接积分

不可直接积分

一定可以拆解成如下四种情况的和

请进一步点击，了解此类情况如何积分。

m=0

如何积分？

m≠0

如何积分？

（考研不考，仅需了解）

拆解方法流程

待定系数法

两个规矩

分母乘法中的每一项内部为多少次幂，设定的分子要比分母低一个次幂

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

分母中的项整体次幂大于1，则在待定系数的设置中有如下规律：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

通用流程

参考两个规矩，最后所有设定的式子一相加（通分），所得到的式子的分子与原式的分子相比较，即可得到各个系数的值

定积分

错题本

多元函数微分

概念

多元函数（考研只考二元）

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

二元函数的极限

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

二元函数的连续性

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

多元函数偏导数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

全微分

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二元函数的无条件极值

定义：

如何理解？：

周围都比它大就是极小，周围都比它小就是极大

如何记忆？：

一道题：

性质：

二元函数的条件极值

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

闭区域上连续函数的最值

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

应试结论

可微的必要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

可微的充分条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

几大特性之间的关系

全微分形式的不变性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

多元复合函数求导法则

链式法则

链式法则1

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

链式法则2

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

链式法则3

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

同路相乘，异路相加（图形法的用法与结论）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

不管f的下标是啥，不管求了几次导，f的n阶导的结构和内容与f的结构和内容永远一致

如何理解？：

如何记忆？：

龙生龙

一道题：

point

这个图解法针对的是单个g，g1‘等，不是针对整体式子

g对中间变量求导，为结果的一项；中间变量对最后的x或者y求导，为结果的一项，这样得出的两项相乘，为同路相乘

一元隐函数求偏导和全微分

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二元隐函数求偏导和全微分

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二元函数极值的必要条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二元函数极值的充分条件（求无条件极值）

=0的情况考试中不会出现

如何理解？：

如何记忆？：

口诀：大小，小大

一道题：

孤立流程/思路

如何证明二元函数极限不存在？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何求二重极限

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

由方程组所确定的隐函数仅需方程组两边同时对x求偏导

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

拉格朗日乘数法（求条件极值）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

求实际问题的最值

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

错题本

多元函数积分

概念

二重积分

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解

常考

如何记忆

一道题

性质：

线性性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

积分区域的可加性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

对称性质

如何理解

区域y轴对称，看x的奇偶性 区域x轴对称，看y的奇偶性 区域y=x对称，换变量相等

如何记忆

一道题

注意是d兰木达，不是da

函数值（高）为1，体积等于面积

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

比较性质

如何理解？：

如何记忆？：

函数大，积分大。函数小，积分小

一道题：

绝对值的比较性质

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

估值不等式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二重积分的中值定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

应试结论

极坐标与直角坐标之间的关系

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

孤立流程/思路

利用直角坐标计算二重积分

X型

如何理解？：

如何记忆？：

口诀法：

解释： “后积”是“dx”，“后积先定限”就是把x的上下限先定好。 “限内画条线”：在积分区域内画一条从下到上的线段

扫描法：

前面是啥（x型是x），就沿着哪条坐标轴（x轴）扫描（用一条垂直于x轴的直线扫描）。左边的上下限是扫描范围，右边的上下限是扫描线碰到的直线的函数的表达式（y（x）），下面的在下，上面的在上

一道题：

Y型

如何理解？：

如何记忆？：

口诀法：

解释： “后积”是“dx”，“后积先定限”就是把y的上下限先定好。 “限内画条线”：在积分区域内画一条从左到右的线段

扫描法：

前面是啥（y型是y），就沿着哪条坐标轴（y轴）扫描（用一条垂直于y轴的直线扫描）。左边的上下限是扫描范围，右边的上下限是扫描线碰到的直线的函数的表达式，左面的在下，右面的在上

一道题：

利用极坐标计算二重积分

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

1.包住极点，范围就是0到2pi 2.积分下限退化为一个点，r=0 3.积分上限是一个圆，r=1

极坐标怎么找r呢

返回曲线的直角坐标函数式，然后把极坐标代入，解出r，极坐标函数式中的r就是原点到这个曲线的r

如何理解

如何记忆

一道题

一般什么时候用极坐标计算呢？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二重积分的特殊计算方法

利用积分区域D的对称性

如何理解？：

如何记忆？：

偶倍奇零

一道题：

利用积分区域D的轮换对称性

如何理解？：

实际运算中常用此式子（相加除以2）

如何记忆？：

一道题：

二重积分计算的一般流程

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

改变积分次序

如何识别

单纯的改变积分次序的题目

x型Y型次序不对无法计算

见到这三种形式，就积不出来

一道题

积分法不对（直角坐标，极坐标）

通用流程

一道题

计算

错题本

无穷级数

概念

级数类型

数项级数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

非零常数倍级数与原级数敛散性相同

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

级数之和的敛散性

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

脸脸得脸

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

散散狗几把不是

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

脸散得散

改有限，或改和，必然不改敛散

如何理解？：

题目中不管n从什么位置开始，在解题的过程中尽管去找一个最方便的起点研究就好。最后加一句 “由级数的性质可知”，把题设的起点加上去即可

敛散性不变，但原级数收敛到Sn，Sn可能会变

如何记忆？：

一道题：

加减括号（添加括号增加收敛性）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

正项级数

定义：

如何理解？：

碰见前面有限项为负，之后几项全为正，照样可以按照正项级数进行处理

如何记忆？：

一道题：

性质：

如何理解？：

反过来用，通过Sn-Sn-1=un大于等于0，来判断是否是正向级数

如何记忆？：

一道题：

交错级数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

幂级数

定义：

注：考研仅研究X0=0的情况！

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

幂级数的分析性质

如何理解

如何记忆

一道题

幂级数的运算性质

和差运算

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

乘法（仅需了解）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

除法（仅需了解）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

通项

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

Sn（级数的部分和）

定义：

如何理解？：

数项级数的前n项之和

如何记忆？：

一道题：

性质：

收敛与发散

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

用敛散性的定义证明敛散性。

性质：

绝对收敛

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

条件收敛

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

收敛半径

定义：

正数R为该幂级数的收敛半径（之前请研究阿贝尔定理）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

收敛域

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

收敛半径长度的特殊情况

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

非零点收敛区间

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

条件收敛点

幂级数的条件收敛点只能出现在区间端点

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

收敛区间

定义：

先查看收敛半径的定义和阿贝尔定理。

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

收敛域

定义：

收敛域用区间的形式表达

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

幂级数的和函数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：（可以把Sn换成an，又称幂函数的分析性质）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

应试结论

两个重要级数

p级数

如何理解

如何记忆

一道题

几何级数

如何理解

如何记忆

一道题

数项级数收敛的必要条件

如何理解？：

通项不为0，即可认为它是发散的（必要是反面的一定）

若收敛，一般项必向0跑，但一般项向0跑，级数不一定收敛（调和级数）

如何记忆？：

一道题：

数项级数发散的充分条件

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

正项级数收敛的充要条件（收敛原则，常用来考抽象的）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

莱布尼茨定理（交错级数收敛的充分条件）

如何理解？：

1.交错级数的数列Un单调不增且通项的极限为0，则一定可以得到交错级数收敛。 2.莱布尼茨定理为充分条件而非必要条件。 3.只评价去掉符号之后的通项Un

如何记忆？：

一道题：

绝对收敛与条件收敛的关系

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常用初等不等式

均值不等式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

幂级数的阿贝尔定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

常见函数的幂级数展开式

幂级数的展开式与泰勒公式的差别在于没有余项，后面直接就是省略号

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

等比级数与等差级数

等比级数（几何级数，注意收敛性的情况）

常用

口诀：1减公比分之首项

等差级数

孤立流程/思路

常数项级数需要掌握的通俗理解

添加括号提高收敛性

如何理解

如何记忆

一道题

一般项向0跑得越快，收敛的可能性越大

如何理解

如何记忆

一道题

取绝对值提高发散性

如何理解

如何记忆

一道题

证相邻的两项相减，用定义法

如何理解

如何记忆

一道题

任意项级数，请直接用（收敛的）定义法

如何理解

如何记忆

一道题

判断正项级数的一般步骤

如何理解？：

如何记忆？：

先自力更生，再求助他人

一道题：

小题可直接用的快速判别法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

正项级数敛散性的判别法（具体）

比较判别法

一般形式

如何理解？：

不要被比较判别法左右放缩的“无穷种可能性”吓到，在考试中能出现的类型就那么几类， 经过对一定量习题的模仿，学习，就可以基本上见全所有的思维定势。可以看看灯哥的书， 了解思维定势的思维。

（1）Vn大，向0跑得速度慢，更有可能发散，但Vn竟然是收敛的，所以Un肯定是收敛的。 （2）Un小，向0跑得速度快，更有可能收敛，但Un竟然是发散的，所以Vn肯定是发散的。

如何记忆？：

证散找小，证敛找大

大收小收，小散大散

一道题：

极限形式

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

比值判别法 （使用阶乘，连乘，a^n，因为这些情况比的结果好求）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

根值法 （整体带次幂的用根值法）

如何理解

如何记忆

一道题

积分法（多是针对ln）

如何理解

如何记忆

一道题

正项级数敛散性的判别法（收敛原则，抽象）

证明收敛=证明｛Sn｝有界=证明lSnl≤一个常数

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何寻找正项级数比较判别法中常被用于比较的级数Vn

通常被用作比较的另一个级数（p级数之类的）

由于级数的第一条性质，在使用这些级数的时候可以无视级数前面的系数。

莱布尼茨定理是交错级数敛散性唯一的判别方法

且S≤a1

如何理解？：

1.交错级数的数列Un单调不增且通项的极限为0，则一定可以得到交错级数收敛。 2.莱布尼茨定理为充分条件而非必要条件。 3.若非单调递减，级数敛散性不确定，若不满足极限为0，则必然发散

如何记忆？：

一道题：

在莱布尼茨定理判断敛散性的时候使用导数的方法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何求收敛半径

不缺项

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

缺项

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

什么时候要将函数展开成幂级数？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何将函数展开成幂级数

直接展开法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

间接展开法（考研常用）

如何理解？：

和的导数等于导数的和，和的积分等于积分的和

如何记忆？：

一道题：

如何求幂级数的和函数（先求幂级数的收敛域，也是和函数的定义域）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

q小于1，等比数列的求和公式是1-q分之首项。

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何利用幂级数的和函数求常数项级数的和

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

错题本

微分方程

概念

微分方程

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

阶

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

通解与特解

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

差分

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

几类微分方程

变量可分离的微分方程

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

齐次方程

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

这个解法有所遗漏，完整解法必须参考“一道题”中的解题步骤

如何理解？：

这个解法的来源

如何记忆？：

一道题：

一阶线性微分方程

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程（通解公式法）（一阶线性非齐次微分方程）

如何理解？：

如果记不住非齐次的通解公式，一定要记住齐次的通解公式，再使用“常数变易法”的流程进行计算

如何记忆？：

参考“常数变易法”，分块进行记忆。 分成两块，一块是C（x），一块是齐次的解 推荐手算一遍“常数变易法”

一道题：

解方程流程（通解公式法）（一阶线性齐次微分方程）

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二阶线性微分方程

分类（考研考的）

二阶常系数齐次线性微分方程

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

求通解

r1，r2

如何理解？：

如何记忆？：

C1e，r1x，C2e，r2x C1e，r1x，C2xer1x e啊x，C1co贝加C2sin

一道题：

知识链接：特征方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

类型1

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

求特解

常规算法

k不等于特征方程的根

看例题

如何理解？：

重要的一句话： 按照右面的样子假设

如何记忆？：

一道题：

k与特征方程的一个根相等

看例题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

k与特征方程的两个根相等

看例题

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

公式法

求通解

通解就是对应的齐次的通解+非齐次的一个特解

类型2

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

求特解

常规解法

α+βi是特征值

是特征值的时候，y0右面再原有式子的基础上乘以一个x即可

如何理解？：

重要的三句话： 1.指数函数提出来 2.按照右面的样子假设，sin，cos都要有 3.α+βi是特征值吗？

α是指数函数的自变量的系数，β是三角函数自变量的系数

如何记忆？：

一道题：

α+βi不是特征值

y0代入，求解a，b

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

公式法

求通解

通解就是对应的齐次的通解+非齐次的一个特解

性质（结构）（圈1是非齐次，圈2是齐次）

齐次的叠加原理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

齐次的线性无关原理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

用非齐次求齐次

如何理解？：

如何记忆？：

非齐次特解的差为齐次的解

一道题：

非齐次通解的结构定理

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

非齐次的特解定理

如何理解？：

可以把微分方程拆开来求特解

如何记忆？：

一道题：

差分方程相关概念

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

解方程流程

差分齐次方程的通解

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

差分非齐次方程的特解

指数函数提出来，按照右面的样子假设

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

应试结论

孤立流程/思路

一阶线性微分方程另两种解方程流程

常数变易法

如何理解？：

1.是为了根据齐次推导出非齐次 2.核心操作是把齐次中的常数C变成一个函数C（x） 3.只需要解出C（x），取代原来的C即可 4.若未能记住非齐次的公式，可采用此法解题

如何记忆？：

一道题：

积分因子法

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何通过通解反求常系数齐次线性微分方程？

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

二阶常系数非齐次线性微分方程三种奇怪的情况

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

题型/详细答案

微分方程的解法

固定形式套公式

取倒数

换元法

微分方程解的结构

微分方程的实际应用

错题本

经济学应用

概念

经济数学的五大函数

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

子主题

性质：

边际函数

定义：

如何理解？：

边际函数就是导数？

如何记忆？：

一道题：

性质：

弹性函数

定义：

特殊：按公式计算出来的需求函数的弹性必须加负号！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

如何理解？：

弹性就是导数比原函数再乘自变量

如何记忆？：

一道题：

性质：

特殊：按公式计算出来的需求函数的弹性必须加负号！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

复利现值

定义：

如何理解？：

已知利率，你想在某年后拿多少钱，那么你现在就需要准备的钱数。

如何记忆？：

一道题：

性质：

分期复利计算

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

连续复利计算

定义：

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

性质：

应试结论

经济函数的相关公式和函数关系表

如何理解？：

如何记忆？：

一道题：

孤立流程/思路

题型/详细答案

错题本

线性代数

行列式

概念

行列式

定义

如何理解

行列式是一个数，与矩阵要相互区分（矩阵是一个表）

如何记忆

一道题

性质

行列式转置值不变

如何理解

如何应用

如何记忆

某行，列公因子可以提取至行列式外面

如何理解

如何应用

如何记忆

某行元素全为0，则行列式等于0

两行互换，行列式变号

如何理解

如何应用

如何记忆

两行成比例或相同，行列式为0

如何理解

如何应用

如何记忆

行列式某行（列）元素皆为两个数之和，行列式可以分解为两个行列式之和

如何理解

如何应用

如何记忆

行列式某行或列倍数加到另一行或列，行列式不变

如何理解

如何应用

如何记忆

降阶性质

展开公式

详见应试结论-行列式的展开公式

行列式某行（列）的元素与另一行对应元素的代数余子式之积的和为0

如何理解

如何应用

如何记忆

A可逆，A与A^-1互为倒数

行列式等于特征值的乘积

知识链接：特征值的和等于行列式的迹

相似矩阵行列式相等

n阶方阵对应的行列式性质

排列相关的概念

排列

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

逆序

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

逆序数

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

偶排列与奇排列

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

余子式与代数余子式

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

分块行列式相关

如何理解

6.（3）中的m和n是A与B的阶数

如何应用

如何记忆

应试结论

求三阶行列式的值

如何理解

如何记忆

主对角线，往上平移，不够的去对面找。 减去同理的副对角线

如何应用

特殊的行列式

主对角相关行列式

如何理解

如何应用

如何记忆

副对角相关行列式

如何理解

n是行列式的阶

如何应用

如何记忆

范德蒙行列式

如何理解

范德蒙行列式的第二排是核心排。第一排是第二排所有数的0次幂，第二排是1次幂，第二排是2次幂，以此类推。 所以计算流程也是围绕着第2排展开的。用第2排中序数最大的那个项分别减去前面的每一个项，可以得到几个减式。然后用序数第二大的项分别减去前面的每一项，可以得到几个减式。以此类推，最后把所有的减式乘到一起即可

如何应用

如何记忆

行列式的展开公式

如何理解

如何应用

如何记忆

克拉默法则

如何理解

用处：1.证明题2.特殊情况

D为0，则齐次有非0解（无穷多解），非齐次无解或无穷多解 D≠0，则齐次只有0解，非齐次唯一解

如何应用

如何记忆

D=0的时候会比较奇怪或者特殊，不管齐次还是非齐次都涉及无穷解的状况，而非齐次也有可能无解。 D不等于0的时候情况就简单很多，非齐次就是普通的方程，有唯一解，而齐次方程只有0解。

克拉默法则的推论

如何理解

如何应用

如何记忆

D不等于0，齐次方程组唯一0解。 齐次方程组有非0解，D必为0

孤立流程/思路

爪型行列式

如何理解

如何应用

如何记忆

三条对角线

低阶

方法1.逐行相加

方法2.都加到第一行

高阶

数学归纳法

如何理解

如何应用

如何记忆

数学归纳法（应用详见“三条对角线-高阶-应用”）

第一数学归纳法

如何理解

只和n-1阶命题有关，用第一数学归纳法

第二数学归纳法

如何理解

既和n-1有关，又和n-2有关，用第二数学归纳法

看到矩阵加法，想到单位矩阵

如何应用

3阶行列式为0，秩小于3，齐次无穷解，非齐次无解或无穷解，可能不可以线性表出，一定线性相关

题型/详细答案

具体形

抽象形

行列式恒等变形

如何识别

通用流程

一道题

矩阵公式，法则恒等变形，单位矩阵恒等变形

如何识别

通用流程

一道题

特征值，相似

如何识别

通用流程

一道题

证明行列式等于0

齐次有非0解

反证法，用A^-1自我矛盾

rA<n，行列式为0。

0是特征值

-lAl=lAl

错题本

矩阵

概念

矩阵

定义

矩阵是一个表格

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

矩阵的三则运算性质（矩阵不满足乘法交换律！！！）

如何理解

矩阵多项式也可以因式分解

A,B是对角阵的前提下符合交换律

如何应用

如何记忆

矩阵转置的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

n阶方阵对应的行列式的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

矩阵伴随的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

同型矩阵与矩阵相等

定义

矩阵A与B行数，列数相同，称A，B为同型矩阵 A与B中每一个元素相等，称为矩阵相等，记作A=B

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

方阵

定义

矩阵A的m=n，称A为n阶方阵

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

n阶方阵对应的行列式的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

对角矩阵，单位矩阵，数量矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

对角矩阵的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

转置矩阵

定义

转置为沿主对角线置换位置

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

伴随矩阵

定义

如何理解

1.一定是方阵才有伴随矩阵 2.伴随矩阵，就是原方阵的每一个元素都用其对应的代数余子式A代替 从而产生的新的方阵。代数余子式A是数。

如何应用

如何记忆

S1.转置 S2.把a变成A

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

逆矩阵

定义

可逆矩阵一定是方阵

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

若矩阵A可逆，则逆矩阵唯一

如何理解

如何应用

如何记忆

AB=AC不一定有B=C。 但若A可逆，则上式一定成立。

如何理解

如何应用

如何记忆

运算性质

如何理解

如何应用

如何记忆

主对角线填入，副对角线互换

可逆矩阵可以看作多个初等矩阵的乘积

矩阵的迹

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

特征值的和为矩阵的迹（对角线元素之和）

如何理解

如何应用

如何记忆

相似，则迹相等

矩阵的初等变换

定义

1.对调行（列） 2.某行（列）乘以k（k≠0） 3.某行（列）倍数加到另一行（列）

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

初等矩阵

定义

单位矩阵经过一次初等变换

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

右乘，列变换

如何理解

如何应用

如何记忆

初等矩阵的逆矩阵

倍加还是倍加，结果被加的那块是相反数

两行互换，还是自己

对角矩阵取倒数

经过初等行/列变换，变换前后的矩阵的行/列向量组可以相互线性表示

矩阵的秩

定义

如何理解

矩阵的秩本质上是方程组约束条件的个数

注意这个“有”，意味着也可以存在r阶级子式为0，但必须存在一个r阶子式不为0

如何应用

如何记忆

性质

转置，乘转置，秩等

=r（kA）

如何理解

子主题

如何应用

如何记忆

同型矩阵，拆开秩大于合并

如何理解

如何应用

如何记忆

乘积小于等于分别中最小的。可逆矩阵，乘积的秩等于单体

r（AB）≤r（A） r（AB）≤r（B） 等号在A可逆的条件下取

如何理解

如何应用

如何记忆

乘积为0，秩的和小于连接数

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

伴随的秩

如何理解

如何应用

如何记忆

分块的秩

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

若相似，A的秩等于B的秩

如何理解

如何应用

如何记忆

行最简矩阵

定义

主元：每行第一个不是0的数字

如何理解

如何应用

从上到下化行阶梯，从下到上化行最简

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

后面的特殊矩阵

零矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

非奇异矩阵

定义

方阵IAI≠0，则称A为非奇异矩阵

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

对称矩阵与反对称矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

正交矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

（3）构成正交矩阵的列向量两两垂直，都为单位向量

如何理解

如何应用

如何记忆

内积（αi，αi）=1

实对称矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

矩阵的运算

加法

如何理解

如何应用

如何记忆

数乘

如何理解

如何应用

如何记忆

乘法

如何理解

左面的矩阵有几条横？右面的矩阵有几条竖？ 二者交叉，有多少个组合？ 二者的交叉点就是乘法结果的各个元素的位置 各个元素的值便是横竖各元素乘积和

如何应用

如何记忆

左看横右看竖，不用在意横竖的长短。

矩阵可逆的4个充要条件

如何理解

A可逆意味着什么，什么意味着A可逆

如何应用

如何记忆

A是n阶，AB=E可以推出BA=E

如何理解

有了这个定理，可以直接通过AB=E来说A可逆，B是A的逆矩阵，而不用验证BA是否等于E

如何应用

如何记忆

重要公式（公式法求A的逆，A的伴随阵等）

如何理解

在使用的时候不一定局限于把A当成A矩阵，可以把A的伴随，A的逆等当成A，代入公式，得到所需的结论

如何应用

如何记忆

初等变换法与逆矩阵相关定理

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

矩阵等价的判别法

定理1

A,B为同型矩阵，A与B等价的充要条件是r（A）=r(B)

如何理解

如何应用

如何记忆

定理2

A,B为同型矩阵，A，B等价的充要条件是存在可逆P,Q，使PAQ=B

如何理解

如何应用

如何记忆

定理3

可以相互线性表示的向量组等价

二阶伴随矩阵的求解

主对角线互换，副对角线变号

如何理解

如何应用

如何记忆

可逆与初等矩阵的关系

如何理解

如何应用

如何记忆

分块矩阵的运算法则

如何理解

如何应用

如何记忆

线性无关与可逆的等价关系

关于秩

三秩相等（矩阵的秩等于向量组的秩）

如何理解

如何应用

如何记忆

齐次方程组与秩的关系

如何理解

如何应用

如何记忆

初等变换，秩不变

如何理解

为了求秩，既可以做行变换，又可以做列变换

若一列中出现了一个0行，那么也可以用来判定秩（少了1）

如何应用

如何记忆

满秩方阵A乘矩阵B=C，C的秩等于B的秩（满秩方阵乘以另一个矩阵，秩不变）

孤立流程/思路

初等变换法求逆矩阵

定义法求逆矩阵

如何理解

要思考谁乘A为E

如何应用

如何记忆

看到加法，想到单位矩阵恒等变形的技巧（看理解和应用！）

既要想到把A^(-1)A变成E，更重要的是想到E可以变成A^(-1)A，其中A不仅可以是 单个矩阵，还可以是根据需要凑成的矩阵多项式

如何理解

所谓单位矩阵恒等变形，主要就是考虑怎么根据需要把E变成两个互为可逆的矩阵的乘积

在没有单位矩阵的时候要根据需要添加单位矩阵

如何应用

没有E的情况下根据需要添加E

如何记忆

初等行变换阶梯化求矩阵的秩

看到AB=0,立即想到B的列向量们是齐次方程AX=0的解

看到AB=0，想到两个套路

如何用行列式的语言描写秩

如何求A^n

r=1

如何理解

如何应用

如何记忆

如何应用

如何理解

特征：1.主对角线和下三角为0，上三角全是数

如何应用

如何记忆

相似

证明行列式为0，想到证明行列式等于相反数，想到添加，利用正交矩阵

题型/详细答案

错题本

错题

向量

概念

n维向量

定义

ai成为向量的第i个分量

如何理解

列向量α1是方程组中x1的系数，α2是x2的系数

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

线性组合

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

线性表示

定义

如何理解

本质上相当于一个非齐次方程组是否有解

不同于线性相关要求k必须非0，线性表示中对k没有任何限制，可以为任意实数

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

经过初等行/列变换，变换前后的矩阵的行/列向量组可以相互线性表示（等价）

向量组的线性表出与向量组的等价

定义

如何理解

与矩阵的等价有区别，矩阵等价是矩阵A经过初等变换能变成B

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

线性相关与线性无关

定义

如何理解

本质上相当于一个齐次方程组是否有非0解

线性无关，行列式不等于0，可逆

线性相关可以理解为一个向量组的性质

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

向量组的秩

定义

极大线性无关组的向量的个数

如何理解

如何应用

如何记忆

等价定义

性质

矩阵的秩等于向量组的秩

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

正交

定义

内积为0

如何理解

如何应用

检查两个向量是否垂直，只需将两个向量对应位置的元素相乘，检查结果是否每个为0

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

向量的长度

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

极大无关组

定义

如何理解

极大无关组不一定是唯一的，但个数一样

如何应用

如何记忆

性质

极大无关组的构成不一定唯一，但内部向量个数一定一样

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

关于线性表示的定理

做题常用的线性表示的定理

等价于r（α1，α2，α3.。。。αs）=r（α1，α2，α3.。。。αs，β）

如何理解

研究β是否可以由α线性表示，等价于研究方程AX=β是否有解

如何应用

如何记忆

知识链接：判断一个方程组是否有解（证明，选择）

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

AB的行（列）向量可以由B的行（列）向量线性表示

如何理解

如何应用

如何记忆

被表示的秩小

如何理解

等于号是在两个向量组等价的前提下出现的。如果两个向量组不等价（β不能由α表示），则变成了严格的小于号

如何应用

如何记忆

推论

线性相关计算题用的定理

如何理解

如何应用

如何记忆

知识链接

选择，证明常用的定理

系数矩阵的秩小于分量个数则相关（满秩无关）

线性相关，推论

n个n维向量相关等价于系数行列式为0（克莱姆法则）

如何理解

如何应用

如何记忆

n+1个n维向量一定线性相关

如何理解

一个方程组，方程少，未知数多，必然有非0解

如何应用

如何记忆

两个向量相关等价于共线，坐标成比例（三个共面）

如何理解

如何应用

如何记忆

子集相关，则整体相关 （注意“理解”中的逆否命题！）

如何理解

逆命题不对

如果一个向量组线性无关，则它的子集合也线性无关（逆否命题）

如何应用

如何记忆

若无关，添加分量依然无关（低维无关，则高维无关） （注意“理解”中的逆否命题！）

如何理解

逆否命题：高维相关，则低维相关

如何应用

如何记忆

线性相关与线性表示结合起来（向量组）的定理（有4个）

相关则存在一个向量可由其余向量表出 一个向量可由其余向量表出则相关

如何理解

线性无关等价于向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示

只能说存在一个向量可以被表出，不一定是哪一个，所以不可以直接由线性相关推出指定向量可以线性表出

如何应用

如何记忆

无关加β变相关，β被表示且唯一

如何理解

如何应用

如何记忆

关于向量组中的向量个数

如果多数向量可由少数向量线性表示，则多数向量必然线性相关

如何理解

如何应用

α少，β多，β被α表示，β必然相关

如何记忆

少表多，多相关

定理5的推论（逆否）

无关被表示者个数少

如何理解

如何应用

通过线性无关和线性表示两个条件，来判断两个向量组个数的关系

如何记忆

无关被表个数少

联合记忆

多表少则多相关，无关被表个数少

关于极大线性无关组的定理

一个向量组有多个极大线性无关组，多个组之间分量可以不同，分量个数相等

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

孤立流程/思路

证明n个向量，n个分量线性相关的情况，想到克莱姆

乘以矩阵可以代表线性变换，线性变换可以将线性组合（的性质）映射到新的线性组合

看到了向量组I可以或不可以被II表示

可以

向量组的每个向量都分列出一个方程，每个方程都有解

如何理解

如何应用

如何记忆

秩

想到被表示的秩小

如何理解

如何应用

如何记忆

知识链接：被表示，且秩相等，则等价

不可以（首先注意不可以的情况下两者没有秩的关系）

在I可以被II表示的前提下，若II不能被I表示，则I与II不等价，所以等号不存在，I被II表示这个条件推导出的秩的关系变为严格的小于号

如何用一个列向量组表示另一个列向量组

A表示B，把A,B拼在一起，初等变换把A变成单位阵，右侧列向量分别为表示的系数

如何理解

一道题

题目中出现“基础解系”，想到Aα=0，a1，a2.。。线性无关 出现特征向量，想到“特征值不同，特征向量线性无关”

如何求解向量组的极大线性无关组， 以及如何用极大组将其余向量线性表示

S1.将原向量组写成矩阵 S2将矩阵化为行最简 S3。行最简中的单位矩阵构成的向量组即为极大组 S4单位矩阵对应原矩阵同位置的向量组即为所求极大组 S5行最简中向量之间的线性关系即为原向量组同位置向量之间的 线性关系。

如何理解

如何应用

如何记忆

在转化为乘法的时候可以把向量直接视作数

如何应用

不管用行向量还是列向量，遇到相关无关，一律把向量竖过来

选择，证明向量线性无关

定义法

乘

如何理解

所谓乘一下，指的是在构造完定义式之后，需要用某个东西乘以定义式，以达到可以充分利用已知条件，得出所有k必然为0的结论 可以通过观察，改造已知条件的方式，找到乘项，以使定义式乘完之后变得更加简洁（短）。可以多次做乘法

如何应用

如何记忆

重组

如何理解

如何应用

如何记忆

秩

如何理解

如何应用

如何记忆

线性无关与可逆的等价关系

证明能否线性表示

如何理解

如何应用

如何记忆

则β可以由α表出

如何理解

如何应用

如何记忆

结论是可以线性表示的情况下

如何理解

如何应用

如何记忆

反证法（结论是不可以线性表示的前提下）

如何理解

如何应用

如何记忆

极大无关组相关解题流程

如何求解极大无关组

S1.向量竖过来，构成矩阵 S2.只能做行变化，化成阶梯型 S3.通过阶梯型判断矩阵的秩，矩阵的秩等于向量组的秩 S4.假设秩为3，则在阶梯型中找到不为0的3阶行列式，其在向量组位置对应的向量构成一个极大无关组（无关组不唯一） 注：在S4中，即使向量组本身维数为4，但第四排为0决定了秩为3，所以在选取行列式时，只许在前三个分量找就可以，不需要在意第四排的0分量

如何将剩下的向量用极大无关组线性表示

在求解极大无关组的前提下，把阶梯型中的向量直接罗列出来，用观察法来线性表出

题型/详细答案

β可否由α线性表出，唯一？无穷？

错题本

线性方程组

概念

齐次方程组

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

齐次方程组一定有0解

如何理解

如何应用

如何记忆

齐次方程组解的线性组合一定是齐次方程组的解

如何理解

如何应用

如何记忆

齐次的解+非齐次的解=非齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

基础解系

定义

基础解系就是解向量的极大无关组

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

t=n-r（A）

如何理解

t可以理解为线性无关组解向量的个数， 以及方程组中自由变量的个数

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

自由变量

定义

自由未知量就是根据解题需要自行选择自行设定的未知数。

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

非齐次线性方程组

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

非齐次的解的差是齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

齐次的解+非齐次的解=非齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

方程组的解（性质是重点）

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

齐次解的线性组合仍未齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

非齐次的解的差是齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

齐次的解+非齐次的解=非齐次的解

如何理解

如何应用

如何记忆

同解

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

齐次有非0解的充要条件是秩小于未知数个数

秩为满秩（未知数等于方程组个数）则只有0解

如何理解

如何应用

如何记忆

两个推论

t=n-r

n是未知数的个数，也就是系数矩阵的列数。如果是增广矩阵，不要把b行包括在内

如何理解

从这个小公式可知

如何应用

如何记忆

齐次方程组的通解定理

如何理解

如何应用

如何记忆

非齐次与秩（判断非齐次解的情况））

如何理解

未知数的数量比较多，容易有无穷个解

单纯的系数秩等于增广秩，只能说有解，不能判定是否是唯一解或者无穷解

如何应用

如何记忆

非齐次方程组解的结构

如何理解

如何应用

如何记忆

两个方程组同解的必要条件

孤立流程/思路

系数矩阵做行阶梯的时候，第一个元素非1，可以先化为1，再做接下来的变化

如何理解

如何应用

如何记忆

如何求齐次方程组的通解和基础解系

看题

如何理解

如何应用

补充：可以用n-r来判断基础解系的个数

如何记忆

如何求非齐次方程组的通解

看题

如何理解

如何应用

如何记忆

如何证明某向量组是基础解系

抽象，求解系

S1。通过已知条件，判断秩，一般是大于，小于 S2。t=n-r，判断基础解向量的个数 S3。通过已知条件求出对应数量的解

简易方法

S1.行最简 S2.n-r S3.01法 S4.把对应的0，1填入基础解向量对应位置。 S5.把1对应的向量相反数填入基础解向量剩余的空隙

两个方程组

求公共解的流程

两个方程组

如何理解

如何应用

如何记忆

给出的是两个方程组的基础解系

如何理解

如何应用

如何记忆

如何利用同解

如何理解

利用点： 1.两个方程组对应矩阵的秩相等 2.一个方程组的通解可以代入另一个方程组

如何应用

如何记忆

通过方程组求矩阵

如何理解

如何应用

如何记忆

题型/详细答案

错题本

特征值与特征向量

概念

特征值与特征向量

定义

一定是方阵才有特征值

如何理解

特征向量就是齐次方程组的非0解

也可以理解为Aα等于kα，即特征向量α与特征方程Aα的对应坐标一定成比例

如何应用

如何记忆

性质

特征向量与特征方程对应坐标成比例

如何理解

如何应用

如何记忆

运算性质

如何理解

与这个公式向对比

如何应用

可以在求特征值的时候把矩阵拆开成两个容易求特征值的矩阵

如何记忆

特征向量的k倍仍未特征向量

如何理解

如何应用

如何记忆

同一个特征值的两个特征向量作线性运算，结果仍未特征向量

如何理解

如何应用

如何记忆

在矩阵多项式中，B=f（A），则B的特征值入B=f（入A）。此性质在B不可相似对角化时也可以使用，具有普适性

特征值的和为矩阵的迹（对角线元素之和） 特征值的积为矩阵的行列式的值

下三角，上三角，对角矩阵的特征值为对角线上的元素

相似矩阵

定义

P可以是任意可逆矩阵

如何理解

波浪号~可以通过P逆AP来转化成等号

相似没有充要条件

如何应用

如何记忆

性质

同一性，反身性，传递性

如何理解

如何应用

如何记忆

A^n~B^n(如何求A^n)

如何理解

如何应用

P是特征向量组合而成的。求P的逆矩阵就是直接求，没有取巧。矩阵乘法也是直接做，没有取巧

如何记忆

相似的线性性质

如何理解

如何应用

如何记忆

相似则可逆相似

如何理解

如何应用

如何记忆

两组相似，则可逆对角相似

如何理解

如何应用

如何记忆

相似常用性质（相似的必要条件）

相似则特征多项式，特征值相等

如何理解

如何应用

如何记忆

相似则秩相等

如何理解

如何应用

如何记忆

相似则行列式相等

如何理解

如何应用

如何记忆

相似，则迹相等

如何理解

如何应用

如何记忆

相似对角化

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称矩阵的定理

实对称矩阵一定和对角矩阵相似（必可相似对角化）

如何理解

不用在意特征值是否有重根

如何应用

如何记忆

实对称矩阵不同的特征值对应特征向量相互正交

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称矩阵一定可以用正交矩阵相似对角化

如何理解

如何应用

如何记忆

（了解，不考）实对称矩阵特征值必然为实数

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

求特征值与特征向量的基本公式

之后的k1α1+k2α2+。。。。+knαn才为全部特征向量，注意k1，k2不全为0

如何理解

如何应用

如何记忆

n阶行列式特征值的和与积

特征值的和是矩阵的迹，积是行列式的值

如何理解

如何应用

如何记忆

特征向量加减定理

同一矩阵同一个特征值的特征向量加减之后，仍为该特征值的特征向量

如何理解

如何应用

如何记忆

同一矩阵不同特征值的特征向量加减之后，不是该矩阵的特征向量

如何理解

如何应用

如何记忆

矩阵变化对应的特征值，特征向量的变化

如何理解

如何应用

如何记忆

特征值不同的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称相似，充要条件为特征值相等

相似对角化定理（判断矩阵能否相似对角化，计算矩阵有几个线性无关的特征向量）

如何理解

这是判断能否相似对角化的根源。

如何应用

如何记忆

推论（可以相似对角化的充分条件）

如何理解

当特征值没有重根的时候一定可以相似对角化

如何应用

如何记忆

A是对称矩阵，则一定和对角矩阵相似

如何理解

当出现重根的时候，若保证可以相似对角化，则这个重根所对应的k个特征向量必须线性无关， 否则无法相似对角化。在题目中k个线性无关的特征向量就是k个基础解系，也可以算出特征方程组的 秩，根据公式线性无关的解的个数=n-r来判断

如何应用

如何记忆

做题用的核心推论！（用秩来判断是否有k个线性无关的特征向量）

如何理解

重根入i代入特征多项式，求解齐次方程，得到的基础解系是特征向量（的一部分）。基础解析线性无关，所以k重特征值有k个线性无关的特征向量即为基础解系的数量是否等于k。基础解系的数量k=n-r（特征多项式），移项，可知特征多项式的秩等于n-k，即为该k重特征值有k个线性无关的特征向量，即为矩阵可相似对角化。

如何应用

如何记忆

若矩阵A与对角阵相似，对角阵对角元素一定为A的特征值，根据定义P^(-1)AP,P为A的特征向量（组）

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称矩阵的定理

实对称矩阵一定和对角矩阵相似（必可相似对角化）

如何理解

不用在意特征值是否有重根

如何应用

如何记忆

实对称矩阵不同的特征值对应特征向量相互正交

如何理解

如何应用

如何记忆

实对称矩阵一定可以用正交矩阵相似对角化

如何理解

如何应用

如何记忆

（了解，不考）实对称矩阵特征值必然为实数

如何理解

如何应用

如何记忆

施密特正交化公式

孤立流程/思路

求特征值和特征向量的最基本流程

如何理解

如何应用

要注意到求特征向量与解方程组的区别：求特征向量的k不可以为0

若出现参数，则第一步需要结合题设条件进行预处理，将参数求出来

如何记忆

遇见Aα=0，根据题中条件作0变形

如何制造相似矩阵

制造AP1=P1B

如何应用

此题通过制造出A的相似矩阵B，并通过求B的特征值来得到A的特征值

求特征值的特殊情况

上/下三角

A的秩等于1

一种简单的求特征向量的流程

这是求特征向量独有的特殊解方程组的方式

如何理解

秩等于2，则三阶矩阵初等变换后必然有一行变成0，同时另外两行要求一开始就不成比例。 所以当这种情况出现时，可以直接令某一行为0（同时保证另外两行不成比例），直接对另外 两行做初等变换运算，得到行最简的结果

如何应用

如何记忆

特征向量与特征方程对应坐标成比例

如何理解

如何应用

如何记忆

如何求可逆矩阵P使相似对角化

如何理解

如何应用

如何记忆

如何求正交矩阵Q使相似对角化

S1.预处理 S2.求特征值 S3.求特征向量 S4.改造特征向量      S4.1若特征值不同，则需要单位化      S4.2若特征值相同，首先检查是否垂直             S4.2.1若已正交，则只需单位化             S4.2.2若不正交，则需要施密特正交化 S5.构造正交矩阵

单位化流程

流程

公式

求单位化的时候如果β前面有分母，可以不用带分母做单位化

向量的长度

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

施密特正交化流程（施密特正交化只针对重根的特征向量。非重根特征向量不参与施密特）

流程

用到的公式

注意： 1.题目中一般给出的是Q的转置，实际上由于Q是正交矩阵，所以Q的转置就是Q的逆 2.在需要求Q逆的场合，比如通过Q和对角阵来求原矩阵时，可以利用Q逆等于Q的转置，减少运算量

求特征值的时候要首先用观察法，既保证加加减减为0，又要出现入的倍数

证明相似/不相似

如何证明两个一般的矩阵相似

通过对角矩阵做中介

实对称相似，充要条件为特征值相等

证明不相似

相似的必要条件（性质

一个可以相似对角，一个不可以

题型/详细答案

错题本

二次型

概念

二次型及二次型的矩阵

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

标准型

定义

只有平方项没有混合项的二次型

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

标准型矩阵一定是对角阵

如何理解

如何应用

如何记忆

规范型

定义

平方项的系数一定是1，-1，0

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

正，负惯性指数

定义

正惯性指数p是标准型正系数的个数。 负惯性指数q是标准型负系数的个数

如何理解

正负惯性指数是针对标准型讲的。一般的二次型需要化为标准型后才能讨论正负惯性指数

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

二次型的秩

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

坐标变换

定义

如何理解

因为C不可逆，ICI为0

如何应用

二次型可以通过坐标变换变成标准型

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

合同

定义

合同一定是实对称才有

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

正定二次型

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

正定矩阵一定是对称矩阵

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

经过一次坐标变换，原二次型矩阵A与现二次型矩阵B合同，C为坐标变换中的C

C是坐标变换里的可逆矩阵

如何理解

如何应用

如何记忆

对于任意二次型，都存在坐标变换可以将其化为标准型

如何理解

如何应用

如何记忆

正交矩阵的充要条件

A的转置等于A的逆

如何理解

如何应用

如何记忆

关于正定

如何理解

如何应用

如何记忆

判断是否是正定

如何理解

关于顺序主子式

如何应用

如何记忆

惯性定理

如何理解

比如规范型里是两正一负，标准型里也一定是两正一负

如何应用

如何记忆

两个矩阵合同等价于正负惯性指数一样

如何理解

如何应用

如何记忆

施密特正交化公式

如何记忆

abbb，2111，3111，3222

孤立流程/思路

如何写二次型的矩阵

1.平方项的系数按顺序写在主对角线上 2。混合项的系数除以2，按照混合项的标号对称的分列在 主对角线两侧

如何理解

如何应用

以x1x2的系数为例，系数2除以2，为1，分别写在a12，a21的位置 （x1x3的系数为0）

如何记忆

通过配方法化标准型的解题流程

如何理解

如何应用

如何记忆

正交变换法化标准型

标准型的系数是原二次型矩阵的特征值 变换方程是原二次型矩阵的特征向量组

如何理解

如何应用

如何记忆

判断二次型是否正定

第一步：检验对称

检验转置是否等于本身

第二步：证明正定

顺序主子式法（主要方法）

如何理解

如何应用

如何记忆

特征值法

如何理解

如何应用

让特征值全部大于0

如何记忆

看正惯性指数（求标准型）

如何理解

如何应用

如何记忆

如何化规范型

S1.化标注型 S2.再作一次坐标变换，化规范型

如何应用

如何求惯性指数

S1.拆开成一般型 S2.求特征值，或者配方法 注意：不要直接“坐标变换”，小心不可逆

题型/详细答案

错题本

无关秩满可逆D非0，相关秩虚D0不可逆

概率论

常见随机变量及分布（7大分布）

泊松分布 X~P(入）

0-1分布 X~B（1，p）

二项分布 X~B(n,p)

几何分布

超几何分布

均匀分布 X~U(a,b)

定义

如何理解

b-a是线段长度。x-a/b-a是相当于x到a的距离比上线段长度

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

指数分布 X~E(入）

定义

指数分布的分布函数更为重要

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

正太分布 X~N（μ， σ^2）

定义

2π西格玛

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

1/2

如何理解

如何应用

如何记忆

标准化

如何理解

如何应用

如何记忆

与概率，分布函数的关系

如何理解

想要求概率，可以将其换算为标准正太分布，然后查表

如何应用

如何记忆

标准正太的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

随机事件和概率

概念

随机试验

定义

1.相同条件可重复 2.试验结果多样性，且一切可能结果都可知 3.每次试验前不能确定具体结果

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

样本空间

定义

随机试验的一切可能基本结果构成的集合

如何理解

1.全部结果，不可以有漏网之鱼 2.一定具有不可再分性

如何应用

麻将骰子的样本空间

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

事件

定义

样本空间的子集

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

不可能事件与必然事件

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

事件的运算

和

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

积

定义

A与B同时发生的事件

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

差

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

补

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

事件之间的关系

包含

定义

如何理解

A包含于B，A发生则B一定发生，但B发生，A不一定发生

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

互斥（不相容）

定义

A与B互斥的充要条件是AB=空集

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

对立

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

概率

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

不可能事件的概率为0

如何理解

如何应用

如何记忆

有限可加性

如何理解

如何应用

如何记忆

事件补的概率等于1-事件的概率

如何理解

如何应用

如何记忆

事件独立

定义

如何理解

独立就是前一个事情的发生对后一个事情没有影响

如何应用

如何记忆

性质

A，A的补与B，B的补的独立性是等价的

如何理解

如何应用

如何记忆

概率为0的事件与必然事件与任何事件独立

如何理解

如何应用

如何记忆

多个事件独立，将其分割，运算后形成两个新事件，新事件独立

如何理解

如何应用

如何记忆

全概率

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

完备组

定义

如何理解

1。分割不可以有重叠 2.分完了

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

贝叶斯公式

定义

如何理解

本质上就一个条件概率，只不过把原来的结果放在条件的位置。用条件概率公式与乘法公式即可求解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

事件的运算

和

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

积

定义

A与B同时发生的事件

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

差

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

补

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

概率的基本公式（运算）

减

如何理解

如何应用

如何记忆

加

如何理解

如何应用

如何记忆

条件

如何理解

1.A发生的前提下B发生的概率 2.A的发生可能对B的发生产生影响

如何应用

如何记忆

乘法

如何理解

前一个发生之后，要充当后面的条件

如何应用

如何记忆

特定条件下独立的等价条件

已知A的概率大于0，则AB独立的充要条件是A发生的条件下B发生的概率就是B发生的概率

如何理解

如何应用

如何记忆

A的概率不为0或1，AB独立的充要条件是不论A发生与不发生，对B的概率无影响

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

孤立流程/思路

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

题型/详细答案

性质，公式

如何识别

通用流程

一道题

错题本

（一维）随机变量及其分布

概念

随机变量

定义

如何理解

随机变量的任何取值范围本质即随机事件 随机变量取某某范围即某个随机事件的发生

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

分布函数

定义

如何理解

分布函数是概率的堆积

如何应用

如何记忆

性质（验证一个函数是不是分布函数，只需验证这4个性质，不满足，则不是，满足，则一定是）

0≤F（x）≤1

如何理解

如何应用

如何记忆

F（x）不为减函数

如何理解

如何应用

如何记忆

F（x）右连续

如何理解

如何应用

如何记忆

F（-∞）=0，F（+∞）=1

如何理解

如何应用

如何记忆

离散型随机变量与分布律

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型随机变量

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

一个函数为密度函数的充要条件

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型随机变量的分布函数一定连续，未必可导

如何理解

如何应用

如何记忆

常见随机变量及分布（7大分布）

离散型

二项分布

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

泊松分布

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型

均匀分布

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

指数分布

定义

指数分布的分布函数更为重要

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

正太分布

定义

2π西格玛

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

1/2

如何理解

如何应用

如何记忆

标准化

如何理解

如何应用

如何记忆

与概率，分布函数的关系

如何理解

想要求概率，可以将其换算为标准正太分布，然后查表

如何应用

如何记忆

标准正太的性质

如何理解

如何应用

如何记忆

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

分布函数与概率函数的转化关系

如何理解

如何应用

如何记忆

关于正太分布的结论

如何理解

如何应用

如何记忆

2.独立正太的线性组合一定是正太

如何理解

如何应用

如何记忆

关于二维正太分布的结论

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

孤立流程/思路

遇见正太分布，第一步首先要标准化

如何理解

如何应用

如何记忆

不管什么类型的题（包括后面几章），离散的一定要提供（找出）分布律， 连续的一定要提供（找出）密度函数

如何理解

如何应用

如何记忆

X~某分布，Y=g（X），求fY（y）

核心思路：曲线在直线y=y下方的情况下，x的取值范围

如何理解

如何应用

如何记忆

题型/详细答案

随机变量以及性质

如何识别

通用流程

一道题

X分布已知，Y是X的函数，求Y的分布

X,Y都离散

如何识别

通用流程

一道题

X连续，Y离散

如何识别

通用流程

一道题

X,Y连续

如何识别

通用流程

S1。写出X的分布函数 S2.写出Y的分布函数式 S3.搞清楚Y的取值范围 S4。把对y的不等式转化为对x的不等式 S5.列出对Y的分布式 S6。求导算出f（y）

一道题

子主题

如何识别

通用流程

一道题

子主题

如何识别

通用流程

一道题

子主题

如何识别

通用流程

一道题

错题本

多维随机变量及其分布

概念

二维随机变量

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

联合分布函数

定义

如何理解

代表一种概率的堆积

代表落在（x，y）这个点的左下方的概率

如何应用

如何记忆

性质

只要有一个负无穷就是不可能，两个正无穷是1

如何理解

如何应用

如何记忆

单调不减，右连续，

边缘分布函数

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

二维离散型随机变量

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

二维连续型随机变量及联合密度函数

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型的边缘密度函数

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

二维常见分布

均匀分布

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

均匀分布的概率等于事件对应面积与取值范围的面积之比

如何理解

如何应用

如何记忆

正太分布

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

随机变量的独立

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

条件分布

离散型

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型

定义

如何理解

在大X取x的条件下大Y取y的密度

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆

应试结论

二维离散的联合分布律与边缘分布律

如何理解

如何应用

如何记忆

随机变量独立性的等价判别法

离散型

如何理解

如何应用

如何记忆

连续型

如何理解

如何应用

如何记忆

独立与相关的关系

独立一定相关，相关不一定独立

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

概率密度求概率

如何理解

如何应用

如何记忆

概率密度的乘法公式

如何理解

如何应用

如何记忆

max，min等价于

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

孤立流程/思路

关于概率密度的3种情形

如何理解

如何应用

如何记忆

求Fx(x),相当于求极限，y趋近于正无穷，计算时把x看作常数 由F（x，y）求Fx（x），Fy（y）一定要画定义域图

如何理解

如何应用

如何记忆

根据概率密度求解概率的大致步骤

如何理解

如何应用

如何记忆

如何求边缘概率密度

如何理解

本质上相当于扫描法，去掉前面的d。比如二重积分扫描法计算，前面是dx后面是dy，自然画一条竖线，沿着x轴扫描。去掉前面的dx，依然是画竖线，不用扫描，直接做后面的运算。

如何应用

如何记忆

求谁不积谁 不积先定限 限内画条线 先交为下限 后交为上限

离散型+连续型

S1.将离散型取值情况作为完备事件组 S2.使用全概率公式

如何理解

如何应用

如何记忆

Z=g（X,Y）的分布

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

题型/详细答案

错题本

随机变量的数字特征

概念

数学期望

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

函数的期望

一元函数的期望

就是把X换成g（x）

如何理解

如何应用

如何记忆

二元函数的期望

如何理解

如何应用

如何记忆

常数的期望=常数本身

如何理解

如何应用

如何记忆

期望的线性性质

如何理解

如何应用

如何记忆

E(X+Y)=EX+EY

如何理解

如何应用

如何记忆

X≥a，则EX≥a

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

方差

定义

变形：结合7个常见分布考EX^2

如何理解

方差就是对中心位的偏离

如何应用

如何记忆

平方的期望减去期望的平方 瓶子里的妻子捡起来妻子的瓶子

性质

D(C)=0,DX=0等价于P(X=EX)=1

如何理解

如何应用

如何记忆

方差的线性性质

如何理解

如何应用

如何记忆

D(X+Y)（X,Y独立）

注意加减号：后面就是加号

如何理解

如何应用

如何记忆

和，差的方差等于方差的和

D(X+Y)（一般）

如何理解

如何应用

如何记忆

D(XY）

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

如何理解

如何应用

如何记忆

协方差

定义

如何理解

如何应用

如何记忆

性质

如何理解

如何应用

如何记忆