高数上下册（同济）考研
2019-03-20 17:43:07 8 举报AI智能生成
考研，高数，
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大纲/内容
8.向量代数与空间解析几何
向量及其线性运算
数量积，向量积，混合积
平面及其方程
空间直线及其方程
曲面及其方程
空间曲线及其方程
9.多元函数微分法及应用
多元函数的基本概念
偏导数
全微分
多元复合函数的求导法则
隐函数的求导公式
多元函数微分学的几何应用
方向导数与梯度
多元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式
最小二乘法
10.重积分
二重积分的概念与性质
二重积分的计算法
三重积分
重积分的应用
含参变量的积分
11.曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
格林公式及其应用
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
高斯公式，通量与散度
斯托克斯公式，环流量与旋度
12.无穷级数
常数项级数的概念和性质
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
函数的幂级数展开式的应用
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本概念
傅里叶级数
一般周期函数的傅里叶级数
13.附录
初等函数图形
几种常用的曲线
积分表
高数1
1.函数与极限
集合
区间
邻域
去心邻域
子主题
常量与变量
绝对值
映射与函数
定义
特殊函数
符号函数
取整函数
狄利克雷函数
取最值函数
分段函数
函数性质
有界性
单调性
奇偶性
周期性
反函数
初等函数
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
反三角函数
反正弦函数
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]
反余弦函数
定义域[-1，1] ， 值域[0，π]
反正切函数
定义域R，值域（-π/2，π/2）
反余切函数
定义域R，值域（0，π）
复合函数
函数的分类
数列的极限
数列定义
数列极限
数列极限的性质
定义
定理1
唯一性
定理2
子数列的收敛性
定理3
保号性
函数的极限
自变量趋向无穷大时函数的极限
另外两种情形
几何解释
自变量趋向有限值时函数的极限
函数的单侧极限
小结
函数极限的性质
局部有界
无穷小与无穷大
无穷小
1、定义
2、无穷小与函数极限的关系
3、无穷小的运算性质
定理2
定理3
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小
无穷大
例子
无穷小与无穷大的关系
定理4
极限运算法则
极限的运算法则
求极限的方法举例
例1
例2
例3
例4
例5
定理（复合函数的极限运算法则）
例6
无关系
极限的存在准则，两个重要极限
极限存在准则
夹逼准则
准则1 单调有界数列必有极限
准则2
柯西极限存在定理
重要极限一
重要极限二
数列情形
函数情形
无穷小的比较
例子2
等价无穷小替换
定理２(等价无穷小代换定理)
例３
例４
例５
函数的连续性
函数的增量
连续的定义
定义1
定义2
单侧连续
定理
连续函数与连续区间
函数的间断点
连续的三个条件
可去间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
例5狄利克雷函数
例7
例8
连续函数的运算与初等函数的连续性
闭区间上连续函数性质
最大值和最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
定理2(有界性定理)
介值定理
定理 3(零点定理)
几何解释:
推论
总结以及习题
主要内容
典型例题
2.导数与微分
导数概念
引例
变速直线运动的瞬时速度
曲线的切线斜率
导数的定义
例题讲解
函数的求导法则
四则运算求导法则
说明
复合函数的求导法则
定理2以及推广
反函数求导法则
初等函数的求导法则
常见基本初等函数的导数
复杂初等函数的导数
高阶导数
一、高阶导数的概念
引例：
常用高阶导数公式：
二、高阶导数的运算法则
其他高阶导数
莱布尼兹(Leibniz) 公式
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数与隐函数
隐函数求导方法
隐函数求导的这种方法需要说明以下几点
有些显函数用对数求导法求导很方便
二、参数式求导
例
函数的微分
(一)问题的提出
实例
再例如
(二) 微分的定义
注意1
注意2
注意3
已知在某点可微
已知在某点可导
(三)可微的条件(可微与可导之间的关系）
(四)微分的几何意义
思考题
3.微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
文字定义叙述
费马（Fermat）引理
应用定义
证明
注1
注2
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
三、柯西(Cauchy)中值定理
几何意义
四、内容小结
洛必达法则
洛必达
注3
注4
注5
注6：洛必达法则不是万能的，也不一定简单 。
注7
泰勒公式
问题的提出
泰勒中值定理
n 阶泰勒公式 ，n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广
n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
几个初等函数的麦克劳林公式
函1
函2
函3
函4
函5
在求极限中的应用
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性
函数单调性及其判别法
定理1 (函数单调性的判定方法)
函数的单调区间
函数单调性的应用
证明不等式
讨论方程根的个数问题
曲线的凹凸性
函数的凹凸性与拐点
拐点
凹凸性
曲线凹凸性的判定
曲线拐点的定义
拐点的求法
定理1 (拐点的必要条件)
定理2(拐点第一判别定理)
定理3(拐点第二判别定理)
函数的极值与最小值最大值
极值
极值的必要条件
导数不存在的点也有可能是极值点。
极值存在的充分条件
求极值的方法
极值存在的第一充分条件
极值存在的第二充分条件
最值
极值最值区别
在解决实际问题时有如下结论：
函数图形的描绘
渐近线
定义1
1.水平渐近线
2.垂直(铅垂)渐近线
3. 斜渐近线
图形描绘的基本步骤
曲率
弧微分
曲率及其计算公式
曲率的计算公式
曲率圆与曲率半径
方程的近似解
4.不定积分
不定积分的概念和性质
原函数
定理 2
不定积分
不定积分的性质
换元积分法
第一换元法
定理（凑微分法）
第二换元法
基本思想：
例1三角代换，
例2根式代换
例3倒代换
分部积分法
分部积分公式
使用方法
有理函数的积分
有理函数
三角函数有理式的积分
三角函数有理式
积分表的使用
5.定积分
定积分的概念和性质
微积分基本公式
定积分的换元法和分步积分法
反常积分
反常积分的审敛法
6.定积分的应用
定积分的元素法
定积分在几何中的应用
定积分在物理上的应用
7.微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程
齐次方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶微分方程
高阶线性微分方程
常系数齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
常系数线性微分方程组解法举例
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