第四章级数
2020-04-14 10:04:25 0 举报AI智能生成
复变函数——级数
作者其他创作
大纲/内容
基本性质
复数项级数
收敛
实部复部分别收敛
绝对收敛
绝对收敛的两个级数，它们的积也收敛。
<font color="#c41230">★</font>证明：绝对收敛必收敛
函数项级数
在一个点收敛
若只是收敛，得不到f(z)连续 例：fn(z)=z^(n-1)-z^n
在定义区域一致收敛
Weierstrass判别法
在闭子集：内闭一致收敛
连续性得到保持：fn(z)连续，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)连续。
可导性得到保持：fn(z)连续，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)在D解析，且[Σfn(z)]'=Σfn'(z)。
可积性得到保持：fn(z)在C可积，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)在C可积，且∫c[Σfn(z)]dz=Σ∫cfn(z)dz。
幂级数
收敛半径R=1/L
<font color="#c41230">比值法</font>
<font color="#c41230">根值法</font>
<font color="#c41230">上确界根值法</font>
幂级数在收敛圆盘内闭一致收敛（优级数判别法），从而它的和函数在圆盘内解析
Talor级数
Taylor定理
f(z)在D解析👉可以展开成幂级数 <font color="#c41230">★</font>Taylor展开式的高阶导数形式
f(z)在z0解析👉在z0某个领域可以展开成幂级数
函数零点
<div>m级零点：<font color="#c41230" style="font-weight: bold;">f(z)=(z-z0)^m*φ(z) ★</font><font color="#5c5c5c">注意函数f+g (min{m,n}) ，f*g (m+n) ，f/g (|m-n|) 的零点情况</font></div>
<font color="#c41230">零点孤立性</font>：f(z)在z0解析且f(z0)=0，则<u>在z0的某个领域内</u>：f(z)=0，或在除了z0那一点外，f(z)≠0。
推论：存在点列zn→z0且f(zn)=0，那么f(z)≡0。
解析函数唯一性：f(z)<u>在D解析</u>，存在zn→z0∈D，且f(zn)=0，那么f(z)≡0。
zn→z0,有f1(zn)＝f2(zn)，则f1(z)=f2(z)。
若在某一子区域f1(z)=f2(z),那么在D内f1(z)≡f2(z)。
最大模原理：f(z)在D解析，|f(z)|在z0达到最大值，则f(z)≡c。
Laurent级数
R1<|z-z0|<R2
和函数f(z)在圆环解析⇔可展开成Laurent级数。{ 利用<b><font color="#c41230">1/(z-z0)=Σz^n</font> </b>}
解析函数的孤立奇点
首先判断是否为孤立奇点：在0<|z-z0|<R解析
可去奇点
无复次幂
z0处limf(z)=α（α是有限数）
f(z)在z0的某个领域有界
m级极点
有限项次负次幂
z0处limf(z)=∞
<b><font color="#c41230">f(z)=</font><font color="#c41230">φ(z)/(z-z0)^m</font></b>
z0是1/f(z)的m级零点
本性奇点
无限项负次幂
z0处limf(z)不存在
Weierstrass定理：对任意A，存在zn→z0，有在z0处limf(zn)=A。
Picard定理：除去一个例外值，存在zn→z0，有f(zn)=A
无穷远点是所有函数的奇点
孤立奇点
也分为三种奇点
判断0是f(1/z)的什么奇点，则∞对应是f(z)的什么奇点 <font color="#c41230">★</font>例：0是(Z^m)cos(1/z)的本性奇点
非孤立奇点
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