快速幂

2021-10-20 09:09:16   40  举报

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快速幂

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大纲/内容

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以[公式]的时间复杂度计算乘方。

思考

7的10次方，怎样算比较快？

方法1：最朴素的想法，7*7=49，49*7=343，... 一步一步算，共进行了9次乘法。

方法2：先算7的5次方，即7*7*7*7*7，再算它的平方，共进行了5次乘法。

方法3：先算7*7得49，则7的5次方为49*49*7，再算它的平方，共进行了4次乘法。

实现

递归快速幂

思路

二分法，可以得到一个递归方程：

计算a的n次方： <ul><li>如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；</li><li>如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a；</li><li>递归出口是a的0次方为1。</li></ul>

实现

//递归快速幂 int qpow(int a, int n) {     if (n == 0)         return 1;     else if (n % 2 == 1)         return qpow(a, n - 1) * a;     else     {         //这个temp变量是必要的, 不然的话会导致整个算法就退化为O(n)         int temp = qpow(a, n / 2);         return temp * temp;     } }

优化

递归虽然简洁，但会产生额外的空间开销。

非递归快速幂

思路

我们把10写成二进制的形式，也就是 （1010）。

现在我们要计算 （1010），可以怎么做？

我们很自然地想到可以把它拆分为（1000）+（10）

实际上，对于任意的整数，我们都可以把它拆成若干个（10....）的形式相乘。

7^（1000）、7^（10）恰好就是7^8、 7^2,  我们只需不断把底数平方就可以算出它们。

实现

//非递归快速幂 int qpow(int a, int n){     int ans = 1;     while(n){         //如果n的当前末位为1         if(n&1){             //ans乘上当前的a               ans *= a;           }         //a自乘         a *= a;            //n往右移一位             n >>= 1;            }     return ans; }

应用

模意义下取幂: 计算 x^k % n.

取模的运算不会干涉乘法运算，因此我们只需要在计算的过程中取模即可

实现

//非递归快速幂 int qpow(int a, int n, int mod){     int ans = 1;     while(n){         //如果n的当前末位为1         if(n&1){             //ans乘上当前的a并取模              ans = ans * a % mod;           }         //a自乘并取模         a = a * a % mod;            //n往右移一位             n >>= 1;            }     return ans; }