小学数学1
2022-01-12 21:10:36 5 举报AI智能生成
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这是一篇关于小学数学的思维导图，该思维导图详细剖析小学数学内容的框架和知识点，适用于考前复习，也可以综合其他资料使用。
作者其他创作
大纲/内容
多位数乘一位数
乘法的意义
乘法口诀
两位数乘以两位数
岁数
倍的认识
一个因数不变另一个因数乘（或➗）几（０除外）积也×几或➗几
积的变换规律
三位数×两位数
乘法
100以内加法
20以内的进位加法
进位位
万以内加法
小数加法
分数的加法
加法
除数是一位数的除法
计算方法
除数是两位数的除法
被除数和商的变化相同
除数和商的变化相反
商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数
除数✖商＋余数=被除数
（被除数-余数）➗商=除数
公式
商的变换规律
除法的意义
表内除法
被除数和除数同时扩大或同时缩小
除数不变被除数扩大或缩小商随着扩大或缩小
被除数不变除数缩小商也扩大除数扩大商缩小
除法中的变化规律
两个数相除商叫比值
表示两个数的关系可以用分数表示
同时除或同时乘（0除外）值不变
性质
两个分数的比同时乘分母的最小公倍数
两个小数比先化成整数比
化简比
把比先写成除号在算他是比值不是比
求比值
除法是一种运算
分数是一个数
比是两个数的关系
区别
已知单位一的量用乘法
未知单位一的量用除法
几分之几=甲÷乙=5分之3
甲=几分之几×乙=5分之3×5
乙=几分之几÷甲=5分之3÷3
甲3乙5
甲比乙多或少几分之几
分数应用题基本数量关系（把分数看成比）
把一个量安比分配
按比例分配
找出单位1的量，先画出单位1，标出已知与未知
找出数量的关系
等量关系
列方程
两个量画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图
画线段图
分数乘法和比的应用
比
表示两个比相等的式子叫比例
组成比例的四个数叫做比例的项
两端的两项叫做外项
中间的两项叫做内项
比例的意义
在比例里两个外项的积等于两个内项的积
比例的基本性质
比表示两个量相除关系，它有两项（即前项、后项）
比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个外项，两个内项）
1
比有基本性质，它是化简比的依据
比例也有基本性质，它是解比例的依据
2
比和比例的区别
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也叫做商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系
用字母表示：x/y=k（k一定）
成正比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也变化，如果这两种量中相对应的两个数积一定，这两个量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系
用字母表示：XxY=K(k一定）
成反比例的量
判断两种量是成正比例还是成反比例的方法：关键看这两个相关联的量的两个数的商一定还是积一定，如果商一定就是正比例关系，积一定就是反比例关系
正反比例的量
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫这幅图的比例尺
数值比例尺和线段比例尺
缩小比例尺和放大比例尺
比例尺分类
图上距离/实际距离=比例尺实际距离✖比例尺=图上距离➗比例尺=实际距离
图上距离
写出图的名称
确定比例尺
根据比例尺求出图上距离
画图（画出单位长度）
标出实际距离，写清楚地点名称
标出比例尺
比例尺画图的步骤
比例尺
形状相同，大小不同
图形的放大与缩小
根据问题中不变的量找出两种相关联的量
正确判断这两种关联的量成什么比例关系
并根据正反比例关系式列出相应的方程求解
用比例解决问题
单价✖数量=总价
单产量✖数量=总产量
速度✖时间=路程
工效✖工作时间=工作总量
常见的数量关系式（成正比例或成反比例）
已知图上距离和实际距离 求比例尺
已知比例尺和图上距离 求实际距离
已知比例尺和实际距离 求图上距离
计算时图距和实距单位必须统一
常见图上距离实际距离
每天吃的量✖能吃的天数=一个月粮食的总数
已知一个月粮食的总数一定，就是每天吃的量和能吃的天数的积一定
那么这两个量就成反比例
根据这两种关联的量是乘积还是相除
总结
例：一只猫一个月吃的粮食总数不变，猫每天吃的量和能吃多少天天数成反比例吗？
比例
除法
100以内减法
20以内退位减法
退位
万以内减法
小数减法
分数的减法
减法
a➗0无意义
a＋0＝a
a-0=a
a-a=0
a✖0=0
0➗a=0
顺序
四则运算
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
乘法结合律：（a✖b)✖c=a✖（b✖c)
乘法交换律：a✖b=b ✖a
乘法分配律：（a+b)✖c=a✖c+b✖c\\(a-b)✖c=a✖c-b✖c
减除法性质a-b-c=a-（b+c）/a÷b÷c=a÷（b×c)
运算定律
先分级从高到低
读完级后加亿万
每级末尾0不读其他数位都读一个
读法
从高到低写
数位上一个单位也没有就写0
写法
省略到那位看后面那位四舍五入
求近似值
自然数都是整数包扣0在内的正整数
自然数
ON/CE开关清除显示屏
AC清除所有内容
计算工具
亿以内的数
大数的认识
可以表示分母是10，100，1000
分母是10的分数可以写成1位小数
分母是100的分数可以表示2位小数
小数后面是10分位
小数点对齐
末尾有0一般不写
不要忘记小数点
小数加减法
小数加减混合运算顺序与整数同
小数连加
小数连减
减去两个小数的和
乘法运算定律同样适用
去添括号前面是减全变是加不变
简便验算方法
整数的运算定律小数同
求几个相同加数和的简便运算
意义
把小数扩大成整数
按整数乘法的法则算出积
看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位小数点上小数点
小数×整数
就是求这个数的几分之几是多少
位数不够填0补位
一个数×一个大于一的数的积大于这个数
一个数×小于一的数积小于这个数
小数×小数
判断够往大的估或不变
判断不够往小的估或不变
估算
总路程=起步价以内的路程＋起步价以外的
超出部分×超出单价
所需的费用=起步价＋起步价以外路程的钱
分段计费
小数乘法
已知两个因数的积与其中的一个因数求另一个因数
商的小数点要跟被除数的小数点对齐
整数部分不够除商0点上小数点
如果有余数要填0再除
按整数除法的方法去除
小数÷整数
先将除数和被除数扩大相同的倍数使除数变成整数
再按除数是整数的除法计算
小数÷小数
小数除法
一个数的小数部分从某一位起一个数字或几个数字依次不断的重复出现
一个循环小数部分重复出现的部分
循环节
循环小数
小数部分位数是无限的小数
无限小数
小数部分位数是有限的小数
有限小数
小数的分类
小数的意义和性质
加法验算
减法验算
验算
字母中间的乘号可以记作点也可以不写
1未知数 2 等式等于方程
商=被除除除
被除=商乘除数
除=被除除商
差=被减减减
被减=差加减数
减数=被减减差
和=加数加加数
加=和减加
积=因乘因
因=积除以因
十个数量关系
所有方程都是等式但等式不一定都是方程
方程检验过程
方程解是一个数解方程式是一个计算过程
简易方程
被除数、除数、商都是自然数，并且没有余数
整数与自然数的关系整数包括自然数
整除
大数是小数的倍数
小数是大数的因数
大数能被小数整除时
概念数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在
一个因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大无的因数是它本身
一个数的因数求法：成对地按顺序找
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身
一个倍数的求法：依次乘以自然数
3
2、3、5的倍数特征各数位上的数之和是3的倍数
同时是3和5的倍数个位是0或5且各数位之和上是3的倍数
2，5倍数最大两位数90最小10
同时是2和3的倍数个位上是偶数并且...最小是6
3，5倍数的最大两位奇数75
4
因数倍数
倍可以适用整数分数小数
倍数只适用于整数
倍数
一个数如果只有1和它本身两个因数这样的数就叫质数素数
一个数的因数个数
1.两个不相同的质数一定是互质数7和11、17和31
2.两个连续的自然数一定是互质数4和5、13和14
3.相邻的两个奇数一定是互质数5和7、75和77
4.1和其他所有的自然数一定是互质数1和14、1和13
5.两个数中较大一个是质数，这两个数一定是互质数。3和19、16和97
6.两个数中的较小一个质数，而较大的是合数且不是较小数的倍数，这两数一定是互质数2和15、7和45
7.较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。如13和17、13和25
2、2和任意奇数都是互质数
1.1和任意自然数互质。只有两个数公有的因数只有1的情况下
互质数特殊判断方法
两个数都是质数3和5
一个质数一个合数7和8
两个都是合数14和15
互质数的两个数不一定都是质数
质数
合数
每个合数25都可以写成几个质数5×5相乘的形式这个质数5就叫做这个合数25的质因数
质因数是个具体数必须是一个质数是一个合数的因数
质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表现出来，叫做分解质因数
是一个过程
分解质因数
即是奇数又质数：3.5.7.11.13.17.19
即是奇数又是和数：9.15
即是偶数又是质数2
即是偶数又是合数4.6.8.10.12.14.16.18.20
非质非合1
奇数里既有质数也有合数还有1
质数里除了2以外都是奇数
偶数里除了2 以为全是合数
重要
奇数±奇数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±偶数=偶数
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
奇数和偶数的运算性质
列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的公因数
分解质因数：将两个数分解质因数，再从质因数中找出共有的质因数，共有的质因数连乘的积就是
最大公因数方法
公因数
最大公因数1
最小公倍数两数的积
互质关系
最大公因数较小数
最小公倍数较大的数
倍数关系
两数关系
7.11.13.17.19等数的倍数
11-20所有数的平方
同时记住
大数扩大法如求12和30最小公倍数，把大数扩大倍数
特殊情况
三个数两两互质时，最小公倍数是这三个数的积【2.7.9】=126
三个数都成整倍数关系时。最大的数就是最小公倍数【18.6.54】=54
三个数中有两个数成整倍数关系时，转化为两个数较大者与第三个数的最小公倍数【18.6.27】=【18.27】=108
求三个数的最小公倍数
因数和倍数
分子比分母小的分数＜1
真分数
分子比分母大＞1
分子和分母相等=1
假分数
有整数和真分数组合的
带分数
分数的分类
假分数化为整数或带分数
整数化为假分数
带分数化为假分数
1=任何分子和分母相同的分数
互化
分子和分母同时除或乘【0除外】大小不变
分数的基本性质
单位1一个整体可以用自然数1来表示
一个物体一个物体都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份这样的一份或几份都可以用分数来表示
分数与除法a÷b=a/b
把单位1平均分成若干份表示其中一份的数叫做分数单位
分数单位
分数的意义
分子和分母只有公因数1
一个最简分数分母中除了2＆5以外不含有其他的质因数就能够化成有限小数反之不可
最简分数
约分
通分
分数和小数的互换1位小数分母是10，2位小数分母是100
带分数化为小数
分母相同分子大这个数就大
分子相同分母小的就大
方法：1.同分子2.同分母3.化成小数
比分数大小
同分母分数
异分母分数
分数加减混合
结果要最简
整数+整数分数+分数
带分数加减法
分数的加法和减法
分数的加减法
就是求几个相同的数的和的简便运算
第二数必须是整数
分数乘整数的意义
一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少
第二数必须是分数
一个数乘分数
分子与整数相乘，分母不变
分数乘整数运算法则
分子乘分子分母乘分母
如果还有带分数先变假分数
分数乘分数
计算法则
分数化简方法，分子分母同时除以它们最大公因数
分数化简方法
化简
分子分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外）分数的大小不变
分数基本性质
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数axb=c当b＞1时，c＞a
一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数a✖b=c当b＜1时c＜a
一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数a×b=c当b=1时c=a
积与因数的关系
分数乘法
顺序与整数相同
分数乘法混合运算
乘积为1的两个数互为倒数
倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在
判断两个数互为倒数的唯一标准：两数相乘的积是否为1
分数的倒数：交换分子分母的位置
整数的倒数：整数分之一
带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数
小数倒数：先化成分数再求倒数
1的倒数是它本身，因为1X1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0。且0不能做分母
求倒数方法
真分数的倒数是假分数，大于1也大于它本身，假分数的倒数小于或等于1。带分数倒数小于1
倒数的意义
求一个数的几分之几是多少？（用乘法）已知单位“1”的量，求单位“1”的量与分数相乘
巧找单位1的量：在含有分数语句中分数或分率前面的量就是单位1对应的量，或是占，比后面的量
单位时间内行驶的路程
速度=路程÷时间
路程=时间x速度
指1小时1分钟1秒等这样大小为1的时间单位
单位时间
什么是速度
多：（甲-乙）÷乙
少：（乙-甲）÷乙
求甲比乙多（少）几分之几？
分数乘法应用题
被除数➗除数=被除数✖除数的倒数
除法转化时被除数不能变
➗变成✖
除数变成倒数
小数带分数先化分数
注意
当b＜1时c＞a（a≠0b≠0）
当b＞1时c＜a（a≠0）
当b=1时c=a
a÷b=c
规律
分数除法
百分数是一个数是另一个百分之几
百分数也叫百分比百分率
不能带单位
特殊的倍比关系
表示
求一个数是另一个数的百分之几
求甲比乙多百分之几（甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之几（甲-乙）÷甲
增加减少百分之几等...
求一个数的百分之几是多少 一个数×百分率
已知一个数的百分之几是多少求这个数 部分量÷百分率
几折就是十分之几就是百分之几十
折扣成数=几分之几.百分之几.十小数
关键 把折数转化成百分数或分数再按照比一个数多（少）百分之几的数的解决方法
打折：用于商品现价是原价的百分之几叫做折扣俗称打折
关键 把成数转化成百分数或分数再按照比一个数多（少）百分之几的数的解决方法
成数：几成就是十分之几，百分之几十
八折=八成=十分之八=百分之八十=零点八
八五折=八成五=十分之八点五=百分之八十五=零点八五
五折=五成=十分之五=百分之五十=零点五=半价
例子
折扣打折的意义
求甲是乙的百分之几————甲÷乙✖％
求甲比乙多百分之几————（甲-乙）÷乙×％
求甲比乙少百分之几————（乙-甲）÷乙×％
题型
应用题
存入银行的钱叫本金
取款时银行多支付的钱叫利息
利息与本金的比值叫利率
概念
利息=本金×利率×时间
税后利息=利息-利息的应纳税=利息-利息×5％
国债和教育储蓄的利息不纳税
利率分为：存款分为：活期、整存整取、零存整取
储蓄的意义：可以支援国家建设，也使得个人用钱更安全和有计划，还可以增加一些收入
利息计算公式：利息=本金✖利率✖时间利率=利息➗时间➗本金✖100％
税后利息=利息-利息应纳税额
=利息-利息✖税率
=利息✖（1-利息税率）税后利息
=本金✖时间✖利率✖（1-利息税率）
如要上利息税的：
利率
纳税：根据国家税法的有关规定按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家
纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、文化、教育和国防安全等事业
应纳税款：缴纳的税款
税率：应纳税额与各种收入的比率
应纳税额计算方法：应纳税款=总收入✖税率收入额=应纳税额➗税率
税率
估计费用：根据实际费用估算
购物策略
百分数
两个量的倍比关系
联系
分数表示具体的数量带单位
分数
不表示具体数量不带单位
分母是100的分数就是百分数是错误的
分母是100的数并不是百分数得变成%
出勤率、成活率、合格率、正确率能达到百分之百
出米率、出油率达不到百分之百
完成率、增长百分之几可以超过百分之百
出粉率一般在百分之七十、八十
出油率一般在百分之三十、四十
一般情况
分数和百分数的区别和联系
小数点向左移动两位百分号去掉
百分数化小数
小数点向右移动两位加百分号
小数化百分数
分母写100再化简
百分数化分数
分子除分母化小数再根据小数化百分数
分数化百分数
把小数化成分母是10.100.1000的分数再化简
小数化分数
分子除以分母
分数化小数
小数、百分数、分数之间的互换
大于0的数（不包括0）
数轴上0右边的数
正数有无限个
正数
可以加正号也可以省略
表示相反意义的两个量
由来
小于0的数（0除外）
数轴上0左边的数
负数有无数个
负数
负数前面加负号不能省略
数轴
0既不是正数也不是负数
它是正负的分界线
所有负数都小于0
所有正数都大于0
0
左边＜右边
负数＜0＜正数
利用数轴
数大的就大
正数比大小
数小的就大
负数比大小
利用正负数含义
比较两个数的大小
数与代数
长方体、正方体、圆柱体、球
同一平面
不相交的
ａ∥ｂ
平行线
容易变形例如：伸缩门，升降机
特点
两组对边分别平行的四边形
长方形怎怎么来的
从平行四边形一条边上一点到对边作垂线这条线段叫高对边线叫高，垂足的对边叫底
两直线互相垂直
一条叫另一条的垂线
两直线的交点叫垂足
记作ａ⊥ｂ
两条直线相交成直角
直线外一点到直线垂线段最短长度叫点到直线的距离
垂线
两条平行线互相垂直的线段长度相等
两条平行线之间的距离处处相等
平行线距离
同一平面内与同一条直线平行（或垂直）的两条直线也互相平行或垂直
ａ∥ｂ ｂ∥ｃ那么ａ∥ｃ
ａ⊥ｂｂ⊥ｃ那么ａ⊥ｃ
定理
平行四边形
只有一组对边平行的四边形
两腰相等
等腰梯形
有一个角是直角
直角梯形
梯形
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形
两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形
长正方形是特殊的平行四边形
平行四边形和梯形有无数条高
关系
四个角都相等并且四边都相等
正方形是特殊的长方形
正方形
四个角都相等的四边形叫
长方形
四边形
围成圆的曲线长度用C 表示
周长总是直径的三倍多一些
圆的周长与直径的比值是一个固定值，用Π表示
圆周率Π÷直径≈3.14
圆周率：
圆
c=Πd
c=2Πr
圆周率是不循环的无限小数，3。14 是近似值
圆的周长C=直径d✖圆周率Π
半径扩大多少倍，直径就扩大多少倍 周长也扩大多少倍
周长变化的规律
圆的周长的一半+直径=Πr+d
半圆的周长
周长
长方形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
长方形正方形面积
边长乘以边长
s正等于a乘a=2a
面积公式
已知正方形面积求变长
变式
长乘宽
s长=a乘b
已知长方形面积和长求宽
低乘高
s平=a乘h
已知平行四边形面积和低求高h=s除以a
低乘高除以2
s三=a乘h除2
已知三角形面积和低求高h=s乘2除a
三角形
上底加下底乘高除以2
s梯=（a加b）乘h除2
已知梯形面积和上和下低求高h=s乘2除上加下
当图形突出时加
凹陷是大减小
组合图形
等底等高的平行四边形，三角形面积相等
等底等高的平行四边形面积是三角形面积2倍
长方形拉成平行四边形周长不变面积变小
多边形的面积公式
把一个圆延直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多，拼成的图形越像长方形
圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 s圆 =Πr×r=Πr2
园面积公式推导
在面积相等的情况下，圆的周长小于长方形的周长
在周长相等的情况下，圆的面积大于长方形的面积
圆面积最大利用这一特点，盘子，篮子，都是圆的
几种图形
半径扩大多少倍直径扩大多少倍
圆面积扩大的倍数是半径，直径的平方倍
圆面积的变化规律
=大圆-小圆=ΠR2-Πr2
Πr2×n÷360（n是扇形的角度）
扇形面积
环形面积
每条跑道的周长=两个半圆跑道合成的圆加上两个直跑道的和
间隔的距离是2×Π×跑道宽度
跑道
任意一个正方形的内切圆也是最大圆的直径是正方形的边长他们的面积比是4：Π
Π=3.14
2Π=6.28
3Π=9.42
4Π=12.56
5Π=15.7
常用数据
圆的面积
面积
平面内
封闭曲线
平面图形
外观美易滚动
圆中心的点叫圆心用o表示
多次对折后折痕相交于圆的中心即圆心
圆心确定圆的位置
圆心
半径确定圆的大小
半径
通过圆心 两端都在圆上 线段
直径是圆里最长的线段
直径
直径是半径2倍：d=2r或r=d÷2
同圆或等圆
两个半径相等的圆
等圆通过平移可以完全重合
等圆
圆心重合
半径不等的两个圆
同心圆
圆是轴对称图形
定半径
定圆心
旋转一周
画圆
特征
顿锐直角
过一点可以画无数条直线， 过两点只能画一条直线
直线：没有端点，向两端无限延伸，直的
射线：一个端点，向一端延伸
线段：两个端点没有延伸，是直线的一部分
直线射线线段
一点引出两条射线的图形
一条射线绕他的端点旋转半周所形成的角
1平角＝180°
平角
一条射线绕他的端点旋转一周所形成的角
1直角＝90°
1周角＝360°＝2平角＝4直角
周角
小于90°的角
锐角
大于90°小于180°
钝角
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
也可看作一条射线绕着他的端点从一个位置旋转到另一个位置所围成的图形
角的概念
度＼符号°
将圆平均分成360份，每一份所对的大小计1度
角的大小与叫两边长短没关系，与叉开的大小有关系
把器中心与角顶点重合
0°刻度线与角的一条边重合
角的另一条边的刻度就是角度数
量角的步骤
计量角工具：量角器
量角器的中心和射线端点重合
0°刻度线和射线重合
画一条射线
在量角器上找到角的度数的地方点一个点
射线的端点为端点，通过刚画的点
用三角板可以画的角１８０°１６５°１５０°１３５°１２０°１０５°９０°７５°４５°３０°１５°
分支主题
画角
角的计量单位
角的度量
内角和是360°
四个内角和
三角形内角和180°
有三条线段围成的图形
高和低同其他（三个顶点，底边，高）
三角形具有稳定性
两边和＞第三边差＜第三边
三角形概念
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
按角分类
三个角都等60
等边三角形
等腰三角形
按边分类
三角形分类
内角和
角
长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆
沿某一直线折叠完全重合
对应点到对称轴的距离都相等
轴对称的性质
所以画对称轴时要画到外面用虚线
对称轴是一条直线
正方形对角线所在的直线就是它的对称轴
先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点
最后连线
画对称图形
长方形。正方形。等腰梯形。等腰三角形。等边三角形。线段。菱形
长2正4等梯1等三1等边三1线段1菱形2圆无数条半圆1圆环无数半圆环1
对称轴个数
平行四边形不是轴对称图形
先找图形点
平移完点连起来
要数十字
画平移
平移不改变图形大小形状只改变位置
用平移可以求出不规则图形面积
平移
轴对称图形
等腰三角形，梯形有一条对称轴
等边三角形有三条
长方形有两条
正方形有四条
圆有无数条
对称
概念：绕着一个顶点旋转一定角度的到另一个图形的变化
旋转中心
旋转角
对应点
旋转要明确绕点角度方向
长方形绕中心旋转180度与原来重合
正方形绕中心旋转90度与原来重合
等边三角形绕中心旋转120度与原来重合
长方形、正方形、等边三角形旋转
图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动
其中对应点到旋转中心的距离相等
旋转前后图形的大小和形状没有改变
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角
旋转中心是唯一不动的点
旋转的性质
旋转
任意的梯形和平行四边形不是轴对称图形
对称点到对称轴的距离相等
对应点到对称轴的距离相等
对应点的连线与对称轴垂直
对称轴两边的大小形状完全相等
轴对称图形的特征和性质
平行四边形是中心对称图形的
中心对称图形
对称图形
旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
旋转和对称的
图形变换的基本方式
图形的运动
认识图形
数与颜色的规律
找规律
米厘米
1000米
毫米分米
侧量
长度单位
1吨=一千千克
重量单位
1公顷边长100米的正方形面积=10000平方米
一平方千米边长是1000米的正方形面积=1000000平方米
1平方千米=100公顷
单位的应用
公顷和平方千米
面积单位
单位
相同点6个面12条棱8个顶点
2、相对棱的长度相等
长方体
1、6个面都是正方形，6个面完全相同
2、12条棱长度相等
正方体
不同：
正方体是特殊的长方体
正方体展开图的每个面都是正方形，边长就是正方体的棱长，每个面的面积都等于棱长乘棱长
正方体11种展开图
正方体棱长与每个面边长的关系
6×边长×边长
s=6a平方
表面积
棱长×棱长×棱长
v=a.a.a
体积
2×长×宽+2×长×高+2×宽×高
s=2ab+2ah+2bh
长×宽×高
v=abh
体积：物体所占空间的大小
容积：一个容器所能容纳物体的体积
意义不同
体积：物体外部测量长、宽、高
容积：从容器里面测量长、宽、高
测量方法不同
体积：m³、dm³、cm³
容积：L和ml计算固体时用体积单位
单位名称不同
容积的大小是通过所能容纳物体的体积表示出来的
计算方法不同
体积与容积区别联系
长方体和正方体
长方形的一条边旋转而成
以长方形的长为圆柱的底面为周长宽为高
第一种方式的体积较大
宽观为底面周长长为高
长方形卷曲而成
形成
两个底面积之间的距离
一个圆柱有无数条高
它们的数值相等
圆柱的高
圆柱的地面是两个相等的圆
底面的特征
圆柱的侧面是一个曲面
侧面的特征
圆柱有无数条高
高的特征
切面是圆，表面增加2倍底面积及s增=2Πr²
横切
切面是长方形（如果h=2r切面为正方形）该长方形长是圆柱的高，宽是圆柱的底面的直径表面积增加两个长方形面积及s增=4rh
竖切
切割
沿着高展开侧面积是长方形如h=2Πr展开是正方形
不沿着高展开则是平行四边形或不规则图形
无论怎么展开都得不到梯形
侧面展开图
底面积：s底=Πr²
底面周长c底=2Πr=Πd
侧面积s侧=2Πr×h
表面积s表=2s底+s侧=2Πr²+2Πr×h
体积v体=Πr²h
计算公式
已知圆柱的底面积和高 求圆柱的侧面积、体积、底面周长、表面积
已知圆柱的底面周长和高 求圆柱的侧面积、底面积、体积、表面积
已知圆柱的底面周长和体积 求圆柱的底面积、圆柱的高、侧面积、表面积
已知圆柱侧面积和高 求底面周长、底面的面积、体积、表面积、
无盖水桶表面积=侧面积+一个底面积
油桶表面积=侧面积+两个底面积
通风管的表面积=侧面积
只求侧面积 灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸的中轴、薯片盒的侧面包装
加一个底面积 玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池
加两个底面积 油桶、米桶、各个罐桶类
常见题型
圆柱体
圆锥是以直角三角形直角边为轴旋转而成
用扇形卷曲而成
圆锥的高是顶点与底面圆心之间的距离，圆锥只有一条高
底面是个圆
侧面是曲面
只有一条
切面是圆
切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆柱的高，底是圆锥的底面直径，面积增加等腰三角形两个的面积。及s增=2rh
竖切（过顶点和直径）
底面积 s底=Πr²
底面周长 c底=Πd=2Πr
体积 v体=1/3Πr²h
已知圆锥的底面积和高 求体积 底面周长
已知圆锥的底面周长和高 求底面 体积
已知圆锥的底面周长和体积 求高 底面积
分析清楚是求表面积、侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱或（两个圆锥）半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比
直接利用公式
包括削成最大体积的问题（包括正方体、长方体与圆柱圆锥之间）
圆柱圆锥关系的转化
横截面的问题
水面上升的体积就是浸入水面物品的体积等于盛水容器的底面积乘以上升的高度
容积是圆柱体、正方体、长方体
浸水体积问题
一个圆柱融化后做成圆锥或圆柱溶液倒入圆锥，都是体积不变问题，不要乘以1/3
等体积转换问题
题型总结
一个圆柱侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的Π倍即h=c=Πd S侧=h²
圆柱的底面半径扩大2倍高不变，表面积扩大2倍，体积扩大4倍
圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，表面积扩大了4倍，体积扩大了8倍
圆柱的底面积扩大3倍，高缩小3倍，表面积不变，体积扩大了3倍
典型题
圆锥体
圆柱圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的体积3倍
圆柱与圆锥等底等体积 圆锥的高是圆柱的3倍
圆柱与圆锥等高等体积 圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍
圆柱圆锥等底等高 体积相差2/3Sh
圆柱与圆锥的关系
立体图形
几何与图形
形状
数据的收集与整理
分类与整理
列颜色等
早餐搭配
衣服搭配
要完成一项工作需要做哪些事情
明确每项事情需要的时间
合理安排时间那些事情先做那些事情后做，哪些可以同时做
沏茶问题
每一次让锅里尽可能让锅里按要求放最多的饼即没有浪费资源又节省时间
烙饼问题
解决同一个问题有不同策略要学会选择最优方案
可以用列举法选择最优方案
对策论问题
从二开始连续的偶数=n×（n+1）
从一开始的连续奇数和=奇数个数的平方
数与形
例：把3个苹果放在2个盒子里一共有四种放法不管哪一种方法必有一个盒子放了2个或是2个以上的苹果，这个结论是在任意放的情况下得出的必然结果
例：有5只鸽子飞进41个鸽笼那么一定有个鸽笼飞进2只或2只以上的鸽子
如果把6封信投到5个信箱里，那么肯定有1个信箱投了至少2封信
把苹果、鸽子、信看作一种物体
把盒子、鸽笼、信箱看作鸽巢可以得到鸽巢最原理
最简单表达形式利用公式进行解题物体个数➗鸽巢个数=商。。。余数
至少个数=商+1
鸽巢原理
要保证摸出两个同色的球，摸出球的数量至少要比颜色数多1
极端思想：用最不利的方法摸出两个不同颜色的球，再无论摸出什么颜色的球都能保证一定有两个球是同色的
两种颜色：2+1=3
三种颜色：3+1=4
四种颜色：4+1=5
公式：
摸两个同色球的计算方法
数学广角
搭配
集合
出现最多的一个数或几个数
反应数据的集中情况
众数
按大小排列
个数是单数中间就是中位数
双数最中间的两个数的平均数
中位数
没有偏大偏小的数也没有各别数多次出现用平均数表示
有偏大或偏小时用中位数来表示
有各别数多次出现就用众数来表示
一般水平
受极端数据影响
表示平均情况
平均数：
不受极端数据影响
表示一般情况
中位数：
表示集中情况
众数：
平均数中位数众数
1瞄点
2连线
3标数据
不同的线段分别表示两组数
折线
画图
能直观的看出各种数量的大小便于比较
条形图一格表示几要根据具体情况来确定
绘制
数据少
移多补少法
先合后算
常用方法
能清楚地表示一组数据整体水平
求平均数
要有图例
有横竖两种
写单位
0刻度、横纵名字
画法
便于比较两组数据的多少
复式条形统计图
条形统计图
数量的多少
数量的多少和数量的变化
折线统计图
直观显示部分和总量之间的关系
扇形统计图
优点
各个扇形面积和总数面积的比叫百分比图
统计图
统计与概率
上下前后左右
在什么方位
同样的物体不同角度形状不同
观察物体
东西南北
第一个数字是列
第二个数字是行
数对表示物体位置
从一个或两个方向看到的图形不能确定一个立体图形的形状
同一角度观察不同立体图形得到的平面图形可能相同也可能不相同
从物体的右面看看到的不一定和左面看到的完全相同
确定位置
1.两个数组成
2.中间有逗号隔开
3.用括号括起来
4.左列右行
确定一个数位置
作用
先找观测点
再找方向（看方向夹角的度数）
最后确定距离（看比例尺）
方法
数对
位置与方向
位置
1小时=60分
时分秒计算
时分秒
年月日
24小时计时法
认识时间
认识钟表
钟表
元角分
认识人民币
鸡兔总数-图的只数=鸡的只数
单价✖数量＝总价
单价＝总价➗数量
数量＝总价➗单价
买卖
路程＝时间✖速度
时间＝路程➗速度
速度＝路程➗时间
千米/时
米/分
米/秒
速度单位
路程
假如都是鸡
假如都是兔
古人抬脚法
假设法
化归法
鸡兔总脚数➗2-鸡兔总数=兔的只数
鸡兔同笼
两端都栽树=路长÷间隔＋1
路长=间隔数x（树的棵数-1）
两端都栽树
两端不栽树=路长÷间隔-1
两端不栽树
不封闭的
栽树棵数=周长÷间隔
封闭图形四周栽树
植树问题
可能发生
不可能发生
一定发生
可能发生的事件把几种可能情况相加做分母
单一可能性的做分子
可能性
把所有物品平均分成3份余1放最后一份
2到3个～1次
4到9个～2次
10到27～3次
找次品
实践与应用
小学数学
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