实变函数
2019-09-22 12:33:29 55 举报AI智能生成
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实变函数是研究实数域上的函数性质的数学分支，它与初等函数的抽象性质有着明显的区别。实变函数主要研究函数的可测性、积分和极限等概念，其中最重要的就是勒贝格积分。实变函数的理论体系非常严谨，具有广泛的应用领域，如概率论、泛函分析等。学习实变函数需要具备一定的数学基础，包括集合论、数理逻辑、微积分等知识。虽然实变函数的概念较为抽象，但其深刻的思想和优美的理论让人着迷。
作者其他创作
大纲/内容
第三章 测度理论
开集的体积
区间
定义
Ij为实数域R中有界区间，则称集合I = I1 x I2 x ...x In 为 Rn中的一个区间
区间的体积
区间与区间的体积关系
两组互不相交的区间，若
则
理解
区间的子集关系可以传递到体积关系上
区间与非空开集的关系
Rn中任意非空开集G都可以表示成为可数个互不相交的左开右闭的区间之并，即 G = (j=1->∞)∪Ij
开集G的体积分割不变性
集合
集合体积的定义
设G是Rn中的开集
若G为空集，则记|G|= 0
称|G|为G的体积
集合体积的性质
非负性
若 开集G ≠ 空集，则 |G| >0
集合关系到体积关系的传递性
如果G1为G2的子集，则 |G1| <= |G2|
集合的并的体积与体积的和的关系
不相交集合的并与其体积的和相等
点集的外侧度
外侧度
设E 为Rn的子集，记 m*E = inf{ |G| ; E为G的子集，G为开集}
相当于承装E的容器，但当这个容器为空集时他的体积才比较好计算。
性质
对每一个Rn上的E，有m*E >= 0. 特别的 m*（空集）=0
单调性
若A为B的子集，则m*A<=m*B
次可数可加性
对Rn中任意一列子集{Ej}，有m*{∪Ej}<=∑m*(Ej)
分离条件下的可数可加性
不存在可加性！！！
后记
天然的缺陷
无论如何改变定义方式，都不能使任意两个不相交的集合之并的外侧度等于它们外侧度的和
鉴于可加性在处理体积问题的重要性，只好把某些特别奇异的集合成为不可测集，在余下的可测集内保证可加性
可测集合及测度
外侧度 ->可测集
可测集合
Rn上的集合E，如果对任意子集T有
Caratheodory条件
则称E为Lebesgue可测的（简称可测的）
如果E不是可测的，则成为E是不可测的
对任意E的子集A，Ec的子集B，有m*(A∪B)=m*A + m*B
可测的对称性
E可测当且仅当Ec可测
外侧度为0的集合是可测集
特别的，空集和Rn均为可测集
可测集合的有限运算不变性
E1 ∩ E2可测
E1 ∪ E2可测
E1- E2可测
可测集合的可数运算不变性
可测集合列的可数并依旧可测
可测集合列的可数交依旧可测
可加性(寻求已久的)
若可测集和列互不相交，则对任意Rn上集合T
子主题
取 T 为Rn
单调可测集合列
单增集合列
单减集合列
测度与体积的关系
设Rn上开集G，则G是可测的，且mG= |G|
常见的可测集
开集
Borel集都可测，特别的，Gδ型集合和Fσ型集合都是可测的
Borel集和任意集合的关系
对于Rn中的每个子集E，都存在一个Fσ型集合F，使得Fσ是E的子集，且 mF = m*E
外部可列开集的交逼近，内部可列闭集的并逼近
可测集<->Borel集、零测集
Rn上的子集E，下面的论述是等价的
E可测
存在Fσ型集合F及零测集N，使得E = F∪N
存在Gδ集合G及零测集e，使得G=E∪e
乘积空间
笛卡尔乘积
若Rp空间上A集合可测，Rq空间上B集合可测，则C = A X B 在R(p+q)空间上可测
mC = mA * mB
截口
定义
高维零测集向低维零测集的转化
R(p+q)上的子集E，则有Rp上的零测集N，使得x∈Rp-N时，mEx=0。也就是几乎对一切的x∈Rp，Ex都是Rq中的测度为0的可测子集
高维可测集向低维可测集的转化
如果E是R(p+q)上的可测集，则几乎对于所有的x，Ex都是Rq中的可测集合
第四章 可测函数
可测函数的定义及其简单性质
可测函数
定义其他形式
可测函数的性质
推论1
f(x)在E上可测，则E[x;f(x)=+∞]，E[x; f(x)= -∞]也可测
两个可测函数间的性质
若两个函数f(x)与g(x)在E上几乎处处相等，即只有在某一个零测集上不同，则若一个在E上可测，另一个也可测
这说明当函数可测时，可以任意改变函数在某零测集上的值，当然也可以令函数在零测集上没有定义
可测函数定义域性质
若f(x)在E上可测，则在其可测子集上亦可测；若在每一个子集上可测，则在至多可列个自己的并上亦可测
可测函数运算性质
若f(x)，g(x)在E上均可测
与常数相乘
常数c，使得 cf(x) a.e.有意义，则cf(x)可测
可测函数的和
f(x)+g(x) a.e.有意义，则f(x)+g(x)可测
可测函数的积
f(x)g(x)a.e. 有意义，则f(x)*g(x)可测
可测函数列的性质
定理5
推论
则f(x)在 E 上可测
定理(2)中上下极限相等
正负部
正负部均为E上非负函数
正部即取函数的正半部，负部就取函数的负半部的相反数
f (x)=f+(x)-f-(x); | f(x) |=f+(x) + f-(x)
正负部可测，则原函数和绝对值函数均可测
正负部可测与原函数的关系
原函数可测的充要条件是正负部都可测
原函数可测，则绝对值函数也可测
非负的可测函数
下方图形
def
简单函数
联系
如果ψ(x)为E上非负简单函数，则其下方图形可测
定理8
f(x)是Rn中可测集E上的非负函数，则下述互相等价
1. f(x)在E上的下方图形G(E;f)是Rn+1中的可测子集
2.f(x)在E上可测
Egoroff定理
可测函数的结构 Lusin定理
函数相对于某点连续
连续函数
若对于E上的每一点x，f(x)都在x上相对于E连续，则称f(x)是E上的连续函数
连续函数与可测函数的联系
Lusin定理
m(E-F) < ε
f(x)是F上的连续函数
依测度收敛
Lebesgue 定理
条件
E测度有限的可测集合
f(x)在E上几乎处处有限，且f(x) =lim(n->∞) fn(x) a.e.于E
结论
lim(n->∞) mE[x ; |f(x)-fn(x)|>=σ] = 0
如果对于任意σ>0，有lim(n->∞) mE[x ; |f(x)-fn(x)|>=σ] = 0，则fn(x)在E上依测度收敛于f(x)
Riesz定理
如果fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，则必有{fn(x)}的子序列{fni(x)}使得f(x) = lim(n->∞)fni(x) a.e.于E
依测度收敛于不同函数
fn(x)依测度收敛于f(x)于E，fn(x)依测度收敛于g(x)于E，则f(x) = g(x) a.e. 于E
实 变 函 数
第一章 集合及其基数
集合及其运算
集合概念
一族集合
一族集合的交
一族集合的并
互不相交的
集合族和集合族之间的关系
定理4
余集
A-B 称为B相对于A的余集
De Morgan 公式
一族集合并的补集等于其补集的交
一族集合交的补集等于其补集的并
域/代数
F是集合S生成的集合族，即F是由S的一些子集作为元素构成的集合，满足
空集∈F
S ∈ F
A，B∈ F，A交B 属于F
σ-域/σ-代数
F中一串元素的并仍属于F
最小的σ域
{空集，S}
最大的σ域
S的所有子集构成的集合
由 A 产生的 σ-域
A 由 S的子集产构成的非空集合，唯一存在S的子集σ
集合序列
某集合串有极限/收敛的
集合的上下极限
集合的上极限
{x; 有无穷多个n，使x属于An}
集合的下极限
{x; 只有有限多个n，使x不属于An}
集合的下极限为集合的上极限的子集
集合串收敛
集合的上下极限相同，则称这串集合是有极限的，收敛的
单调上升(下降)集合列
单调上升集合列
集合列的极限 = 集合列的极限并
单调下降集合列
集合列的极限= 集合列的极限交
与 σ域的关系
如果 F 为σ域，Ai 属于 F，则
An上极限 属于F
An下极限 属于F
集合的基数
映射基本概念
像/原像
满射
Y中元素都能找到原像
单射
不同的 X 不同的 Y
一 一对应
存在逆映射
像集
集合A在映射下的像集
原像集
示性函数
集合的对等和基数
对等
一个集合可以与其真子集对等（虽然不合乎常理），只有在真子集为无穷集合时才会出现
任意一个无穷集合一定可以和他自己的某一个真子集对等
可以作为无穷集合的定义，来与有限集合作区分
基数
无具体的定义
相同的基数
两集合对等的话即基数相等
不同的基数
A、B不对等，且存在B的子集与A对等，则说A的基数小于B的基数
注意
如果不加 A、B不对等的条件，则可能找到的与A对等的子集B*与B本身对等
或者说如果A 与 B的一个子集对等，则B的基数不大于A的基数<br>
Cantor 定理
Bernstein 定理
若A，B为两个集合，存在A的子集A*，B的子集B*，使得A*~B，B*~A，则A~B
意义
防止出现 A的基数<B的基数，同时 B的基数<A的基数的情况
集合之间基数的关系
P17
可数集合
可数集合/可列集合<br>
能与全体正整数所成的集合对等的集合
充要条件<br>
所有的元素都能被排列为无穷序列
所以称为可列集合
可数基数
a
与无穷集合的关系
任何无穷集合M都包含一个可数子集
理解：这说明可数集合的基数是无穷集合的基数的最小者
与本身的关系
可数集合的子集如果不是有限集合，则一定还是可数集合
与有限集合的关系
若A可数，B有限，则A∪B可数
与可数集合的关系
若A，B均可数，则A∪B可数
一般情形
有限个可数集合的并仍为可数集合
可数个可数集合的并为可数集合
全体有理数构成一个可数集合
A是一无穷集合，B是一可数集合，则A∪B ~ A<br>
不可数集合
连续基数 c
原始定义<br>
Ai都是基数小于或等于c的集合，且其中至少有一个基数等于c，则Ai的可列并基数为c
平面上单位正方形上的点构成的点集所对应的基数也为c
任意n维空间Rn中全部点构成的点集基数为c
无最大基数定理
M是任意一个集合，M'为M的全体子集构成的集合，则M'的基数>M的基数
第二章 n维空间中的点集
1. 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass 定理
概念
内点
边界点
聚点
定义<br>
任意去心邻域都有属于E的点
等价定义
极限点<br>
P27定理一<br>
习题一
内点与边界点
内点必不为边界点
边界点必不为内点
内点与聚点
内点必为聚点
聚点可能为内点
聚点与边界点
边界点定义为任意邻域都有属于和不属于E的点。聚点定义为任意去心邻域都有属于E的点。
聚点可能为边界点
（0，1]
边界点可能为聚点
是边界点但不是聚点的称为 孤立点
与E的关系
内点一定属于E
边界点，聚点不一定
导集<br>
E中 全体聚点 所成的点集为E的导集 E'
若A为B的子集，则A的导集为B的导集的子集
(A∪B)'=A'∪B'
Bolzano-Weierstrass 定理
若E为有界无穷集合，则E至少有一个聚点P (P可以不属于E)。 即E' 不为空集
闭包<br>
E∪E'称为E的闭包<br>
孤立点<br>
是 E的边界点 而不是E的聚点的点称为E的孤立点
孤立点一定属于E
所以如果这个点不是聚点，则存在某去心邻域没有E的点，又该点为边界点，所以心即该点为E中的点
孤立集合
如果E中每一个点都是孤立点，则E称为孤立集合
判定充要条件
E ∩ E' = 空集
凡孤立集合都是有限集合或是可数集合
例子
离散集合
E' = 空集
离散集合都为孤立集合
孤立集合不一定为离散集合
离散集合说E中的点分布都十分分散
2. 开集、 闭集 与 完备集
集合E中每一个点都是E的内点，则E称为开集
Rn和空集都是开集
交、并运算
有限多个开集的交仍为开集
理解：开集的交可能会破坏内点，即内点的数量会减少
任意一族开集的并为开集
向内收缩
无穷个开区间的交，可能变为闭区间
补运算
E为开集，则其补集为闭集
闭集
若E的导集E'是E的子集，即E包括了E中所有的聚点，则E称为闭集
定理
Rn和空集也是闭集； 任意的有限集合也都是闭集
有限多个闭集之并为闭集
任意一族闭集的交为闭集
无穷个闭区间的并，可能变为开区间
向外扩张
E为闭集，则其补集为开集
Borel 有限覆盖定理
F是一有界闭集，M是一族开邻域，M完全覆盖了F，则在M中一定存在有限多个邻域N1，N2...Nm它们完全覆盖了F
自密的
如果集合E中每一个点都是它自身的聚点（即没有孤立点），则E称为自密的
完备集(合)
自密的闭集称为完备集（合）
E = E'，则E为完备集和
空集就是完备集
三分Cantor集
Cantor 集
构造过程
第一步，把闭区间 [0，1] 平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3] 和 [2/3，1]。 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。
Cantor 集 是一完备集合，即Cantor集是自密的闭集，但是它显然不能包含任何区间
无处稠密的
集合E，若他的闭包不包含任何区域，则称为无处稠密的
Cantor集
Cantor集无内点
Cantor 集具有连续基数
Gδ集
可数多个开集的交不一定为开集，但称为Gδ集
Fσ集
可数多个闭集的并不一定为并集，但可称为Fσ集
Borel集
Borel 集的余集、可数交、可数并仍为Borel 集
3. p进位表数法
见课本
设D代表所有由0，1两个数字重复排列而成的序列单次；则D~（0，1）
4.一维开集、闭集、完备集的构造
定理一
任何非空的有界开集都是有限多个或可数多个互不相交的开区间的并，这些开区间的端点都不属于这个开集
定理二
设F是一非空的有界闭集，则F中必有一最大点和一最小点
定理三
设F是一非空的有界闭集，则F是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间而成，这些开区间的端点还是属于F的
定理四
5.点集间的距离
点集间的距离
集合与集合的距离
点 与 集合的距离
定理三（隔离性定理）
F1，F2是两个非空有界闭集，F1∩F2 = 空集，则有开集G1，G2使得 F1为G1子集，F2为G2子集，且G1∩G2为空
第五章 积分理论
1 非负函数的积分
分 划
分划的合并
如果称D*为D1，D2的合并，则说D*比D1，D2更细密
分划中集合之间都是互不相交的
分划所有的子集都可测
分划成的子集是有限个的
非负有界函数f在有界可测集合E上积分
前提条件
E不仅可测且测度有限 ，mE< + ∞
f(x)非负有界，0<=f(x)<=M<+∞ (未要求f(x)可测)
大小和数
在前提下，对于某分划D，定义 Bi，bi 以及分划上的 简单函数
sD 称为小和数，SD称为大和数
则有 0<=sD<=SD<=M x mE
则简单函数满足
则简单函数的下方图形满足
小和数和大和数与简单函数的测度有（后面SD打错了）
引理1
如果E上的分划D*比D更细密，则sD<=sD*<=SD*<=SD
分划更细密，则小和不增，大和不减
上下积分
在前提下，对所有关于E的分划
上积分
上积分定义为大和的下确界
下积分
下积分定义为小和的上确界
性质
上积分一定大于等于下积分
因为大和一定大于等于小和
f(x)<=g(x)时
上下积分保持不等号
当E由E1，E2分划时
上下积分也可被分划
一般下
和的下积分大于等于下积分之和；和的上积分小于等于上积分之和
无法理解
在前提下，上下积分相等的充要条件为 f(x)为E上可测函数
f(x)在E上的积分
上下积分的共同值称为f(x)在E上的积分
非负可测函数
推广理论
f(x)有界的推广
截断函数
则{f(x)}m 为E 上的非负有界函数
若这些截断函数在E上都可积（这些截断函数可测等价于可积）
In为一单调递增函数列，因而存在 lim(m->无穷) Im
这些截断函数可测，等价于这些截断函数可积
成立条件
f(x)是E上的非负函数可测函数
这些截断函数如果都在E上可积，则原函数的积分，等价于截断函数积分的极限
在f(x)为任意非负函数下，推广E为有界的条件
闭球域
如果 f 在 E上可测， 则在En上都可测，于是积分存在
Jn构成一递增的广义数列
f(x)在E上非负可测
非负可测函数积分的大小
非负可测函数在E上积分的大小为其在E上下方图形的测度
非负可测函数之间的关系
当f(x)与g()不等时，积分具有传递性
在某可测集上的积分，等于其在可测集上分划的积分之和
条件：可测集合E1，E2构成E的分划
函数和的积分 等于 其积分的和
若两个函数之间几乎处处相等
积分 与 极限换序
Levi定理
fn(x)均为E上的可测函数
fn(x)<=fn+1(x)
函数列递增
积分 与 求和换序
Lebesgue基本定理
积分 与 下极限换序
Fatou定理
2 可积 函数
非负函数向一般函数的转换
正、负部
正部
负部
正负部均为非负函数
转换
f(x) = f+(x) - f-(x)
| f(x) | = f+(x) + f- (x)
可积性
有积分的
若可测集合E上的可测函数f(x)的正部和负部在E上的积分至少一个是有限的，则称f(x)在E上是有积分的
表达式
f(x) 在E上的积分 定义为其 正部在E上的积分和 负部在E上的积分之差。
要求正负部积分至少一个有限的原因是避免出现 （+∞）-（+∞）的情况 。这样运算式将没有意义
可积的
如果在有积分的条件下， 正部在E上的积分 和 负部在E上的积分 同时都是有限的，则f(x)在E上的积分是有限的
f(x) 在E上的积分是有限的，即在E上(Lebesgue)可积
结论（由定义直接可得）
如果f（x）在E上有积分
-f(x)的积分 等于 负的f（x）的积分
f(x)的积分的绝对值 小于等于 |f（x）| 的积分
可积的其他判定法
如果 f(x)在 E上可测
f(x) 在E上可积的充要条件是 |f(x)| 在E上可积
|f(x)|可积，必定限制f（x）的积分大小使之有界
如果mE<+∞ ， 且 f(x) 在E上有界 则f（x）在E上可积
定义域和值域均有界，则积分必定有界
若f(x)可测，g(x)可积 且 f(x)<=| g(x) |， 则f(x) 在E上可积
通过Lebesgue积分 与 Riemann积分的关系(一维)
多维亦成立，但不要求掌握
可积函数值域几乎处处有界
若f(x)在E上可积， 则mE[x; f(x)= + ∞] = mE[x; f(x) = -∞] = 0
若一处不为零，则函数的上下部积分必定无界
可积的另一种判别法
有积分的函数点乘不变性
当 f(x) 在E上有积分，对于任意常数c，cf(x) 在E上亦有积分，且 cf(x) 的积分即为f(x)的积分的c倍
可积函数和的性质
有积分的函数定义域划分
f（x）在E上的积分，即为f(x)在每一个分划上的积分之和
特别的f(x) 在E上可积时，在E上任意可测子集仍可积
有积分函数的大小传递不变性
几乎处处相等的有积分函数积分值相同
f(x)在E上有积分且f(x)= g(x) a.e.于E时，g(x) 在E上也有积分，且g(x) 的积分值即为f(x) 的积分值
可积函数的连续性
积分的绝对连续性
对可积函数本身函数值的刻画，对于任意小的数ε，总能找到某一子集A，使得f(x)在A上的积分被ε控制
积分等度绝对连续
则称F是E上的积分等度绝对连续函数族
等度绝对连续，类似于一致连续性
变式
f(x)在A上的积分的绝对值<ε 可以 加强为 |f(x)|在A上的积分 小于ε
积分和极限的换序
积分等度绝对连续下的换序
Vitali定理
mE< +∞
{fn(x)}n从1到+∞是在E上积分等度绝对连续的函数序列
在E上fn(x)依测度收敛于f(x)
f(x)在E上可积
控制函数下的换序
Lebesgue 控制收敛定理
F(x)在E上可积
Lesbesgue 有界收敛定理
mE<+∞
在E上fn(x)依测度收敛至f(x)
3 Fubini定理
未看的证明<br>
Bernstein定理<br>
P20 定理7
未看的习题<br>
1.1
1.2
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