Chapter 5
2019-05-22 09:49:51 0 举报AI智能生成
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数理统计复习大纲 hogg
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Chapter 5一致性和极限分布
依概率收敛
依概率收敛 Convergence in probablity
定义
令{Xn}为随机序列，X为随机变量，对于任意ε>0如果有
则称Xn依概率收敛到X
性质
1. 依概率收敛的相加不变性
则Xn+Yn依概率收敛到X+Y
2.依概率收敛的相乘不变性
若{Xn}依概率收敛到X，a为常数
a*Xn依概率收敛到aX
Xn*Yn依概率收敛到X*Y
3.依概率收敛的函数作用下的不变性
g(Xn)依概率收敛到g(a)
若{Xn}依概率收敛到X，g()连续
g(Xn)依概率收敛到g(X)
应用
弱大数定理WLLN
条件
样本iid，且σ有限
结论
样本均值依概率收敛到μ
一致估计量 Consistent estimator
如果估计量Tn依概率收敛到θ，则称Tn为θ的一致估计量
example
样本均值对μ
样本方差对σ方
理解
如果当样本量变大的时候估计量不接近他们的目标，则说明这个估计量不是一个好的估计量
依分布收敛
依分布收敛（Convergence in distribution）
{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，cdf以知，C(Fx)是使X的cdf连续的点的集合
当n趋向于∞时，Xn的分布趋向于X的分布
别称
X可以称为{Xn}的 极限分布 或者 渐进分布
与依概率收敛的联系
1.{Xn}依概率收敛到X，则同样依分布收敛到X
定理5.2.1
2.{Xn}依分布收敛到X，不能推出{Xn}依概率收敛
式5.2.1
3.{Xn}依分布收敛到常数a，则同样依概率收敛到a
定理5.2.2
运算性质
1.{Xn}依分布收敛到X，{Yn}依概率收敛到0，则Xn+Yn依分布收敛到X
定理5.2.3
2.{Xn}依分布收敛到X，g()在Xsupport上连续，则g{Xn}依分布收敛到g{X}
定理5.2.4
3.(Slutsky){Xn}依分布收敛到X，An依概率收敛到a，Bn依概率收敛到b。则Bn+An*Xn依分布收敛到b+a*X
定理5.2.5
说明
1.依分布收敛仅仅只用考察Fx上连续点
图5.2.1
2.通常下，即使{Xn}依分布收敛于X，也不能通过对Xn的pdf求极限的方式得到X的pdf
例5.2.2
3. （在2下）但是如果其{Xn}pdf函数列能够被某可积函数所控制，便可交换积分和极限的顺序，便可以通过取极限求pdf
例5.2.3
依概率有界 Bounded in probability
则称{Xn}依概率有界
1.如果{Xn}依分布收敛到X，则{Xn}依概率有界
2.如果{Xn}依概率有界，{Yn}依分布收敛到Y，则Xn*Yn依概率收敛到0
这个定理集齐了依分布依概率和有界
Δ方法
依据
依分布收敛，如果g()在θ处可微
则
应用
例5.2.8
矩母函数方法
定理依据
用矩母函数考察随机变量序列的极限分布
应用
CLT的证明
tips
当b，c均不依赖于n，且φ(n)随着n增大趋向于0
可将原式进行如下变换
例5.2.7
中心极限定理CLT
条件：{Xn}是一组来自均值μ，方差σ方的随机样本观测值
证明
运用矩母函数方法和tips
连续性分布μ的大样本推断
例5.3.1
大样本下离散分布二项分布p值推断
例5.3.4
连续型修正（continuity correction）
先将离散型随机变量左右放宽各0.5，然后用中心极限定理
大样本下比例p值推断
bernoulli分布
例5.3.5
卡方检验的大样本推断
近似为正态分布的平方
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