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数项级数

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数项级数

2021-06-20 13:57:08   26  举报

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大纲/内容

任意项级数

Cauchy收敛原理（充要条件）

莱布尼茨级数（交错级数）

un单调减少且收敛于0

Abel判别法

Abel变换

Abel引理

ak单调，Bk有界M：<span class="equation-text" contenteditable="false" data-index="0" data-equation="\mid\sum_{k=1}^p a_{k}b_{k}\mid\leqq M（\mid a1\mid+2\mid ap \mid）"><span></span><span></span></span>

A-D

an单调有界，bn级数收敛

an单调趋于0，Bn有界

绝对收敛vs条件收敛

加法交换律

乘法

Cauchy乘积 c2=a1b2+a2b1

an，bn收敛，cn不一定收敛

正方形排列 d2=a1b2+a2b2+a2b1 

an，bn收敛，dn收敛

an，bn绝对收敛，aibj任意排列方式都收敛，和=正方形排列,（an求和）·（bn求和）

无穷乘积

收敛性

部分积数列收敛到非零数P

必要条件

lim pn=1

 lim Pn（m项后所有项之积）=1

Wallis公式&Viete公式

敛散性判别-无穷级数（充要）

ln（pn）收敛

pn=1+an，an收敛

an收敛，pn=1+an收敛充要条件

an^2收敛

反例！

绝对收敛

ln（pn）绝对收敛

（1+an）绝对收敛

(1+|an|)收敛

级数|an|收敛

Stirling公式

基本性质

定义（收敛性）

部分和数列收敛

必要条件：通项构成的数列为无穷小量

反例：p级数

满足加法交换律

加括号后收敛不保证原来就级数收敛P5

上下极限

定义：极限点集合的最值

收敛的充要条件：上下极限相等

充要条件：2

运算

加：和的上极限不大于上极限的和；和的下极限不小于下极限的和

乘法（非负）：积的上极限不大于上极限的积；积的下极限不小于下极限的积

正项级数

收敛定理（充要）：部分和数列有上界

比较判别法

xn<=Ayn

大收敛小收敛；小发散大发散

极限形式：lim（xn/yn）=l

0<l<正无穷：同敛散

0<=l<正无穷：yn敛xn敛

0<l<=正无穷：yn散xn散

Cauchy判别法

通项开n次方

d'A判别法

后项比前项

Raabe判别法

lim n·(xn/xn+1 -1)=r

r>1收敛

积分判别法

用级数敛散性证明积分敛散性

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