考研高数数学二
2020-09-07 13:51:42 3 举报AI智能生成
考研数学高数二
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大纲/内容
一元积分学的概念和计算
概念
不定积分
定积分：要求f(x)在[a,b]有界
定积分的定义：limn->∞∑i0->n f(i/n)1/n
定积分存在的充分条件
①f(x)在[a,b]上连续，则积分存在
②f(x)在[a,b]上单调，则积分存在
③f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则积分存在
①f(x)在[a,b]上连续，则积分存在
②f(x)在[a,b]上单调，则积分存在
③f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则积分存在
定积分的性质：
积分中值定理
变限积分
变限积分的性质：
①f(x)在[a,b]上可积，则F(x)连续(F(x)是f(x)的原函数)
②f(x)在[a,b]上连续，则F(x)上可导
①f(x)在[a,b]上可积，则F(x)连续(F(x)是f(x)的原函数)
②f(x)在[a,b]上连续，则F(x)上可导
变限积分的求导公式：
反常积分：f(x)在[a,b]可以有间断点
无穷区间的反常积分的敛散性：
无界函数的反常积分的敛散性：
判别：
①无穷区间的反常积分(1,+∞)∫1/x^pdx，在p>1时收敛，p<=1时发散
②无界函数的反常积分(0,1)∫1/x^pdx (p>0,奇点x=0),在0<p<1时收敛，p>=1时发散
①无穷区间的反常积分(1,+∞)∫1/x^pdx，在p>1时收敛，p<=1时发散
②无界函数的反常积分(0,1)∫1/x^pdx (p>0,奇点x=0),在0<p<1时收敛，p>=1时发散
积分函数的奇偶性
连续的奇函数的一切原函数都是偶函数，连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
计算
基本积分公式
换元法
凑微分法
分部积分法
反对幂指三
画表法
f(x是连续函数)区间再现法：(a,b) ∫f(x)dx=∫f(a+b-x)dx
华里士公式(点火公式)：(0,π/2) ∫sinx^ndx=∫cosx^ndx
(n-1)/n*(n-3/(n-2)*...*2/3*1) n为大于1的奇数
(n-1)/n*(n-3/(n-2)*...*1/2*π/2) n为偶数
有理函数积分
一元函数积分学的几何应用
平面图形的面积
旋转体的体积
函数的平均值
积分等式与积分不等式
多元函数微分学
基本概念
平面点集的基本概念
极限
连续
偏导数
偏导数定义：对谁求导，另一个不变
可微
A=fx(x0,y0)的导数,Bfy(x0,y0)的导数
偏导数的连续性
多元函数微分法则
链式求导规则
隐函数存在定理
多元函数的极值与最值
无条件极值
隐函数
用公式法求导dz=σz/σx*dx+σz/σy*dy
σz/σx=-F′x/F′z
σz/σx=-F′x/F′z
显函数
用链式求导法则
子主题
条件极值与拉格朗日乘数法
子主题
预备知识
函数的概念与特性
函数图像
外摆线
r=a(1-conθ)
r=a(1-conθ)
常用知识
数列
等差数列前n项和
n/2(a1+an)
等比数列前n项和
Sn=a1(1-r^n)/(1-r)
等差数列前n项和
n/2(a1+an)
等比数列前n项和
Sn=a1(1-r^n)/(1-r)
三角函数
指数运算
对数运算
一元二次方程基础
因式分解
阶乘与双阶乘
常用不等式
子主题
数列极限
极限运算规则
夹逼准则
单调有界准则
收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
函数极限
运算规则
夹逼准则
洛必达法则
泰勒公式
归结原则
无穷小比阶
连续与间断
连续点的定义
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点
震荡间断点
一元函数微分学
四则运算
商的导数
分段函数的导数
复合函数的导数与微分形式的不变性
反函数的导数
反函数的导数等于原函数的导数的倒数
原函数严格单调则一定有严格单调的反函数，且单调性相同
参数方程所确定的函数的导数
隐函数的求导法则
对数函数的导数
幂指函数的求导
高阶导数
归纳法
莱布尼茨公式
泰勒公式
变限积分求导公式
对于这样的积分需要做变量替换，令u=x-t
基本求导公式
一元函数微分学的几何应用
极值与最值
间断点也可以是极值点
单调性与极值的判别
导数>0，则函数单调增加
导数<0，则函数单调减少
导数<0，则函数单调减少
极值的第一充分条件：在极值点两侧，导数异号是充分条件极值
极值的第二充分条件：一阶导数=0，二阶导数!=0，则二阶导数<0时是极大值点，二阶导数>0时时极小值点
极值的第三充分条件：函数的n-1阶导数=0，n阶导数不为零，n为偶数时根据第二充分条件判断极值点
凹凸性与拐点的概念
凹凸性的定义：f[(x1+x2/)2] < (f(x1) + f(x2))/2是凹弧，反之是凸弧
拐点的定义：连续曲线的凹弧和凸弧的分界点
凹凸性与拐点的判别
二阶导数>0是凹弧，反之是凸弧
二阶可导点是拐点的必要条件：二阶导数存在，且为曲线上的拐点，则二阶导数=0
判别拐点的第一充分条件：二阶导数存在，且在该点的左右邻域内二阶导数异号
判别拐点的第二充分条件：f(x0)二阶导数=0，且三阶导数!=0，则x0该点为拐点
判别拐点的第三充分条件：在x0点n阶可导，且n-1阶导数=0，n阶导数!=0，则当n为奇数时x0位拐点
渐近线
铅垂渐近线，该点极限为无穷大
水平渐近线，该点极限为常数
斜渐近线，k=limx->∞ f(x)/x，b=lim(x->∞)f(x)-kx，则y=kx+b就是一个斜渐近线
最值的取值范围
①求定义域内的驻点和不可导点处的函数值
②求定义域两端的极限，若定义域为无穷大就求无穷大的极限
③比较①，②的结果，确定最值范围
②求定义域两端的极限，若定义域为无穷大就求无穷大的极限
③比较①，②的结果，确定最值范围
做函数图形
①确定函数f(x)的定义域，并考察是否奇偶对称
②求出f(x)的一阶二阶导数，用f(x)及f(x)的一阶和二阶导数的无定义点，=0点和不存在点，将定义域划分为若干子区间，确定函数图形在各个子区间的单调性凹凸性，进而确定函数的极值点和拐点
③确定渐近线，如果有的话
④做函数图形
②求出f(x)的一阶二阶导数，用f(x)及f(x)的一阶和二阶导数的无定义点，=0点和不存在点，将定义域划分为若干子区间，确定函数图形在各个子区间的单调性凹凸性，进而确定函数的极值点和拐点
③确定渐近线，如果有的话
④做函数图形
中值定理
有界与最值定理
介值定理
平均值定理
零点定理
费马定理
f(x)在x0点处可导并取极值，则f(x)的导数=0
罗尔定理
f(x)满足[a,b]上连续且可导，f(a)=f(b)，
则存在一点ε在(a,b)内使f(ε)的导数=0
则存在一点ε在(a,b)内使f(ε)的导数=0
罗尔定理的使用：通过乘积求导公式构造辅助函数
拉格朗日中值定理
f(ε)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
柯西中值定理
泰勒公式
积分中值定理
∫a->bf(x)dx=f(ε)(b-a)
导数零点定理
f(x)在[a,b]上可导，证明到f+(a)导数*f-(b)导数<0，则存在ε在(a,b)上使f(ε)导数=0
零点问题与微分不等式
零点定理：主要用于证明跟的存在性
单调性：用于证明跟的唯一性
罗尔原话：f(x)的n阶导数至多有k个跟，则f(x)至多有k+n个跟
实系数齐次方程至少有一个实根
微分不等式
①用函数性态（单调性，凹凸性，极值，最值）证明不等式
②用常数变量化证明不等式，在例如ln(n/s)>2(b-a)/(b+a)的计算中可以把b看成x，或者把a看成x，或者把b/a看成x
③用中值定理证明不等式，主要用拉格朗日中值定理和泰勒公式
①用函数性态（单调性，凹凸性，极值，最值）证明不等式
②用常数变量化证明不等式，在例如ln(n/s)>2(b-a)/(b+a)的计算中可以把b看成x，或者把a看成x，或者把b/a看成x
③用中值定理证明不等式，主要用拉格朗日中值定理和泰勒公式
解题方法：
①化简找对应的函数
②求导找单调性，找极值点
①化简找对应的函数
②求导找单调性，找极值点
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