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导数与微分考研知识点笔记

2022-10-28 17:50:57   0  举报

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导数与微分考研知识点笔记

导数与微分

导数

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大纲/内容

导数与微分

概念

导数

分左右导数

微分

用线性增量A△x代替复杂的增量△y&nbsp; 忽略误差&nbsp;&lt;br&gt;若f(x)在x=Xo处可微，则 △y-dy=o(△x)

几何意义

f(Xo)在Xo处可微，则点(Xo,Yo)附近用切线段≈曲线段

导数与微分的计算

四则运算

基本求导公式

分段函数

分段点

复合函数&nbsp;与微分形式不变性

df(狗)=f&apos;(狗)d狗

Because of 同阶无穷小△U=O(△x) 可任意替换

反函数

分支主题

参数方程

d²y/dx²=一阶导数关于t求导/x关于t求导

隐函数

y关于x的隐函数，y求导后保留为dy/dx

对数函数

等式两边取对数&nbsp; lny=lnf(x)

幂指函数

u(x)^v(x)=e^[v(x)ln u(x)]

高阶函数

归纳法

泰勒公式

分支主题

变限积分

分支主题

特殊技巧和细节

导数应用——瞬时变化率、割线的极限位置是曲线的切线、切线斜率

可导 ≠ 光滑&nbsp; &nbsp;如y=x^(1/3)

连续&nbsp;→&nbsp;可导 ←→ 可微

周期函数 f&apos;(x+T)=f&apos;(x)

[ln|u(x)|]&apos;=u&apos;(x)/u(x)

分支主题

章节技巧

加减不能用无穷小，由于剩余o(x)

若y=f(x)可导,且f&apos;(x)≠0&nbsp; →存在反函数 f&apos;(x)保号,f(x)单调

易错计算

sin²x&nbsp;求导=sin(sinx)=sinxcosx

e^(sin²1/x)&nbsp;求导=e^(sin²1/x)×sin(1/x)×cos(1/x)

欲求dy/dx|x=Xo&nbsp; 先x=Xo代入F(x,y)求y=？

区分极限、函数值和导数之间的关系

章节技巧

二重积分

几何背景

f(x,y)可积即二重积分存在

性质

一般性质

线性性质

可拆f=f1+f2

积分可加

可拆区间D=D1∪D2

估值定理

A为D的面积，则mA≤f(D)≤MA

中值定理

分支主题

保号性

分支主题

对称性

普通对称

找对称轴线

轮换对称

积分值与用什么字母无关

计算

计算法

计算口诀

后积先定限&nbsp; 限内画条线&nbsp; 先交写下限&nbsp;后交写下限

直角坐标系

画线&nbsp;↑ [从下往上]

极坐标系

画线&nbsp;→&nbsp;[从左往右]

计算技巧

坐标系选择原则

选用&nbsp;极坐标

有 f(x²+y²)=f(r²) , f(y/x)=f(tanΘ) ,&nbsp;f(x/y)=f(cosΘ)&nbsp;

圆or圆的一部分

积分次序转换

x,y积分互换&nbsp;使用轮换对称&nbsp; → 2I&nbsp;双倍或者&nbsp;I²&nbsp;升维度

极直系转换

分支主题

一元积分转二重积分问题

特殊技巧和细节

首先使用对称性质计算双重积分I

遇到极坐标马上转为直角坐标，反之亦然

分支主题

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