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高数函数与极限知识框架笔记

2022-10-20 17:57:04   0  举报

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高数函数与极限知识框架笔记

高数

函数与极限

高等数学

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大纲/内容

无穷大与无穷小

无穷小

定义

定理

无穷大

定义

定理，无穷大与无穷小的倒数关系

极限运算法则

定理，无穷小和为无穷小乘积为无穷小

函数和的极限等于极限的和，反之亦然乘积同上

推论，幂次方、与常数的乘积符合上述原则

极限存在法则/两个重要极限

夹逼准则

Lim(x->0)(sinx/x)=1

柯西极限存在准则（柯西审敛原理）

lim(1+0)^00=e lim(1-0)^00=1/e

映射与函数

分支主题

原像-像 X-Y x-y Df-Rf 定义域-值域

单射

存在逆映射

满射

同时成立-一一映射

复合映射

函数

构成要素

定义域Df

对应法则f

表示方法

表格法

图形法

解析法（公式法）

类别

绝对值函数|x|

取整函数（阶梯曲线y=[x]）（非初等函数）

符号函数y=sgnx （非初等函数）

分段函数（波义耳定律（V不太小）范德瓦尔斯方程（V相当小））

反函数-直接函数

反函数关于y=x对称

复合函数（中间变量）

特性

有界性

单调性

奇偶性

周期性

特殊：狄利克雷函数（无最小正周期）非初等函数

运算

f(x)=g(x)+h(x) 偶g(x)=1/2[f(x)+f(-x)] 奇h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]

初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

特殊函数

双曲正弦shx=(e^x-e^-x)/2 双曲余弦chx=(e^x+e^-x)/2 双曲正切thx=shx/chx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)

数列的极限

收敛&发散

数轴上几何表示

收敛数列的性质

极限的唯一性

收敛数列的有界性

收敛数列的保号性

收敛数列与其子数列间的关系

推论（发散数列也可能有收敛的子数列）

函数的极限

概念

邻域半径

单侧极限

左极限

右极限

极限存在《=》左极限右极限各自存在且相等

性质

唯一性

局部有界性

局部保号性

函数与数列极限存在关系

无穷小的比较

无穷小定义

高/低/同/K阶的无穷小，等价无穷小（a~b）

定理 b=a+0(a)

应用 sinx~x e^x-1~x tanx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 (1+x^m)^1/n-1~1/n x^m ln(1+x)~x

等价无穷小的性质

反射性

对称性

传递性

函数的连续性与间断点

连续性

定义

左连续右连续

区间上的连续函数函数在该区间上连续

端点，右连续/左连续

间断点/不连续点（存在三种情况）

无穷间断点

震荡间断点

可去间断点

跳跃间断点

左右极限存在为第一类间断点否则为第二类间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性

和差积商连续性不变

反函数对应区间对应单调且连续

复合函数

对应连续（传递）

初等函数

在定义区间内连续

闭区间上连续函数的性质

最大值可等于最小值

定理一，有界性，存在最值

零点定理

介值定理

推论

闭区间一致连续性定理

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