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函数极限limf(x)=A

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函数极限limf(x)=A

2019-07-17 10:51:16   0  举报

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大纲/内容

定义

⇔ A唯一

左极限右极限

左导右导

⇔ A是一个数

⇔ x→` , |f(x)|<=M 有界性 (不等式的脱帽法)

⇔ f(x) = A + α ，limα = 0 . (等式脱帽法)

主要用于抽象f(x)，多用于已知某一极限，求另一极限

多元函数f(x ，y)

计算

7种未定式

0/0

分支主题

∞/∞

分支主题

∞*0

可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为0/0型或∞/∞型

∞-∞

把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为0/0型

∞^0

0^0

1^∞

洛必达法则

化简先行

常用等价无穷小替换

sinx ~ x

arcsinx ~ x

tanx ~ x

arctanx ~ x

(e^x-1) ~ x

(a^x-1) ~ alnx

ln(1+x) ~ x

(1+x)^a-1 ~ x

1-cosx ~ 1/2 x^2

恒等变形

提取公因式

换元

令 x = 1/t

令 x - x0 = t

通分

u^v = e^(vlnu)

公式

因式分解 (a^n - b^n)=

√a-√b=(a-b)/(√a+√b)

及时提出极限 = C 不等于 0 的因式

求导

f'(x)/g'(x)

0/0型

可导

结果为0，C≠0，∞

泰勒公式

10个展开式

P11

展开原则

A/B型——上下同阶，若分母是x^k则分子展开至x^k

A-B——幂次最低，将A、B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止

存在性

具体型但洛必达失效 => 夹逼准则

抽象型 => 单调有界准则

若f(x)↑且有上界 => lim┬(x→∞)⁡[f(x)]存在

若f(x)↓且有上界 => lim┬(x→∞)⁡[f(x)]存在

应用

一切初等函数在其定义区间内必连续，故只研究两类特殊的点

无定义点

分段函数的分段点

不定

连续

内点处：x 处左导数值 = 右导数值 = 函数值

端点处

左端点右连续

右端点左连续

间断

第一类间断点

跳跃间断点

可去间断点

第二类间断点

无穷间断点

振荡间断点

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