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数值分析

2021-06-27 16:25:31   1  举报

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大纲/内容

引论

计算方法研究的对象和特点

常采用的处理方法

构造性方法

离散化方法

递推化方法

迭代法

近似替代法

以直代曲法

化整为零法

外推法

数学基础

微积分

罗尔定理和微分中值定理

介值定理及推论

泰勒公式

积分中值定理

高等代数

多项式

行列式

初等矩阵

特殊三角阵

数值计算的误差与有效数字

误差的来源与分类

按来源分

固定误差

模型误差

观测误差

计算误差

截断误差

舍入误差

误差的传播与积累

蝴蝶效用>>病态问题

误差与有效数字

绝对误差与相对误差

绝对误差限

有效数字

数值运算的误差估计

函数运算的误差估计

一元函数

子主题

多元函数

子主题

算数运算的误差估计 两个近似数X1,X2

误差限分别进行加减乘除运算得到误差限

数值计算中的一些基本原则

避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值

避免两个相近的数相减

防止大数“吃掉”小数的现象

简化计算步骤，减少运算次数

选用数值稳定性好的算法

非线性方程求根

引言

非线性方程的一般形式：f(x) =0

代数方程

f(x)=a0+a1x+……+anxn （an0）

超越方程

f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超越函数

用数值方法求解非线性方程的步骤

（1）找出隔根区间（只含一个实根区间）

（2）近似跟的精确化

从隔根区间内的一个或多个点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值

方程求根的二分法

定理1（介值定理）设函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个根。

定理2 设x*为方程f(x)=0在[a, b]内唯一根，且f(x)满足f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间[an, bn] 的中点xn满足不等式

子主题

迭代法及其收敛性

不动点迭代法

不动点的存在性与迭代法的收敛性

迭代收敛的加速方法

Newton迭代法

Newton迭代法及其收敛性

几何意义：切线法

简化Newton迭代法（平行弦法）

弦截法（割线法）

用差商近似导数

Newton下山法

可用下山法保证收敛，Newton法加快速度

重根情形

线性方程组的直接解法

引言

Gauss消元法

基本思想：逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的上三角方程组求解。

列主元素消元法

（列主元素的三角分解定理）若A非奇异，则存在排列阵P使PA＝LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵。

矩阵三角分解法

Doolittle分解法

Crout分解法

对称正定矩阵的Cholesky分解法

三对角方程组的数值解法

向量和矩阵的范数

向量的范数

定义

非负/正定性

齐次性

三角不等式

分类

2-范数

∞-范数

1-范数

p-范数

向量序列的收敛性

在Rn中的一个向量序列X(1)，X(2)，……，X(k)，……称为收敛于一个向量X，当且仅当

矩阵的范数

定义

非负性/正定性

齐次性

三角不等式

相容性

分类

列范数

行范数

谱范数

谱半径、谱范数与方阵的F-范数

定义

谱半径

设n阶方阵A的特征值为1 ,2 ,…, n ，则  最大特征值集为谱半径

定理：（特征值上界：A的谱半径不超过A的任何一种算子范数）

误差分析

病态方程

条件数

扰动分析

扰动矩阵

扰动向量

线性方程组的迭代解法

迭代法的基本思想

定义

对于给定方程组x=Bx+f，用迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,……)逐步代入求近似解的方法称迭代法；

Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代

Jacobi迭代法

Gauss-Seidel 迭代

迭代法的收敛性

超松弛迭代

分块迭代法

数值插值方法

基本概念

Lagrange插值

分段低次插值

均差和Newton插值

Hermite插值

三次样条插值

数据拟合方法

最小二乘法

Bezier曲线

正交多项式

定义

（f,g） = ∫ρ(x)f(x)g(x)dx = 0  为以ρ(x)为权函数的内积 积分（函数相乘），结果为0，在两个函数在积分限上带权正交

最佳平方逼近

数值积分和数值微分

数值积分概述

求积公式和它的代数精度

插值型求积公式

Newton-Cotes 求积公式

外推原理与Romberg求积公式

Gauss求积公式

常微分方程的数值解法

引言

简单的数值方法

Runge-Kutta方法

单步法的收敛性和稳定性

线性多步法

一阶常微分方程组和高阶方程

公式定义

简化的Newton迭代法：迭代公式

弦截法：迭代公式

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