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数学九年级知识点框架笔记

2022-10-21 10:28:03   0  举报

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数学九年级知识点框架笔记

九年级数学

数学九年级知识点框架笔记

数学

九年级

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大纲/内容

图形的相似

比例线段及有关性质

成比例线段

平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

定理推论

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

黄金分割

相似多边形

定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.

判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）

相似三角形

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形

相似三角形性质

相似三角形的对应边成比例，对应角相等

相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比

相似三角形的周长比等于相似比

相似三角形的面积比等于相似比的平方

相似三角形的判定

定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角型相似

平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原来的三角形相似

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似

如果两个三角形的对应边的比相等且两边夹角相等，那么这两个三角形相似

如果两个三角形的三组对边的比相等，那么这两个三角形相似

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（用时需要证明）

投影与视图

投影

定义

用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

类型

平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影

中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

视图

定义

是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形

三视图

简单几何体的三视图

反比例函数

概念及解析式

利用待定系数法求反比例函数解析式

图像与性质

K的符号图像图像象限增减性

反比例函数的应用

K值得几何意义

直角三角形的边角关系

锐角三角函数

正弦余弦正切

三角函数和角的关系

tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大

sinA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，sinA的值越大

cosA的值越小，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，cosA的值越大

特殊三角形函数值

解直角三角形

直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

三边之间的关系：a2+b2=c2

两锐角的关系：∠A＋∠B=90°

边与角之间的关系

解直角三角形的应用

仰角俯角

坡角（坡比）：i=h/l=tanA

方位角

特殊平行四边形

平行四边形

概念

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

平行四边形的性质定理

平行四边形的对边相等

平行四边形的对角相等

平行四边形的对角线互相平分

平行线间的距离

定义：两条平行线中任意一点到另一条直线的距离

①两条平行线间的距离处处相等②两条平行线间的任何两条平行线都相等

平行四边形的判定定理

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

平行四边形的对称性

平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点

中位线

三角形的中位线

概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

定理：三角形的中位线平行于第三边

平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他支线上截得的线段也相等

中点四边形

顺次连接四边形各边中点所组成的平行四边形叫中点四边形

菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

性质定理

菱形的四条边都相等

菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角

判定定理

四条边都相等的四边形是菱形四边形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

面积公式：对角线长为a、b时 S=ab/2

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

性质定理

矩形的四个角都是直角

举行的对角线相等

判定定理

有三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

对称性

矩形是轴对称图形有两条对称轴且都是过对边中点的直线

矩形是中心对称图形对角线的交点是对称中心

正方形

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

正方形的性质

正方形的四个角都是直角四条边都相等

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

正方形的判定

平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角（定义法）

矩形+一组邻边相等

矩形+对角线互相垂直

菱形+一个角是直角

菱形+对角线相等

正方形的对称性

轴对称图形：对称轴有4条分别是连接对边中点的直线和两条对角线

中心对称图形：对称中心为对角线交点

梯形

定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形

直角梯形

有一个角是直角的梯形

等腰梯形

定义：两腰相等的梯形

性质

两底平行两腰相等

等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形同一底上的两个角相等

等腰梯形是轴对称图形底边的垂直平分线是它的对称轴

判定

定义判定法

对角线相等的梯形是等腰梯形

在同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形

一元二次方程

一元二次方程的概念及相关概念

概念

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

一元二次方程的根

根的判别式

根与系数关系

解一元二次方程

直接开平方法

配方法

公式法

因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程的应用

增长率问题

几何图形问题

销售利润问题

概率的进一步认识

列举法求概率

树状图

表格

用频率估计概率

利用模拟试验求概率

利用计算器模拟求概率

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