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考研线代_综合秘籍

2020-08-04 13:56:27   3  举报

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考研线性代数_综合题型秘籍

线性代数

题型

考研

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大纲/内容

版权∈ 本人所有  严禁擅自转载和商用 受法律保护

更新记录

2020.7.31 开坑 2020.8.03 第一版完成

行列式

行列式计算

具体型行列式计算

常规变形法

每一列/行 ±到 第一行/列

第一行/列 k倍 ±到 其他行/列

逐行/列 相± k倍

提公因式 or  k倍±

0很多 → 展开公式

拆开法

n阶行列式 拆开有 2^n个 n阶子行列式

加边升阶法

不等价加边 → 局部系数次数使用

等价加边

固定公式法

范德蒙 = 每行/列 -其他行/列的乘积 ex.(X2-X1)(X3-X1)(X3-X2) 副对角线=（-1)^(n的求和）× 对角线乘积 上下三角 =对角线乘积

特殊结构法

三对角行列式

三条平行对角线

逐行/列 ±k倍  →  三角形行列式

爪形行列式

两顶边+主对角线

各行/列 - 第一行/列  → 三角形行列式

异抓型行列式

高阶递推低阶法

① 找出递推公式 即Dn与Dn-1的关系【通常用余子式】 ② Dn-1与Dn要有完全相同的元素分布规律，只是Dn-1比Dn少了一阶

数学归纳法

①n=1成立 ② 假设n=k成立 ③ 验证n=k+1 成立

F(Dn,Dn-1)=0 一阶差

① n=1 or n=2 成立 ② 假设n=k-1 成立 ③ 验证n=k 成立

F(Dn,Dn-1,Dn-2)=0 二阶差

① n=1和n=2 成立 ②假设n<k成立 ③ 验证 n=k成立

抽象行列式计算

行列式性质

恒等

|A|^T=|A|   行列转置 

单列/行 可拆

k 倍 列/行 ± 另一列/行

相反数

行列互换位置  

|▲|=k |♦|

单行/列 公因式

|A|=0

两行/列  相同

两行/列 成比例

行/列元素全为0

单位矩阵E恒等变形

矩阵法则

均同阶方阵

C=AB → |C|=|AB|=|A||B|

C=A+B → |C|=|A+B| 恒等变形→化(λ-a)乘积或方程组

相似矩阵法则

|A|=λ1λ2···λn【特征值之积】

λ1+λ2+···+λn=∑tr(A)  特征值之和=迹之和

若A~B → |A|=|B|

方程分块拆分 → 行列式相等

Mij 与 Aij

行列式法则

Mij 为余子式 Aij代数余子式

第i行/列元素 × 对应代数余子式 = |A|

行列元素 × 另一行列代数余子式 =0

矩阵法则

特征值法则

证明 |A| = 0

基本性质

两行/列  相同

两行/列 成比例

行/列元素全为0

相关证明

r(A)<n

|A| = -|A|

0是特征值 因为|A|=特征值之积

奇数阶的反对称矩阵 (aii=0 aij=-aij)  → |A|=0

Ax=0 为非零解【克拉默法则】

D为系数行列式 Dn为第n列元素换成等式右边b

齐次线性方程组的系数行列式 |A| ≠0  → 方程组有唯一零解

非齐次线性方程组有 非零解 → 系数行列式 |A|=0

反证法 用A逆找矛盾

矩阵

矩阵概念

常见类型

相等矩阵

阶与对应元素完全相同

同型矩阵

行数与列数分别相等

零矩阵

元素全为0

方阵

行列阶相等

单位阵

主对角线为1，其余为0

数量阵

数k × 单位矩阵E

上/下三角阵

aij=0

对称阵

满足A^T=A   即 aij=aji

对角阵

非对角元素都是0  恒有aij=0  对角阵相乘即为主对角线相乘

反对称阵

满足A^T=A 即aij=-aji ,aii=0

等价矩阵

A经过有限次初等变换到B

正交矩阵

满足AA^T=A^A=E  

常规计算

加法

仅同型矩阵

数乘

每个元素都乘

幂乘

k个A相乘=A^k

转置

乘法

分块矩阵

初等矩阵

转置or逆后仍是初等矩阵  

经初等变换 秩不变

A等价B ←→ 存在可逆矩阵P与Q 使PAQ=B

初等n阶

矩阵运算

求A^n

A为方阵且r(A)=1

tr(A)=迹之积

借助低阶矩阵

其余阶级同理

拆分A为B+C

形如对角线及其一侧全为0的n阶矩阵  其第n次平方=0

初等矩阵相乘

相似矩阵法则

对角矩阵是A的特征值 相似P矩阵是A的特征向量 借助另外的B矩阵求A矩阵

求 A*

A为n≥2的可逆矩阵公式推导法

2阶矩阵 主对角线元素对换 副对角线元素变号

求A逆

公式推导法

二阶矩阵 主对角线对换副变号除以行|A| → 可逆矩阵

方阵可逆矩阵唯一  若AB=E 则 BA=E

基本四大方法

A可表示为若干个初等矩阵的乘积

求A正交

求矩阵方程

矩阵的秩

向量组

向量组计算

內积

(α,β)=α^Tβ=αβ^T=a1b1+a2b2+ ··· +anbn

若(α,β)=0 → α⊥β 正交

向量长度

||α||=α^Tα的根号

线性组合

k1a1+···+knan 称为a1···an的线性组合

线性相关

向量组β=k1a1+···+knan=0  (k不全为0)

线性相关

向量组β=k1a1+···+knan=0  (k全为0)

线性表出/线性表示

向量组β=k1a1+···+knan

证明线性相关

充分条件

向量组 相关 → 缩短组 向量组 相关

部分向量组 相关 → 全部向量组 相关

多数向量可由少数向量 线性表出 → 多数向量 线性相关

高维度 相关 → 低维度 相关

充要条件

n个n维向量组相关 ←→ |向量组|=0

一个向量 可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 相关

证明线性无关

充要条件

一个向量 不可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 无关

充分条件

全部向量组 无关 → 部分向量组 无关

系数全为0 也可能有一组系数使得β≠0 → 线性无关

低维度无关 → 延伸组 高维度 无关

基础性质

n维空间中 线性无关的向量组最多只有n个向量

r(A)=A的列秩=A的行秩=r 【A有r个线性无关行/列向量】

思路方法

证明线性表示(出)

充要条件

单个向量β

充分条件

向量组abc 无关，向量组abcd 相关 →  d可由abc 线性表出且唯一

s个向量组无关，前者可由t个向量组线性表出 → s≤t

a1···an可由b1···bn线性表出 则 r(a组)≤r(b组)

等价关系

向量组α和β互为线性表出且r(α)=r(β)

判断向量关系

具体向量关系

β与α向量组

α向量组

求极大无关组【不唯一】

抽象向量关系

求向量空间

线性方程组

证明齐次方程组Ax=0

证明非齐次方程组Ax=b

证明基础解系

求公共解方程组

求同解方程组

运用解向量及其性质

系数矩阵A的行向量与Ax=0的解向量正交  两向量互为转置

特征值 & 特征向量

运用特征值

运用特征向量

运用矩阵方程

相似理论

A ~ B

一般相似基础

A ~ ∧ 对角化

相似对角化求可逆矩阵P【相似标准形】

特殊矩阵相似理论

实对角矩阵

实对称矩阵 A ~ B 则λa=λb

正交矩阵

二次型

标准形 & 规范形

基础运用

线性变换性质

化标准形

配方法

正交变换法

实对称矩阵的合同

等价 VS 相似 VS 合同

判断正定二次型

正定二次型概念

证明正定性

综合细节

矩阵A=0 不等同 |A|=0

矩阵等价不等同向量组等价

A²=A 矩阵A不唯一

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