

首页  思维导图  详情



七年级数学-有理数

2024-09-02 13:46:42   9  举报





AI智能生成

七年级数学有理数思维脑图

有理数

七年级数学

实数

模版推荐

作者其他创作

大纲/内容

有理数运算律

交换律

加法

a+b=b+a

乘法

ab=ba

结合律

加法

(a+b)+c=a+(b+c)

乘法

a(bc)=(ab)c

分配律

a(b+c)=ab+ac

有理数概念

数轴

数轴的定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴三要素

1、原点

2、正方向

3、单位长度

数轴的绘制步骤

1、画一条直线；

2、在直线上任选一个点,标记为0,在直线的右端画上一个向右的箭头表示正方向；

3、以0为起点,分别以1cm为一个单位,向右标出1、2、3、4、……,向左标出-1、-2……；

数轴的应用 

标点

比较大小

数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。

有理数的定义

整数和分数统称有理数。

整数是指能整除1的数，如0、1、2、-1，-2等，是有理数中最常见的数据类型，整数可分为正整数、负整数和零三种，两个整数的和、差及积均为整数。

分数是指一个带分母和分子的偏移数，分母又可称为底数，分子又可称为高数，它们相除而得，如2/3，3/5等等，这类有理数能表示定量关系，可用于计算。

凡能写成 p/q（p,q为整数且q不等于0）形式的数，都是有理数。

有理数大小比较

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;

（2）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;

（3）正数的绝对值越大，这个数越大;

（4）负数的绝对值越大，这个数越小。

相反数

定义

代数定义

只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数为0

几何定义

表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点的两边，并且到原点的距离相等。

性质

若a、b互为相反数，则a+b=0

互为相反数的两个数之和为0。

绝对值

定义

几何定义

在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记做 |a|。

代数定义

非负数（正数和0）的绝对值是它本身，非正数（负数和0）的绝对值是它的相反数。

若a为正数，则满足 |x|=a 的x 有两个值 ±a。

正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0。

|a| = a, a>0

|a| = 0, a=0

|a| = -a, a<0

推广知识

在数轴上，数a与数b对应点之间的距离，记作：|a-b|

去绝对值的办法

利用绝对值，直接求数值

若|a|=2,则a= ±2

若|x|=|y|，且x=-3，则y= ±3

若|-x|=-(-8),则x= ±8

已知未知数取值范围,利用定义直接化简

|x-1|+|2x-4|  (1≤x<2) ∵ 1≤ x<2 ∴ x-1 ≥ 0, 2x-4 < 0 ∴ |x-1|+|2x-4|    = (x-1)-(2x-4)    =-x+3

绝对值的非负性|a| ≥ 0

|a-2|+|b+3| = 0,求a,b的值 ∵ |a-2| ≥ 0, |b+3| ≥ 0 且 |a-2| + |b+3| = 0 ∴ |a-2| = 0, |b+3| = 0 ∴ a-2=0,b+3=0 ∴ a=2,b=-3

若│a│= 2，│b│= 5，求 ①│a+b│；② 若ab＜0，求│a+b│ 答案： ① a，b有四种组合结果为：a =2 b= 5；a =2 b= -5；a = -2 b= 5；a = -2 b= -5；所以 │a+b│= 7 或│a+b│= 3 ② 因为ab＜0，所以取a = 2 ，b = -5；或 a = - 2 ，b = - 5；

用零点分段法去绝对值

求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。 答案：最小值是4

绝对值性质

（1）若a为有理数，则 |a| ≥ 0 （非负数）。

（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。

（3）若︱a︱=a，则 a ≥ 0（非负数）;  若| a | = -a, 则 a ≤ 0（非正数）。

（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱=0,︱d︱=0,…,︱m︱=0, 即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0。

（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。

（6）若一个数的绝对值等于其相反数，则这个数为非正数。

应用 

比较大小

倒数

定义

乘积为1的两个数互为倒数。

0没有倒数

性质

若a、b互为倒数，则ab=1

互为倒数的两个数的积为1。

科学记数法

定义

把一个数表示成a(1≤a < 10, n为整数)与10的幂相乘的形式。

一般地，一个绝对值大于10的数都可以记成 ±a x10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10, n 为原数的整数的整位数减1。

a和n的取值范围

1≤a < 10

n为整数

n>0

n=0

n<0

近似数

定义

一个与实际数值很接近的数。

误差

一个数的近似值与它的准确值的差。

误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，即近似程度越高。

有效数字

近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。

从左边第一个不为0的数字起，到精确的位数止，所有数字叫做这个近似数的有效数字。

有理数分类

按定义

整数

自然数

正整数

0 (零)

负整数

分数

正分数

负分数

按性质

正(有理)数

正整数

正分数

0 (零既不是正数也不是负数，π不属于有理数！)

负(有理)数

负整数

负分数

注意点

（1）正数和零统称为非负数；

（2）负数和零统称为非正数；

（3）正整数和零统称为非负整数；

（4）负整数和零统称为非正整数。

每一个非零有理数有“符号”和“绝对值”两部分组成。

有理数比较大小

借助数轴

数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;

借助绝对值

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;

（2）正数的绝对值越大，这个数越大;

（3）负数的绝对值越大，这个数越小。

有理数运算

加法

两数相加

加法法则

（1）同号两数的相加，取加数符号，并把绝对值相加;

（2）绝对值不等异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值;

（3)  互为相反数的两数相加和为零；

（4）零与任何数相加仍得这个数。

加数+加数=和

加法是减法的“逆运算”。

多个数相加

简便方法

分组

凑整

凑零

拆分

运算律

交换律

a+b=b+a

结合律

(a+b)+c=a+(b+c)

减法

减法法则

减去一个数等于加上这个数的相反数。

被减数-减数=差

减法是加法的“逆运算”。

加减混合

统一为加法去做

乘法

两数相乘

乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相乘;

（-5）×（-3）=15 和（-7）×4=-28.

（2）零与任何数相乘都得零;

（3）乘积为1的两个有理数互为倒数；

-1/2 与 -2

（4）几个数相乘，符号由负号个数决定(奇负偶正)。

2 ×3 × 4×（-5）的积是负数

（-2）×（-3）× (-4）× (-5）的积是正数

（5）几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于0。

步骤

多个有理数相乘

运算步骤

定号

绝对值计算

简便算法

运算律

交换律

a*b=b*a

结合律

(a*b)*c=a*(b*c)

分配律

a(b+c)=ab+ac

除法

除法法则（除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数）

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;

（2）0除以一个不为0的数仍得0;

0在任何条件下都不能做除数。

（3）除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数；

（4）几个数相除，符号由负号个数决定(奇负偶正)。

转换为乘法去做

整除与被整除

表述问题

4能被2整除表达正确。

2能整除4表达正确。

为什么叫被整除？

表示被谁除的数，因此，写在前面的数叫被除数，表示能被整除。

被除数÷除数=商...余数

12÷4=3,可以说12被4整除,4整除12。

真分数与假分数

真分数

在数学上把分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。

假分数 

分子比分母大的或分子等于分母的分数叫做假分数,假分数大于或等于1。

分子不小于分母的分数都是假分数。

分母能整除分子的假分数可化成整数。

加减乘除混合运算

运算顺序(优先级问题)

1）.先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2）.若有括号，先进行括号里的运算；

3）.若含有多重括号的运算，一般先算小括号"(...)"内的，再算中括号"[...]"内的，最后算大括号"{...}"内的；

4）.括号里的运算->乘方->乘除->加减。

乘方

定义

求n个相同因数的积的运算叫做乘方。形式：aⁿ

(相同的因数 a 称为) 底数

(相同因数的个数 n 称为) 指数

(aⁿ的结果称为) 幂

乘方的结果叫做幂。

当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”

运算法则

（1）正数的任何次幂都是正数;

（2）负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。

易错点

负的2的四次方

负2的四次方

有理数的混合运算法则

“加法”和“减法”叫做第一级运算，“乘法”和“除法”叫做第二级运算。

同一级运算按照“从左到右”的顺序进行。

不同级运算的运算顺序是称算“乘除”，再算“加减”。

有括号的先算“小括号”再算“中特号 ”最后算“大括号”。

括号的运算优先级是最高的！

 Collect

Get Started

【苏教版】七年级上册数学第2章有理数（五）

 Collect

Get Started

【苏教版】七年级上册数学第2章有理数（六）

 Collect

Get Started

【苏教版】七年级上册数学第2章有理数（三）

 Collect

Get Started

【苏教版】七年级上册数学第2章有理数（一）





0 条评论

下一页