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线型代数知识点数学笔记总结考研

2022-10-21 10:18:01   0  举报

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线型代数知识点数学笔记总结考研

线型代数

数学

考研

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大纲/内容

行列式

1.1. 考点内容

1.1.1. 行列式的概念

行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，注意逆序数

n个元素的下标构成一个有序数组，n！个排列，大的数排在小的数前，称构成一个逆序

1.1.2. 行列式的性质

转置行列式值不变

两行两列值互换，行列式值变号

某行含有公因子k，则可提出到行列式记号外

某行，列元素全为零，行列式值为零

两行元素成比例，行列式值为零

某行，列是两个元素之和，可把行列式拆成两个行列式之和

某行k倍加到另一行，行列式值不变

1.1.3. 行列式展开公式

n阶行列式的值等于他的任何一行（列）元素，与对应的代数余子式乘积之和

m为余子式

1.1.4. 几个重要的便捷公式

上三角，下三角

主对角线元素乘积

副对角线

拉普拉斯展开式（分块矩阵）

范德蒙展开式

1.1.5. 针对n阶抽象方阵的常用公式

A转置的行列式等于A的行列式

1.1.6. 代数余子式的性质

行列式的任一行与另一行的代数余子式乘积之和为零

1.2. 例题归纳

1.2.1. 求行列式展开式中x的次幂的系数

把行列式化简，后用行列式的定义（不同行不同列的元素的乘积），逆序数来分析

1.2.2. 数字型行列式的计算

一般型行列式

化简后按行按列展开

根据行列式的结构，把他往几个便捷的重要公式上化简，后用公式

对称性行列式

把每行都加到同一列，化上下三角

钩型行列式

逐行相加，按最后一行展开

大对角线型行列式

逐行相加，将其三角化

证明A的行列式

数学归纳法

1.2.3. 抽象型行列式的计算

目标矩阵两个抽象矩阵

两个矩阵形式（各个元素）已知，求结合后的

用行列式的运算性质，恒等变形题目已知的条件

两个矩阵形式未知，但知道各个组合后的数据，无法找到目标形式的运算法则

目标矩阵一个矩阵

知道原行列式求变换后的

知道一系列变化过程求原来的

1.2.4. 行列式是否为零的判定

矩阵A不可逆

A的秩小于N

Ax=0有非零解（行向量，列向量线性相关）

0是矩阵A的特征值

1.2.5. 代数余子式的求和

对于求特定某一行或某一列

构建新行列式，按照一行展开

对于任意行任意列的

通过求出A的逆，进而求出A的伴随，找到指定元素带入即可

矩阵

2.1. 考点概括

2.1.1. 矩阵的概念及运算

概念

m*n个数排列成一个m行n列的表格，称为一个m*n的矩阵

矩阵也可以看做一连串的运动动作（有方向）

运算

加法

同型矩阵可相加

数乘

乘法

矩阵乘法是在解方程组时引入的，对应了方程组的变换

转置

运算规则

加法

交换律

结合律

数乘

交换律

结合律

乘法

分配律

BA=/AB

转置

伴随阵的运算

方阵的幂

几种特殊的矩阵

单位阵

主对角元素为1，其他为0的矩阵

数量阵

数k与单位阵的乘积

对角阵

非对角元素都为零的矩阵

上下三角阵

对称阵

满足A的转置等于A

反对称阵

满足A的转置等于-A，主对角元素为零

2.1.2. 可逆矩阵

概念

AB=BA=E成立，则称A为可逆矩阵，或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵

A可逆的充要条件

逆矩阵的运算

求逆矩阵的方法

公式法

求伴随矩阵

初等变换法

初等变换

定义法

分块矩阵

2.1.3. 初等变换，初等矩阵

定义

初等变换

倍乘

互换

倍加

初等矩阵

等价矩阵

A经过有限次初等变化变成的矩阵

初等矩阵与初等矩阵的联系

初等矩阵的逆（2）

2.1.4. 矩阵的秩

概念

若A中存在r阶子式不等于0，且所有的r+1阶子式若存在，均等于0，则称矩阵A的秩为r.

矩阵秩的公式

2.2. 例题归纳

2.2.1. 矩阵概念及运算的应用

矩阵相乘无交换律

n维列向量和与他转置的乘法

2.2.2. 特殊方阵的幂

对于秩等于1的矩阵

可分解为两个矩阵（列向量和行向量）的乘积，进而求n次幂

上三角下三角矩阵

可以分解成一个B矩阵和单位阵的加减，矩阵B若干次幂后会等于0

分块矩阵

有明显的分块特征的矩阵，应分块对前两种情况的讨论

2.2.3. 伴随矩阵的相关问题

知道A矩阵，求其伴随，逆的伴随

只A,B，和C和A,B之间的关系，求C的伴随

运用伴随的公式，逆的公式即可

伴随矩阵的秩

2.2.4. 可逆矩阵的相关问题

求实体矩阵的逆

求伴随矩阵进而求逆

初等行变换代换

求抽象矩阵的逆

条件有等式就构造AA-等于E的性质

条件没有等式就假设出A-，根据AA等于E构造方程组

向量

3.1. 考点概括

3.1.1. n维向量的概念及运算

n维向量

零向量

所有的分量都为零的向量

加法

数乘

内积

3.1.2. 线性表出，线性相关

线性表出

如果两个线性表可以互相线性表出，则称两个向量组等价

线性相关

重要的定理

3.1.3. 极大无关组，秩

概念

向量组中极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩

有关秩的定理

3.1.4. 正交化，正交矩阵

正交化

正交矩阵

3.2. 例题归纳

3.2.1. 线性相关的判别

若干个实体向量相关求参数

行列式为零

齐次方程组有非零解

已知某向量组线性无关，求向量组中向量重新结合后的向量组相关性

3.2.2. 向量的线性表示

某实体向量不可由已知向量组表示，求参数

求增广矩阵的秩和原矩阵的秩

某实体向量组可由已知向量组线性表示，求线性表达式

抽象向量组及其相关性

找实例带入

根据定义反证法

3.2.3. 线性相关，线性无关的证明

秩

两个矩阵相乘

齐次方程组只有零解

行列式

3.2.4. 秩与极大线性无关组的计算

已知矩阵求其极大线性无关组

已知几个向量组的秩，求组合后向量组的秩

一般根据条件确定向量组中各个向量的关系

在确定目标向量组是不是线性相关

线性方程组

4.1. 考点概括

4.1.1. 克拉默法则

4.1.2. 齐次线性方程组

向量形式

矩阵形式

齐次线性方程组的解

使A得列向量线性组合为零的线性组合系数

齐次线性方程组的基础解系

向量个数为n-r

向量均为解向量

向量之间组成线性无关向量组

解的性质

有解的条件

至少有零解

列（行）向量组线性无关只有零解

（r(A）= n）

4.1.3. 非齐次线性方程组

向量形式

矩阵形式

非齐次线性方程组的解

b可由A的列向量线性表出的表出系数

解的性质

有解的条件

通解结构

4.2. 例题归纳

4.2.1. 线性方程组的基本概念问题

齐次方程组有非零解求参数

行列式为0

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