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无穷级数知识点数学考研笔记

2022-10-21 10:18:33   0  举报

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无穷级数知识点数学考研笔记

无穷级数

数学

考研

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大纲/内容

常数项级数

概念

Un求和

收敛 or 发散可判定（lim Sn存在，则收敛；不存在即为发散）

*如何求和？

等比求和 Sn=a1(1-q的n次）/1-q (|q|＜1，收敛，|q|≥1，发散

裂项 Σ(Un-Un+1) Sn=U1-Un+1

性质

ku与u 同敛散

u和v 都收敛，则u+v 必收敛（两收就是收，一收一发是发散，两发无法判断敛散性）

级数中加减有限项，不会改变级数敛散性

若U1+U2+U3+U4 收敛，则（U1+U2）+（U3+U4) 仍收敛且其和不变

级数收敛必要条件：Un收敛，则 limUn=0 (若limUn≠0，则Un 发散）

正项级数

定义

Un求和且Un≥0，则Un为正项级数

收敛的充要条件

Un收敛则部分Sn有上界（反之也可）

正项级数敛散性判别法

比较判别法

“大收则小收，小发则大发”

limUn/Vn=L

0＜L＜+∞ ，u与v同敛散

L=0，v收敛则u收敛，U发则V发

L=+∞，v发散则u发散，U收则V收

p级数的三点

比值审敛法（连乘，既含n！又含n的n用他）

ΣUn满足lim Un+1/Un=L

0≤ L＜1 ，Un收敛

1＜L ≤+∞， Un发散

L=1，无法判断敛散性

根值审敛法

ΣUn满足lim (n次根号下Un）=L

0≤ L＜1，Un收敛

1＜L≤+∞，Un发散

L=1，无法判定敛散性

积分判别法（新增）

f(x)在[1,+∞)上非负递减，则正项级数Σf(n)与反常积分同敛散

交错级数

定义

Un＞0，求和（-1）n次方Un 或求和（-1）n-1次方Un为交错级数

莱布尼兹判别法（是一个充分不必要条件）

交错级数满足条件：Un＞Un+1（单减）且 limUn=0，则交错级数收敛

任意项级数

若求和 l Un l 收敛，就称绝对值Un绝对收敛（如果级数 ΣUn绝对收敛，则级数求和Un必定收敛）

若ΣUn收敛，但求和 l Un l 发散，就称ΣUn条件收敛

若级数Un绝对收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都收敛若级数Un条件收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都发散

若ΣUn绝对收敛，则|Un|收敛且Un收敛若ΣUn条件收敛，则|Un|发散且Un收敛

*常见的条件收敛的例子

Σ(-1)的n次*1/n，Σ(-1)的n次1/lnn，Σ(-1)的n次*1/nlnn，Σ(-1)的n次*1/根号n

绝收+绝收=绝收，绝收+条收=条收，条收+条收=收敛

函数项级数

定义

Un(x)在I上有定义，称U1(x)+U2(x)+....为定义在I上的一个函数项级数，Un(x)为通项，Sn(x)=ΣUk(x)称为部分和函数；

若数项级数ΣUn(xo)收敛，则称xo是ΣUn(x)的一个收敛点，所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域 I

和函数

ΣUn(x)=S(x)成立，ΣUn(x)为和函数，Sn(x)=ΣUk(x)为部分和函数

幂级数

定义

an为无穷数列，形如Σan(x-xo)n次方的和函数称为xo处的幂级数，其中常数a0,a1...称为幂级数的系数

敛散性及收敛半径

Abel定理

幂级数在x=xo收敛，当|x|＜|xo|，幂级数绝对收敛；（x=0处收敛）幂级数在x=xo发散，当|x|＜|xo|，幂级数发散

（-R,R）为幂级数收敛区间

当|x|＜R，幂级数绝对收敛当|x|＞R，幂级数发散当x=R 或x=-R 幂级数可能收敛也可能发散

若幂级数在(-∞，+∞)上每一点都收敛，就规定R=+∞ 若幂级数仅在x=0处收敛，就规定R=0

收敛半径求解方法

lim | an/an+1 |=R

幂级数通项看成Un，当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＞1，幂级数发散当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＜1，幂级数收敛【收敛为闭区间】

性质

幂级数an的n次收敛半径为Ra，bn的次收敛半径为Rb，则Σan+bn=Σ（an+bn)x的n次（收敛半径为R=min（Ra,Rb），其中Ra≠Rb

幂级数的和函数S(x)在收敛域I上连续

幂级数在收敛区间内可逐项求导【（Σ）’=Σ（）' 】（原先收敛求导后可能发散，原先发散求导后可能还发散）

幂级数在收敛区间内可逐项积分

利用幂级数展开式求和

Σx的n次结合模型用微积分工具求和函数（三种）

幂级数求和函数

利用幂级数展开式求和

Σx的n次结合模型用微积分工具求和函数（三种）

函数的幂级数展开式（看例题即可,只可意会)

直接展开法

间接展开法

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