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矩阵论

2020-12-24 13:03:13   17  举报

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工程数学矩阵论复习

矩阵论

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大纲/内容

线性空间

线性空间的定义

n维向量空间

多项式空间

线性空间的基本性质

线性相关与线性无关

求线性空间的维数（最大线性无关向量个数）

若V中能找到m个线性无关向量，则dim(V)>=m

任一向量可以由同样m个向量线性表出，则dim(V)<=m

基、坐标和变换矩阵

求基下的坐标

多项式之间的运算可以转换为坐标的运算

两组基的变换矩阵

向量空间通过逆矩阵求解P

多项式通过构造两组基间线性关系求解<br>

当直接计算复杂时，考虑用标准基表示两组基

子空间

子空间的基一定可以扩充为Vn中的基

子空间的交与和

dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=dimW1+dimW2

和空间与直和

充要条件为W1和W2的交空间只有零向量

定理：V1是Vn子空间，那么必定存在子空间V2使得V1V2直和等于Vn

线性变换与矩阵表示

线性变换的定义

线性变换矩阵表示：TB1=B2A

线性变换的核与值域

定理：Vn到Vm的线性变换T，则nullT+rankT=n

子空间与不变子空间

不变子空间

不变子空间简化T的矩阵表示

如果Wi都是T的不变子空间，则Vn=W1...Ws的直和，T在B下的矩阵是对角块矩阵

特征值、特征向量和可对角化

求解特征值与特征向量<br>

线性变换的特征子空间

几何重数：T关于任一特征值的所有特征向量加上零向量组成的空间维数

代数重数：特征多项式f(λ)=(λ-λ1)^n1...(λ-λs)^ns 其中的ni即为特征值λi的代数重数

任何特征值得几何重数不大于其代数重数

可对角化

证明线性变换可对角化：T在基B下的矩阵为对角矩阵

T有n个线性无关的特征向量

每个特征值的几何重数等于代数重数

T可对角化，则：T在基B下的矩阵A，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，该矩阵对角线为A的特征值，且P的列向量为A的特征向量

计算对角矩阵

特征多项式和最小多项式

方阵

方阵的迹等于特征值的和

方阵的行列式的值等于所有特征值的乘积

方阵的多项式g(t)-->g(A)

求解方阵多项式的特征值特征向量

λi为方阵A的特征值，g(A)的特征值为g(λi)

特征向量与A相同

幂零矩阵

A^k=O

幂零矩阵特征值为0

AB,BA特征多项式转换

定理：A:m×n B:n×m，则AB,BA的特征多项式转换为：fAB(λ)=λ^m-nfBA(λ)

零化多项式

g(A)=O

Cayley-Hamilton定理的应用

A的特征多项式为其零化多项式

求解A的多项式时，可以通过带入A的特征多项式为O的性质简化计算

最小多项式

A的零化多项式中次数最低的首一多项式，记为mA(λ)

λ0是A的特征值，其充要条件是λ0是最小多项式的根

求解A的最小多项式

1.求解A的特征多项式

2.从最低次检验，带入(A-λ1)^i(A-λ2)^j...=O时则为最小多项式

A为对角块矩阵时最小多项式为方阵块的最小多项式的最小公倍式

矩阵的秩

定理：rankA+rankB-n<=rank(AB)<=min{rankA,rankB}

方阵的特征子空间

A关于λ0的所有特征向量加上零向量的集合组成

几何重数与代数重数与线性变换的特征子空间中定义类似

证明n阶方阵A可对角化：充要条件是A的最小多项式必须没有重根

矩阵的Jordan标准形

Jordan块、Jordan矩阵

特征值的k级根向量

定理：A关于λ0的不同级的根向量是线性无关的

定理：A关于不同特征值的根向量是线性无关的

会求解λ的各级根向量

求解可逆矩阵P将方阵A化为Jordan标准型，即P-1AP=J

Jordan标准型性质

求解Jordan块的乘方，如J^5

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