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数学体系-初中

2022-07-25 09:21:00   0  举报

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初中数学知识体系串联

思维笔记

数学

初中

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大纲/内容

数论

实数

分类

有理数

表现形式

分数

亚类

按分数值大小

真分数

性质

值大于0小于1

分子比分母小

假分数

性质

值大于或等于1

分子大于或等于分母

衍生【形式】

带分数

表现为一个整数与一个真分数相连的形式

不要写成一个整数与一个假分数相连的形式

整数

性质

分母为1的分数

整数间【关系】

整除

互素

如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素

衍生【元素】

整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）

因数

公因数

几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数

最大公因数

其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数

计算方法

方法一：穷举比较法

方法二：分解素因数法，把所有公有素因数连乘，所得的积就是最大公因数

方法三：短除法，把几个数并排放在一起短除

素因数

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数叫做这个合数的素因数

倍数

公倍数

几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数

最小公倍数

其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数

计算方法

方法一：顺序列举法

方法二：分解素因素法，公有的素因数和各自剩余的素因数连乘，所得的积就是最小公倍数

方法三：短除法，把几个数并排放在一起短除

亚类

按正负

负整数

自然数

正整数

亚类

按因数的个数

素数

在大于1的自然数中，除了1和此整数自身两个因数外，无法被其他自然数整除的数

合数

性质

除了1和它本身还有其它正因数

动作

分解素因数

方法

短除法

左侧写除数，下方写商

“1”

零

按奇偶

能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数

奇数

偶数

最简分数

分子和分母互素的分数

单位分数

分子为1

性质

分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变

动作/功能

约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程

通分：将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分

运算

加减法

异分母分数先通分，再按同分母分数相加减的法则

同分母分数加减法则

分母不变，分子相加减

遵循与整数相同的运算律：交换律和结合律

乘除法

需要对乘法含义进行扩大解释，乘法本来的含义是连续相加，即“几个几”。将分数引入乘法，则需要解释成“一种连续量与另一种连续量生成一种新的连续量”，比如速度乘以时间等于距离，长乘以宽等于面积，单价乘以数量等于总价。

除法的含义，有平均分割和包含分割，在将分数引入除法时，使用包含分割更容易理解，如：把3米长的绳子，分割成1/2米长一段的绳子，可以分几段？再如：如何理解“12除以2/3”，“把12个桔子分成2/3份，每份有几个？”这显示不合理。如果理解成“12是2/3的几倍”，即12包含几个2/3，属于包含分割，就容易理解了。如果硬要用平均分割，可以理解为“12是几的2/3”，“12除以2”表示“12是几的2倍”。

还可以解释成整数的两次计算，把乘以分数理解成先乘分子再除分母，把除以分数理解成先乘分母再除分子。

乘以分数的意义被定义为：以前面的乘数为整体，再等分为分母份，取其中分子份。

乘法法则

分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母

除法法则

两个分数相除，等于被除数乘以除数的倒数

分数与小数互化

分数化为小数

分母中含有2、5以外的素因数，则化为无限小数

分母中不含2、5以外的素因数，则化为有限小数

因为我们的小数使用的是十进制

有限小数化为分数

无限循环小数化为分数

方法一：方程法，等式两边乘以循环节的长度的数量级，移项求解。

方法二：九分法，1/99=0.010101……，1/999=0.001001001……，1/9999=0.000100010001……

将一个分数拆为几个不同的“单位分数”之和

分数间【关系】

比大小

互为倒数

基本【元素】

分子

分母

衍生【元素】

公分母

将几个分数分别化为分母相同的分数，以它们分母的公倍数作为分母，叫做公分母。

有限小数

无限循环小数

基本【要素】

循环节

含义

有理数间的【关系】

动作/功能

分数、小数四则混合运算

同时转化成小数或分数后再运算，当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后运算

无理数

表现形式

无限循环小数

根号素数

文字描述

圆周率

含义

实数间【关系】

比

两个数或两个同类的量相比较

基本【元素】

前项

后项

比值

前项除以后项的商

亚类

最简整数比

前项和后项是互素的整数

连比

两个以上的量在一起比较，如1：2：5：10

百分比

后项为100的比为“百分比”

分母为100的分数称为“百分数”

转化为百分号%的形式的数称为“百分率”

性质

前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变

与分数、除法的关系

“比”的含义在同类比较，形容一种相对状态，“比值”是为了量化“比”以及对不同的“比”进行比较，比如两个人的“投篮次数比命中数”相比较

“分数”的含义在分割的静态结果，强调部分与整体的关系。

“除法”的含义在分割的动态过程，强调的是结果，即商。

比例

表示两个比相等的式子叫做比例，如a:b=c:d

基本【要素】

第一、二、三、四比例项

比例外项

第一、四比例项

比例内项

第二、三比例项

比例中项

当两个比例内项相同，则把这个比例内项称为比例外项的比例中项

a:b=b:c，b是a和c的比例中项

性质

如果a:b=c:d或a/b=c/d，则ad=bc; 如果ad=bc且a,b,c,d都不为零，则a:b=c:d或a/b=c/d

概率

基本【元素】

等可能事件

虚数

复数

纯虚数

几何

维度【属性】

线

曲直【属性】

直线

空间【关系】

相交

衍生【元素】

交点

角

角度【属性】

锐角

直角

钝角

空间【关系】

对顶角

同位角

内错角

同旁内角

邻补角

线形

平行

定位度量（“数”与“形”相联系）

数轴

曲线

圆弧

弧长【属性】

l=n/180πr

抛物线

延展【属性】

无限

直线

射线

有限（线段）

面

延展【属性】

各方无限（平面）

部分无限

各方有限/闭合（形状）

直线形（多边形）

三边形（三角形）

分解【元素】

角

内外【属性】

内角

内角和【属性】

规律【关系/属性】

等于180度

外角

外角和【属性】

规律【关系/属性】

等于360度

外角和内角的大小【关系】

一个外角等于不相邻的两个内角和

一个外角大于任一个不相邻的内角

角度【属性】

空间【关系】

边

长短【属性】

长边

短边

长短【关系】

任意两边的和大于第三边

任意两边的差小于第三边

与角的空间【关系】

直角边

斜边

衍生【元素】

高

中线

角平分线

三条高的交点

三条中线的交点

三条角平分线的交点

分类【元素】

以角度分类

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

以边分类

不等边三角形

等腰三角形

判定【条件】

充分条件

有两个角相等

规律/性质

顶角平分线、底边中线、底边高重合（三线合一）

衍生【元素】

顶角

底角

规律/性质

两个底角相等（等边对等角）

腰

底边

亚类

等边三角形

规律/性质

内角都为60度

判定【条件】

充分条件

三个内角相等

等腰三角形有一个内角为60度

四边形

长方形

正方形

平行四边形

菱形

梯形

形状投影【关系】

相似

全等

衍生【元素】

对应顶点

对应边

对应角

判定【条件】

完全条件

完全重合

充分条件

两边及其夹角对应相等（边角边）

两角及其夹边对应相等（角边角）

两角及其中一角的对边对应相等（角角边）

三边对应相等 

曲线形

圆

分解【元素】

扇形

弓形

面积【属性】

半径【属性】

直径【属性】

周长【属性】

C=2πr或πd,d表示直径，r表示半径

椭圆

定位度量（“数”与“形”相联系）

平面直角坐标系

基本【元素】

坐标原点

坐标轴

横轴（X轴）

纵轴（Y轴）

直角坐标平面

有序实数对/坐标

横坐标

纵坐标

象限

坐标系中的点

点的【关系】

距离

点的【行为】

移动/运动

体

长方体

立方体

柱体

椎体

台体

球体

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