考研数学三高等数学基础知识
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考研数三高数的基础知识
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大纲/内容
高等数学
函数与初等数学
概念
函数
定义：
性质：
单调性
理解？
记忆？
一道题？
有界性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
奇偶性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
周期性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
初等函数
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
应试结论
上确界与下确界
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常见有界函数
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
考研所需初等函数与图像
指数函数
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
对数函数
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
tan（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
cot（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
sec（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
csc（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
arcsin（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
arccos（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
arctan（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
arccot（x）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
闭区间连续函数性质的使用思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何判断/证明函数有/无界
方法1：看区间的端点函数的极限是否存在<br> 存在：有界<br> 无穷大：无界
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
碰到幂指函数就要化成e的ln次幂形式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
极限与连续
概念
数列极限
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
函数极限
定义
（有限值）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
（无限值）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
唯一性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
有界性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
保号性
如何理解？：
（贴吧）脱帽法？
知乎：
超学：
如何记忆？：
一道题：
左极限与右极限
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小量
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷大量
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
高阶，低阶，等价无穷小
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
等价无穷小性质
性质1
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质2
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质3
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质4
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质5
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
萝莉塔法则
如何理解？：
只能直接用于0/0型和无穷/无穷型
如何记忆？：
一道题：
间断点
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
分类
第一类间断点
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
分类
可去间断点
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
跳跃间断点
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
第二类间断点
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
分类
无穷间断点
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
震荡间断点
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
连续与左右连续
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
应试结论
某点极限的存在与该点定义是否存在无关
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
极限存在的充要条件
如何理解？：
左极限等于右极限，则极限存在
如何记忆？：
一道题：
极限的四则运算
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
极限的存在性定理
夹逼准则（肉夹馍定理）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
单调有界准则
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
夹逼准则常用不等式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小量的运算性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小量的比较
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小量阶的运算性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小量与无穷大量之间的关系
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷大量与无界量的关系
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常用无穷大的快慢程度
如何理解？：
如何记忆？：
如何记忆常用无穷大的快慢程度？
一道题：
函数连续的充要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
连续性的四则运算法则
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常用等价无穷小
如何理解？：
常用等价无穷小的适用范围（为什么有的时候不能使用等价无穷小）
如何记忆？：
一道题：
两个重要极限
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
子主题
如何记忆？：
一道题：
泰勒定理（麦克劳林展开式）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
函数在闭区间连续（最值，介值定理啥的）
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
（闭区间连续函数的）性质
最值定理
（注意点开理解看看，翻译成数学式子）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
有界定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
介值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
零点定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
推论
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
需要研究左右极限的情况
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
判断数列极限的存在性
数学归纳法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
判断符号法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
导数法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求极限法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求数列表达式法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
泰勒公式展开原则
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
相除关系
加减关系
极限不存在的三种情况
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
看到求数列极限，想到夹逼准则
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
看到证明数列极限存在，想到用单调有界准则
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
判断分段点的连续性想到函数连续的充要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求间断点的步骤
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
介值定理的命题角度与使用流程
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
零点定理的命题角度与使用流程
构造辅助函数的核心：使等式最右侧结果恒等于0，以便于对辅助函数使用零点定理。
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
导数与微分
概念
导数
（两个，等价）定义
如何理解？：
导数是特殊的0/0型极限
如何记忆？：
一道题：
左右导数
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题？：
微分
高阶导数
应试结论
导数存在的充分必要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
可导与连续的关系
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
函数可导的条件
如何理解？：
连续，左右导数存在且相等。
如何记忆？：
一道题：
导数公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
导数的四则运算
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
复合函数求导
如何理解？：
解包装法
如何记忆？：
一道题：
高阶导数常用公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
高阶导数和，积公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
反函数求导
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
隐函数求导
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
幂指函数求导
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
分段函数求导
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
导数不存在的三种情况
如何理解？：
第三种情况例如圆形的左右两点
如何记忆？：
一道题：
一元微分的应用
概念
单调性
定义（导数法定义）：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
极值
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
驻点
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
最值
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
凹凸性
定义：
如何理解？：
图形化理解
凹函数
凸函数
文字理解
如何记忆？：
一道题：
性质：
拐点
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
渐近线
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷小×有界量是无穷小，sin（1/x）有界量。
知识链接：无穷小（重点看性质）
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
有限和差积
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
有界x无穷小
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常数x无穷小
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
极限等于常数的充要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
分类：
水平渐近线
定义：
如何理解？：
自变量趋于无穷大，函数区域一个常数C的时候，y=C即为水平渐近线。求水平渐近线<br>就相当于求函数在自变量趋于无穷大时的极限值。
如何记忆？：
一道题：
性质：
铅直渐近线
定义：
如何理解？：
求铅直渐近线就是求函数的无穷间断点。
如何记忆？：
一道题：
性质：
斜渐近线
定义：
如何理解？：
求斜渐近线：先求x趋近于无穷大时f（x）/x的值，为a值。再求x趋近于无穷大时f（x）-ax的值，为b值。<br>则斜渐近线：y=ax+b
如何记忆？：
一道题：
性质：
应试结论
驻点与拐点，极值点的关系（不单独考，但最好了解一下，有助于理清概念）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
极值的必要条件
如何理解？：
极值点一定在驻点或不可导点之间寻找，但具体是哪一个，还需要使用两个极值点的充分条件进行判断
如何记忆？：
一道题：
极值点的第一充分条件（咋的都行）
如何理解？：
连续，驻点，左右导数反号则为极值点。
如何记忆？：
一道题：
极值点的第二充分条件（驻点加它就是极值点）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
最值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何判断凸凹性（小白兔（凸）大棉袄（凹）)
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拐点存在的必要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拐点的第一充分条件（咋的都行）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拐点的第二充分条件(二阶导为0时加它就是拐点）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
在同一侧水平渐近线和斜渐近线不可能同时存在
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
单调性相关习题的思路
运用拉格朗日中值定理证明单调性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何证明不等式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何讨论方程根的个数
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求极值的一般思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：驻点
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
求最值的一般思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求凹凸性和拐点的一般思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如果在x=-2这个点在定义域内二阶导不存在，且左右的二阶导一正一负，那么根据<br>拐点的第一充分条件，就可以判定此为拐点。
微分中值定理
概念
费马定理
如何理解？：
极值点可导则必为驻点
如何记忆？：
一道题：
罗尔定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：介值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拉格朗日中值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
柯西中值定理
如何理解？：
核心要义是理解参数方程的斜率等于什么。
如何记忆？：
一道题：
泰勒定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
麦克劳林公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
应试结论
罗尔定理常用辅助函数
如何理解？：
罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？
因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？
因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。
如何记忆？：
一道题：
拉格朗日中值定理常用形式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拉格朗日中值定理的推论
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
什么时候使用罗尔定理呀？
证明导函数或高阶导函数存在零点
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求导函数或高阶导函数零点的个数
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
证明开区间内存在一点，使一阶导或二阶导为0
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
罗尔定理的关键思路
构造辅助函数
为什么要构造辅助函数？
因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。
罗尔定理常用辅助函数
如何理解？：
罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？
因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
罗尔中值定理相关习题为什么要构造辅助函数？
因为罗尔中值定理本身得到的是一个一阶导函数等于0，但题设中经常让证明的是一个函数，导函数的混合体等于某值。所以需要构造辅助函数，使辅助函数的一阶导函数等于该混合体（减去某值）。最后通过题设，得出辅助函数复合罗尔定理的条件，可得区间内存在某点使辅助函数的一阶导函数等于0，从而得出混合体所需。
如何记忆？：
一道题：
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
寻找区间
题目中有定积分，则使用积分中值定理
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：积分中值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
使用零点定理
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：零点定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
什么时候使用拉格朗日中值定理呀？
证明含有中值的等式
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
证明不等式
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
证明函数的有界性
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何求解证明含有中值的等式？
什么是含有中值的等式？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何构造辅助函数？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
使用柯西中值定理的时候，必须验证g（x）的导数不等于0（不容易验证的）
一元函数积分
概念
原函数
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
不定积分
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
性质1
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质2
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质3
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
定积分与积分变量的符号无关
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分限交换反号
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
fx=1时，定积分等于区间长度
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分线性运算性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分区间的可加性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分比较定理与推论
注：b>a
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
估值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分中值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
（化简类性质）对称区间的定积分
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
（化简类性质）周期函数的定积分
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
（化简类性质）华里士公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无界函数的反常积分
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
无穷区间的反常积分
定义
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质
应试结论
基本积分表
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
第一类换元积分法（凑微分法）
如何理解？：
请通过一道题来理解凑微分的感觉
如何记忆？：
一道题：
第二类换元积分法（换元法）
如何理解？：
就是把自变量x换成关于t的函数y（t）
如何记忆？：
一道题：
分部积分法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
可积的充分条件
变上限函数求导一般公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分的牛莱公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分的换元积分法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
定积分的分部积分法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷区间的反常积分常用公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
换元法思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
分部积分法一般思路
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分常用三角函数公式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
利用定积分的定义求n项和式极限
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
变上限求导的三种情况
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
计算定积分时，看到绝对值，就要想着使用定积分的积分区间可加性
如题
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：积分区间的可加性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
多元函数微分
概念
多元函数（考研只考二元）
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
二元函数的极限
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
二元函数的连续性
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
多元函数偏导数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
全微分
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二元函数的无条件极值
定义：
如何理解？：
周围都比它大就是极小，周围都比它小就是极大
如何记忆？：
一道题：
性质：
二元函数的条件极值
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
闭区域上连续函数的最值
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
应试结论
可微的必要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
可微的充分条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
全微分形式的不变性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
多元复合函数求导法则
链式法则
链式法则1
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
链式法则2
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
链式法则3
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
同路相乘，异路相加（图形法的用法与结论）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
不管f的下标是啥，不管求了几次导，f的n阶导的结构和f的结构永远一致
如何理解？：
如何记忆？：
龙生龙
一道题：
一元隐函数求偏导和全微分
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二元隐函数求偏导和全微分
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二元函数极值的必要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二元函数极值的充分条件
如何理解？：
如何记忆？：
口诀：大小，小大
一道题：
孤立流程/思路
如何证明二元函数极限不存在？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何求二重极限
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
由方程组所确定的隐函数仅需方程组两边同时对x求偏导
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
拉格朗日乘数法（求条件极值）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
求实际问题的最值
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
多元函数积分
概念
二重积分
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
线性性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分区域的可加性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
函数值（高）为1，体积等于面积
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
比较性质
如何理解？：
如何记忆？：
函数大，积分大。函数小，积分小
一道题：
绝对值的比较性质
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
估值不等式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二重积分的中值定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
应试结论
极坐标与直角坐标之间的关系
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
利用直角坐标计算二重积分
X型
如何理解？：
如何记忆？：
口诀法：
解释：<br>“后积”是“dx”，“后积先定限”就是把x的上下限先定好。<br>“限内画条线”：在积分区域内画一条从下到上的线段
扫描法：
前面是啥（x型是x），就沿着哪条坐标轴（x轴）扫描（用一条垂直于x轴的直线扫描）。左边的上下限是扫描范围，右边的上下限是扫描线碰到的直线的函数的表达式（y（x）），下面的在下，上面的在上
一道题：
Y型
如何理解？：
如何记忆？：
口诀法：
解释：<br>“后积”是“dx”，“后积先定限”就是把y的上下限先定好。<br>“限内画条线”：在积分区域内画一条从左到右的线段
扫描法：
前面是啥（y型是y），就沿着哪条坐标轴（y轴）扫描（用一条垂直于y轴的直线扫描）。左边的上下限是扫描范围，右边的上下限是扫描线碰到的直线的函数的表达式，左面的在下，右面的在上
一道题：
利用极坐标计算二重积分
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
1.包住极点，范围就是0到2pi<br>2.积分下限退化为一个点，r=0<br>3.积分上限是一个圆，r=1
一般什么时候用极坐标计算呢？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二重积分的特殊计算方法
利用积分区域D的对称性
如何理解？：
如何记忆？：
偶倍奇零
一道题：
利用积分区域D的轮换对称性
如何理解？：
实际运算中常用此式子（相加除以2）
如何记忆？：
一道题：
二重积分计算的一般流程
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
无穷级数
概念
数项级数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
非零常数倍级数与原级数敛散性相同
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
级数之和的敛散性
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
改有限，或改和，必然不改敛散
如何理解？：
题目中不管n从什么位置开始，在解题的过程中尽管去找一个最方便的起点研究就好。最后加一句<br>“由级数的性质可知”，把题设的起点加上去即可
如何记忆？：
一道题：
加减括号
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
通项
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
Sn（级数的部分和）
定义：
如何理解？：
数项级数的前n项之和
如何记忆？：
一道题：
性质：
收敛与发散
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
用敛散性的定义证明敛散性。
性质：
正项级数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
交错级数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
绝对收敛
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
条件收敛
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
幂级数
定义：
注：考研仅研究X0=0的情况！
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
收敛半径
定义：
正数R为该幂级数的收敛半径（之前请研究阿贝尔定理）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
收敛域
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
收敛半径长度的特殊情况
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
非零点收敛区间
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
条件收敛点
幂级数的条件收敛点只能出现在区间端点
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
收敛区间
定义：
先查看收敛半径的定义和阿贝尔定理。
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
收敛域
定义：
收敛域用区间的形式表达
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
幂级数的和函数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：（可以把Sn换成an，又称幂函数的分析性质）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
应试结论
数项级数收敛的必要条件
如何理解？：
通项不为0，即可认为它是发散的（必要是反面的一定）
如何记忆？：
一道题：
数项级数发散的充分条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
正项级数收敛的充要条件
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
莱布尼茨定理（交错级数收敛的充分条件）
如何理解？：
1.交错级数的数列Un单调不增且通项的极限为0，则一定可以得到交错级数收敛。<br>2.莱布尼茨定理为充分条件而非必要条件。<br>3.只评价去掉符号之后的通项Un
如何记忆？：
一道题：
绝对收敛与条件收敛的关系
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常用初等不等式
均值不等式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
幂级数的阿贝尔定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
常见函数的幂级数展开式
幂级数的展开式与泰勒公式的差别在于没有余项，后面直接就是 省略号
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
幂级数的运算性质
和差运算
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
乘法（仅需了解）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
除法（仅需了解）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
等比级数与等差级数
等比级数（几何级数，注意收敛性的情况）
等差级数
孤立流程/思路
判断正项级数的一般步骤
如何理解？：
如何记忆？：
先自力更生，再求助他人
一道题：
小题可直接用的快速判别法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
正项级数敛散性的判别法
比较判别法
一般形式
如何理解？：
不要被比较判别法左右放缩的“无穷种可能性”吓到，在考试中能出现的类型就那么几类，<br>经过对一定量习题的模仿，学习，就可以基本上见全所有的思维定势。可以看看灯哥的书，<br>了解思维定势的思维。
如何记忆？：
证散找小，证敛找大
一道题：
极限形式
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
比值判别法<br>（使用阶乘，连乘，a^n，因为这些情况比的结果好求）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何寻找正项级数比较判别法中常被用于比较的级数Vn
通常被用作比较的另一个级数（p级数之类的）
由于级数的第一条性质，在使用这些级数的时候可以无视级数前面的系数。
莱布尼茨定理是交错级数敛散性唯一的判别方法
如何理解？：
1.交错级数的数列Un单调不增且通项的极限为0，则一定可以得到交错级数收敛。<br>2.莱布尼茨定理为充分条件而非必要条件。
如何记忆？：
一道题：
在莱布尼茨定理判断敛散性的时候使用导数的方法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何求收敛半径
不缺项
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
缺项
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
什么时候要将函数展开成幂级数？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何将函数展开成幂级数
直接展开法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
间接展开法（考研常用）
如何理解？：
和的导数等于导数的和，和的积分等于积分的和
如何记忆？：
一道题：
如何求幂级数的和函数（先求幂级数的收敛域，也是和函数的定义域）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
q小于1，等比数列的求和公式是1-q分之首项。
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何利用幂级数的和函数求常数项级数的和
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
微分方程
概念
微分方程
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
阶
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
通解与特解
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
差分
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
几类微分方程
变量可分离的微分方程
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
齐次方程
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
一阶线性微分方程
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程（通解公式法）
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二阶线性微分方程
分类（考研考的）
二阶常系数齐次线性微分方程
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
求通解
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
知识链接：特征方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
类型1
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
求特解
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
类型2
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
求特解
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质（圈1是非齐次，圈2是齐次）
齐次的叠加原理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
齐次的线性无关原理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
用非齐次求齐次
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
非齐次通解的结构定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
非齐次的特解定理
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
差分方程相关概念
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
解方程流程
差分齐次方程的通解
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
差分非齐次方程的特解
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
应试结论
孤立流程/思路
一阶线性微分方程另两种解方程流程
常数变易法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
积分因子法
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何通过通解反求常系数齐次线性微分方程？
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
二阶常系数非齐次线性微分方程三种奇怪的情况
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
经济学应用
概念
经济数学的五大函数
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
子主题
性质：
边际函数
定义：
如何理解？：
边际函数就是导数？
如何记忆？：
一道题：
性质：
弹性函数
定义：
特殊：按公式计算出来的需求函数的弹性必须加负号！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
如何理解？：
弹性就是导数比原函数？
如何记忆？：
一道题：
性质：
特殊：按公式计算出来的需求函数的弹性必须加负号！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
复利现值
定义：
如何理解？：
已知利率，你想在某年后拿多少钱，那么你现在就需要准备的钱数。
如何记忆？：
一道题：
性质：
分期复利计算
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
连续复利计算
定义：
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
性质：
应试结论
经济函数的相关公式和函数关系表
如何理解？：
如何记忆？：
一道题：
孤立流程/思路
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