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第四章级数

2020-04-14 10:04:25   0  举报

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AI智能生成

复变函数——级数

级数

复变函数

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大纲/内容

基本性质

复数项级数

收敛

实部复部分别收敛

绝对收敛

绝对收敛的两个级数，它们的积也收敛。

★证明：绝对收敛必收敛

函数项级数

在一个点收敛

若只是收敛，得不到f(z)连续   例：fn(z)=z^(n-1)-z^n

在定义区域一致收敛

Weierstrass判别法

在闭子集：内闭一致收敛

连续性得到保持：fn(z)连续，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)连续。

可导性得到保持：fn(z)连续，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)在D解析，且[Σfn(z)]'=Σfn'(z)。

可积性得到保持：fn(z)在C可积，Σfn(z)内闭一致收敛于f(z)，则f(z)在C可积，且∫c[Σfn(z)]dz=Σ∫cfn(z)dz。

幂级数

收敛半径R=1/L

比值法

根值法

上确界根值法

幂级数在收敛圆盘内闭一致收敛（优级数判别法），从而它的和函数在圆盘内解析

Talor级数

Taylor定理

f(z)在D解析👉可以展开成幂级数    ★Taylor展开式的高阶导数形式

f(z)在z0解析👉在z0某个领域可以展开成幂级数

函数零点

<div>m级零点：f(z)=(z-z0)^m*φ(z)         ★注意函数f+g (min{m,n}) ，f*g (m+n) ，f/g (|m-n|) 的零点情况</div>

零点孤立性：f(z)在z0解析且f(z0)=0，则在z0的某个领域内：f(z)=0，或在除了z0那一点外，f(z)≠0。

推论：存在点列zn→z0且f(zn)=0，那么f(z)≡0。

解析函数唯一性：f(z)在D解析，存在zn→z0∈D，且f(zn)=0，那么f(z)≡0。

zn→z0,有f1(zn)＝f2(zn)，则f1(z)=f2(z)。

若在某一子区域f1(z)=f2(z),那么在D内f1(z)≡f2(z)。

最大模原理：f(z)在D解析，|f(z)|在z0达到最大值，则f(z)≡c。

Laurent级数

R1<|z-z0|<R2

和函数f(z)在圆环解析⇔可展开成Laurent级数。{ 利用1/(z-z0)=Σz^n }

解析函数的孤立奇点

首先判断是否为孤立奇点：在0<|z-z0|<R解析

可去奇点

无复次幂

z0处limf(z)=α（α是有限数）

f(z)在z0的某个领域有界

m级极点

有限项次负次幂

z0处limf(z)=∞

f(z)=φ(z)/(z-z0)^m

z0是1/f(z)的m级零点

本性奇点

无限项负次幂

z0处limf(z)不存在

Weierstrass定理：对任意A，存在zn→z0，有在z0处limf(zn)=A。

Picard定理：除去一个例外值，存在zn→z0，有f(zn)=A

无穷远点是所有函数的奇点

孤立奇点

也分为三种奇点

判断0是f(1/z)的什么奇点，则∞对应是f(z)的什么奇点    ★例：0是(Z^m)cos(1/z)的本性奇点

非孤立奇点

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