数值分析
2021-06-27 16:25:31 1 举报AI智能生成
数值分析
作者其他创作
大纲/内容
引论
计算方法研究的对象和特点
常采用的处理方法
构造性方法
离散化方法<br>
递推化方法
迭代法
近似替代法
以直代曲法
化整为零法
外推法
数学基础
微积分
罗尔定理和微分中值定理
介值定理及推论<br>
泰勒公式
积分中值定理
高等代数
多项式
行列式
初等矩阵
特殊三角阵
数值计算的误差与有效数字
误差的来源与分类
按来源分<br>
固定误差
模型误差
观测误差
计算误差
截断误差
舍入误差
误差的传播与积累
蝴蝶效用>>病态问题
误差与有效数字
绝对误差与相对误差
绝对误差限
有效数字
数值运算的误差估计
函数运算的误差估计
一元函数
子主题
多元函数<br>
子主题
算数运算的误差估计<br>两个近似数X1,X2<br>
误差限分别进行加减乘除运算得到误差限
数值计算中的一些基本原则
避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
避免两个相近的数相减
防止大数“吃掉”小数的现象
简化计算步骤，减少运算次数
选用数值稳定性好的算法
非线性方程求根
引言
非线性方程的一般形式：f(x) =0<br>
代数方程<br>
f(x)=a0+a1x+……+anxn （an0）<br>
超越方程
f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超越函数
用数值方法求解非线性方程的步骤
（1）找出隔根区间（只含一个实根区间）
（2）近似跟的精确化
从隔根区间内的一个或多个点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值
方程求根的二分法
定理1（介值定理）设函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个根。
定理2 设x*为方程f(x)=0在[a, b]内唯一根，且f(x)满足f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间[an, bn] 的中点xn满足不等式<br>
子主题
迭代法及其收敛性
不动点迭代法
不动点的存在性与迭代法的收敛性
迭代收敛的加速方法
Newton迭代法
Newton迭代法及其收敛性
几何意义：切线法
简化Newton迭代法（平行弦法）
弦截法（割线法）
用差商近似导数
Newton下山法
可用下山法保证收敛，Newton法加快速度
重根情形
线性方程组的直接解法
引言
Gauss消元法<br>
基本思想：逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的上三角方程组求解。
列主元素消元法
（列主元素的三角分解定理）若A非奇异，则存在排列阵P使PA＝LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵。
矩阵三角分解法
Doolittle分解法
Crout分解法
对称正定矩阵的Cholesky分解法
三对角方程组的数值解法
向量和矩阵的范数
向量的范数
定义
非负/正定性
齐次性
三角不等式
分类
2-范数
∞-范数
1-范数
p-范数
向量序列的收敛性
在Rn中的一个向量序列X(1)，X(2)，……，X(k)，……称为收敛于一个向量X，当且仅当
矩阵的范数
定义
非负性/正定性
齐次性
三角不等式
相容性
分类
列范数
行范数
谱范数
谱半径、谱范数与方阵的F-范数
定义
谱半径
设n阶方阵A的特征值为1 ,2 ,…, n ，则<br> 最大特征值集为谱半径
定理：（特征值上界：A的谱半径不超过A的任何一种算子范数）
误差分析
病态方程
条件数
扰动分析
扰动矩阵
扰动向量
线性方程组的迭代解法
迭代法的基本思想
定义
对于给定方程组x=Bx+f，用迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,……)逐步代入求近似解的方法称迭代法；
Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
Jacobi迭代法
Gauss-Seidel 迭代<br>
迭代法的收敛性
超松弛迭代
分块迭代法
数值插值方法
基本概念
Lagrange插值
分段低次插值
均差和Newton插值<br>
Hermite插值
三次样条插值
数据拟合方法
最小二乘法<br>
Bezier曲线
正交多项式
定义
（f,g） = ∫ρ(x)f(x)g(x)dx = 0 为以ρ(x)为权函数的内积<br>积分（函数相乘），结果为0，在两个函数在积分限上带权正交<br>
最佳平方逼近
数值积分和数值微分
数值积分概述
求积公式和它的代数精度
插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式<br>
外推原理与Romberg求积公式
Gauss求积公式
常微分方程的数值解法<br>
引言
简单的数值方法
Runge-Kutta方法
单步法的收敛性和稳定性<br>
线性多步法
一阶常微分方程组和高阶方程
公式定义<br>
简化的Newton迭代法：迭代公式
弦截法：迭代公式
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