高等数学知识点总结
2021-04-26 16:21:56 0 举报AI智能生成
登录查看完整内容
总结了高等数学上下册中常用的知识体系，不论是考研还是期末考试，都是一份不错的复习材料哦！
作者其他创作
大纲/内容
高等数学
极限与连续
数列极限
定义
ε-N
性质
唯一性
有界性
保号性
函数极限
ε-δ
ε-X
局部有界性
无穷小与无穷大
无穷小
函数
极限为0
0±0=0
K×0=0(k为常数)
f(x)=A(x→x0) ⇔ f(x)=A+α
α→0，|β|<M，则αβ→0
无穷大
1/∞=0
极限的运算法则
四则运算
求导法则
复合函数求导法则
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则
迫敛定理（夹逼定理）
单调有界数列必有极限
两个重要极限
无穷小的比较
比较
高阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
常见等价无穷小(三类)
函数的连续性与间断点
连续
f(x)在某点连续
左连续
右连续
间断点及其分类
分类
可去间断点f(a+0)=f(a-0)≠f(a)
跳跃间断点f(a+0)≠f(a-0)
连续函数运算及初等函数连续性
连续函数运算
复合运算
初等函数连续性
结论
初等函数在其定义域内是连续的
闭区间连续函数性质
成立
最值定理
有界定理
零点定理
介值定理
导数与微分
导数
等价定义
可导 => 连续
可导 <=> 左导数=右导数
求导公式
四则法则
反函数求导法则
高阶导数
二阶导数
n阶
求解方法
归纳法
公式法
“此消彼长”
隐函数及由参数方程确定的函数求导
隐函数
方法：求dy/dx，将y看成关于x的函数即可，即y=φ(x)
参数方程确定的函数求导
方法：利用中间变量转化即可
注意认清谁对谁求导
微分
△x=dx△y=dy+o(△x)
其中A=f'( x。)
其中f(x)可导，不限制在x。处
工具
公式(基本初等函数微分公式)
四则
复合
一阶微分形式不变性
近似计算
前提：x=x。处可微
微分中值定理与导数应用
微分中值定理
罗尔(Rolle)中值定理(R)
拉格朗日(Lagrange)中值定理(L)
f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)
柯西(Cauchy)中值定理(C)
洛必达法则
0/0 或 ∞/∞ 型极限求解
0/0
若f'(x) / F'(x) = A（x->a）不存在，只能说明洛必达法则用不了，不能说明极限不存在
∞/∞
泰勒(Taylor)公式
设f(x)在x=x。的邻域内b style=\
拉格朗日型余项
皮亚诺型余项
麦克劳林公式
公式(x->0时做替换)
函数单调性与曲线凹凸性
单调性
凹凸性
极值和最值
函数极大值与极小值
x=a为f(x)极值点 => f'(a)=0或不存在
x=a为f(x)极值点且f(a)可导 => f'(a)=0
极值求解步骤
找出x∈D
f'(x)=0/不存在 ＝> x=?
判别法
方法一（第一充分条件）
x>a时f'(x)>0 x<a时f'(x)<0
x=a为极小点
x>a时f'(x)<0 x<a时f'(x)>0
x=a为极大点
方法二（第二充分条件）
f''(a)>0
f''(x)<0
函数最大值与最小值
函数图像描绘
渐近线
水平
铅直
斜
弧微分与曲率
弧微分
y=f(x)
参数方程
曲率与曲率半径
...
不定积分
原函数
一个函数有原函数，则一定有无数个原函数
一个函数任意两个原函数之间相差常数
设F(x)为f(x)的一个原函数，F(x)+C为f(x)一切原函数，则F(x)+C为f(x)的不定积分，记 ∫f(x)dx
∫f(x)dx=F(x)+C
不定积分基本公式
不定积分的性质
积分方法
第一类换元积分法
公式
第二类换元积分法
使用场景
出现 √￣，第一类换元无法解决
平方和差的形式，第一类换元无法解决
分部积分法
有理函数不定积分
真分式与假分式
步骤——∫R(x)dx
R(x)为假分式=>R(x)=多项式+真分式
R(x)为真分式=>分子不变，分母因式分解=>拆成部分和
特殊类型
定积分及其应用
定积分
和的微积分等于微积分的和
常数k可以提出来
积分区间可分段计算
积分中值定理
积分基本公式
变限积分的函数
牛顿-莱布尼茨公式
积分中值定理推广
换元积分与分部积分
换元积分
注意积分上下限也随之变化
分部积分
反常积分(广义积分)
正常积分？
① 积分区间有限② f(x)在积分区间内连续或有有限个第一类间断点
两类反常积分
积分区间无限
收敛
发散
(-∞，+∞)
取区间一点分段计算
Γ-函数
形式
Γ(α+1) = αΓ(α)
Γ(n+1)=n!
Γ(½) = √π
无界函数反常积分
a为瑕点
b为瑕点
瑕点在ab之间
应用
元素法思想
几何应用
面积
体积
旋转体
截口面积已知的几何体
弧长
物理应用
功
力
微分方程
一些基本概念
含有导数或者微分的方程。若微分方程中只含有一个自变量，一个函数关系称为常微分方程
微分方程的阶
设y为x的函数，则x，y的微分方程中，导数或微分的最高阶称为微分方程的阶
微分方程的解
通解
解中含有n个相互独立的任意常数
特解
解中不含常数
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
解法
齐次微分方程
一阶线性微分方程
一阶齐次线性微分方程
一阶非齐线性微分方程
通解（常数变易法）
可降阶的高阶微分方程
降阶还原为一阶即可
高阶线性微分方程
基本概念
n阶齐次线性微分方程n阶非齐线性微分方程
线性有关:若φ(x)与g(x)之比为常数，则~线性无关:~
结构
y''+a(x)y'+b(x)y=0 (1)y''+a(x)y'+b(x)y=c(x) (2)
常系数齐次线性微分方程
二阶
y''+py'+qy=0
特征方程λ²+pλ+q=0
△>0
△=0
△<0
高阶
常系数非齐线性方程
y''+py'+qy=f(x)
对于一个非齐线性方程，其通解=齐的通解+本身的一个特解所以关键是找出本身的一个特解
P1，P2为多项式
向量代数与空间解析几何
向量及线性运算
向量
向量相等
向量的模，向量夹角
向量的线性运算
加法
平行四边形法则
三角形法则
减法
从被减向量指向减向量
与常数相乘
空间直角坐标系
xyz轴必须逆时针
向量线性运算的代数表示
向量的模，方向角与方向余弦，投影
模
方向角，方向余弦
单位向量
与a方向相同，长度为1的向量，记 ā°
方向角
方向余弦
cosα，cosβ，cosγ
cos² α + cos² β + cos² γ =1{cosα，cosβ，cosγ} = ā°
投影
表示AB在u轴上的投影
向量数量积与向量积
数量积（向量参与运算，结果为数）
交换律
数量积(点乘)为0，向量垂直
代数描述
向量积（向量参与运算，结果还是向量）
几何
方向：右手准则
大小：
代数
三角形面积
向量应用（一）——平面及方程
空间曲面
特殊情形——平面
点法式：A( x - x。)+B( y - y。)+C( z - z。)
截距式：
一般式：Ax+By+Cz+D=0
平面夹角（不超过90°）
向量应用（二）——空间直线
直线方程
点向式（对称式）：
参数式：
一般式：两平面公共线
L方向向量s：两平面法向量向量积（两法向量均与s垂直）
其他
夹角
两向量
两平面
两直线
直线与平面
距离
两点之距
点到平面之距
平面束
定义：经过直线L的所有平面称L的平面束
平面束方程
空间曲面及方程
柱面
投影曲线：柱面在xoy内的投影
旋转曲面
曲线L
绕x轴旋转
绕y轴旋转
空间曲线及方程
空间曲线形成
一般形式
参数式
曲线特殊形式——直线
投影曲线
多元微分学及应用
理论
多元函数基本概念
平面点集
去心邻域
领域
开集
连通
区域
多元函数概念
多元函数极限
连续性与性质
连续性
偏导数
偏增量
全增量
计算时将另一个变量看做常数即可
高阶偏导数
二阶偏导数
若f'(x)对x可偏导
二阶混合偏导数
若f'(x)对y可偏导
若两个二阶混合偏导数皆连续，则两者相等
全微分
二元函数全微分定义
dz=Adx+BdyA=f'xB=f'y
多元复合函数求导法则
隐函数求导
一个约束条件
一个一元函数
做法
一个二元函数
两个约束条件
空间曲线切线 & 法平面
一般式
空间曲面切平面 & 法线
方向导数与梯度
方向导数
二元
三元
计算方法
梯度
梯度的方向是函数增长速度最快的方向
梯度的方向是方向导数取得最大值的方向
代数——多元函数极值
（参考函数极值定义）
计算
无条件极值
条件极值
重积分
二重积分定义与性质
和的积分=积分的和，系数可提取
区间可分段计算
1的重积分等于积分区域面积
函数大，重积分大
二重积分计算
直角坐标法
x型区域
y型区域
极坐标法
特征
方法
三重积分
铅直投影法
切片法
柱面坐标法
球面坐标法
重积分应用
⑩ 曲线与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
和的积分=积分的和，常数可提取
1的积分等于弧长L
函数大，积分大
L为直角坐标形式
L为参数式形式
对坐标的曲线积分
2-dim
3-dim
.......
直角坐标
格林公式
注意点(关于两个前提条件)
格林公式为闭区域，若不是……
若在D内不连续，则选择挖去包含间断点在内的小区域D'，再进行计算
曲面积分
对面积的曲面积分
计算方法（二重积分法）
对坐标的曲面积分
P在有侧曲面Σ上对坐标y，z的曲面积分
计算方法——二重积分法
高斯公式
Ω是几何区域，Σ为Ω的外表面P，Q，R在Ω上连续可偏导
三维空间对坐标的曲面积分
基本计算方法——定积分法
斯托克斯公式
说明
dydz=cosαds，dzdx=cosβds，dxdy=cosγds
Σ的界与 Γ的方向按右手法则确定
场论的几个概念
散度
旋度
流量
环流量
积分的核心问题：关于域与界的关系
⑪ 级数
常数项级数
几何级数
p-级数
调和级数
p-级数中p=1时
和的级数=级数的和，常数可提取
级数中增加，删除，修改有限次，级数敛散性不变，但结果不一样
添加括号，级数收敛性不降低(发散变收敛，收敛变更收敛...)
若[常数级数]收敛，则an=0(n->∞)，反之则不成立
审敛法
正向级数
比较法
比较法极限形式
比值法
根值法
交错级数
定义：交错级数是正项和负项交替出现的级数
审敛法——莱布尼茨审敛法
绝对收敛与条件收敛
幂级数
函数项级数
收敛点
收敛域
和函数
基本定理(Abel)
傅里叶级数
收藏
收藏
0 条评论
回复 删除
下一页
